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Dies trifft im vorliegenden Falle zu; denn die Theorie der Beobachtungsfehler und die darauf gegründete Methode der kleinsten Quadrate haben, obwohl zu den jüngeren Zweigen der angewandten Mathematik zählend, bereits eine ansehnliche Reihe von Arbeiten zu Tage ge- fördert. Konnte doch Mansfield Merriman 1877 in seiner ,;List of Writings relating to the Method of Least Squares" 408 Titel anführen, und noch war dieses Verzeichnis nicht vollständig und hat seither gewiss eine namhafte Erweiterung erfahren. Zwei Gründe können für diese eifrige Pflege des Gegen- standes angeführt werden. Einmal ist es seine Metaphysik, welche immer wieder anregend wirkt und ihm das thätige Interesse der hervorragendsten Geometer zugeführt hat. Dazu kommt die grosse praktische Bedeutung, die womöglich noch im Wachsen begriffen ist; denn kaum wird man, auf welchem Gebiete der messenden Disziplinen immer, in unseren Tagen Resultate aus Beobachtungen ableiten, die nicht vorher einer fehlertheoretischen Untersuchung und einer Ausgleichung unterworfen worden sind zu dem Zwecke, um ihr Ergebnis zu verschärfen und den Grad seiner Zuverlässigkeit fest- zustellen. Zweck des vorliegenden Buches ist es nun, ein mög- lichst umfassendes und zusammenhängendes Bild der wissen- schaftlichen Grundlagen der Fehlertheorie und ihrer Ent- wicklung zu geben. Damit ist auch schon gesagt, dass das umfangreiche und mannigfaltige Gebiet der Anwendungen a* — IV — sowie auch dasjenige^ was nur auf die praktische Ausführung der einschlägigen Rechnungen sich bezieht, von dem Inhalte ausgeschlossen ist. In dieser Form hat das Buch, wie ich glaube, eine Berechtigung, weil ihm ähnliche Schriften gleichen Umfanges nicht gegenüberstehen, und eine zweifache Bestimmung: es dürfte geeignet sein diejenigen in den Gegenstand einzuführen, welche ihm der metaphysischen oder der rein mathematischen Seite wegen ihre Aufmerksamkeit zuwenden, und dem Bedürfnis derjenigen entgegenkommen, welche mit praktischen Anwendungen der Fehlertheorie viel- fach beschäftigt sich mit ihren wissenschaftlichen Grund- lagen eingehender bekannt machen wollen, als dies an der Hand eines praktische Ziele verfolgenden Werkes möglich ist Der Schwierigkeiten, welche sich der Lösung einer Auf- gabe wie die eben bezeichnete entgegenstellen und in der Materie selbst sowie in der ausgebreiteten Litteratur ihren Grund haben, war ich mir bewusst und muss es berufenen Fachmännern überlassen, zu urteilen, wie weit sie mir ge- lungen ist. Durch den Plan der Arbeit war es geboten, der histo- rischen Seite Rechnung zu tragen; ich habe dies durch An- ordnung des Stoffes wie auch durch litterar-historische Noten zu erreichen gesucht, von welch letzteren ich annehmen darf, dass sie ausreichen, um, wo es Bedürfnis wird, zu den Quellen zurückzuführen. Von den drei Teilen, in welche der Inhalt des Buches gegliedert ist, behandelt der erste die Theorie der linearen Fehler und ist naturgemäss der umfangreichste; er enthält alles, was auf direkte Beobachtungen sich bezieht. Der zweite Teil ist der Begründung der Methode der kleinsten Quadrate gewidmet und schliesst die Grundlagen der Aus- gleichung vermittelnder und bedingter Beobachtungen in sich. Der dritte Teil hat den jüngsten Zweig der Fehler- theorie, die Fehler in der Ebene und im Räume, zum Gegenstande. Im Einzelnen möge auf das ausführliche In- haltsverzeichnis hingewiesen werden, Brunn, Juli 1891. E. Czuber. Inhaltsverzeichnis. Erster Teil. Theorie der linearen Beobaohtungsfehler. Seite § 1. Wahrscheinlicheit eines Beobachtungsfehlers. 1. Die verschiedenen (jattnngen von Fehlern 1 2. Möglichkeit der Angabe einer nnmerischen Wahrscheinlichkeit für Fehler bestimmter Grösse 3 3. Der Fehler als stetige Grösse anfgefasst 6 4. Das Fehlergesetz 6 5. Mittel nnd Wege znr AuffinduDg des Fehlergesetzes .... - 9 § 2. Allgemeine Prinzipien über die zweck- mässigste Wahl des Wertes der Unbekannten. 6. Vorbemerkung 11 7. Gauss* erstes Prinzip 13 8. Laplace^s Prinzip 14 9. GauBB* zweites Prinzip 15 § 3. Das arithmetische Mittel. 10. Vorbemerkung 16 11. Die Untersuchungen von Lagrange 17 12. Die Untersuchungen von Laplace 23 13. Die Untersuchungen von Ellis 27 14. Der Beweis von Encke 28 15. Der Beweis von Schiaparelli 31 16. Der Beweis von Stone 33 17. — 21. Die Untersuchungen De Morgan's und Ferrero's. 35—42 22. Schlussbemerkung 44 § 4. Das Fehlergesetz auf Grund der Hypothese des arithmetischen Mittels. 23. Erste Ableitung des Fehlergesetzes, von Gauss 48 24. Bertrand's kritische Bemerkung 51 — VI — Seite 26. Gesetz des Fehlers im arithmetischen Mittel 54 26. Das Exponentialgesetz als das einzige, welches mit dem arithmetischen Mittel vereinbar ist 55 27. Die Hypothese des arithmetischen Mittels und die Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers von seiner Grösse allein abhänge 57 28. Nähere Untersuchung der letzten Annahme 59 § 5. Das Fehlergesetz auf Grund der Hypothese der Elementarfehler. 29. Allgemeine Bemerkungen über die Entstehung der Beobach- tungsfehler aus Elementarfehlern 61 30. Fehler, welche aus einer Ursache entspringen 64 31. — 32. Zusammensetzung zweier Elementarfehler 67—71 33. Zusammensetzung von drei und mehreren Elementarfehlem 72 34. BeurteiluDg der Bedeutung oder des Einflusses eines Fehlers 76 35. Erste Hypothese über die Entstehung der Beobachtungs- fehler aus Elementarfehlern. Analyse von Laplace. . . 78 36. Hagen's Theorie 80 37. Tait's Theorie 83 38. Zweite Hypothese. Analyse von Bessel 87 39.— 40. Dritte Hypothese. Crofton's Analyse 91—97 § 6, Das Fehlergesetz auf Grund verschiedener Annahmen. 41. Vorbemerkung 99 42. Adrain's Beweis 100 43. HerscheFs Beweis 103 44. Donkin's Beweis 108 45. Historische Notiz 111 § 7. Beurteilung der Genauigkeit einer Beobach- tungsreihe auf Grund der wahren Fehler. 46. Gleich wahrscheinliche Fehlergrenzen. Wahrscheinlicher Fehler 113 47. Berechnung der Funktionen I e"^ dt und I e~^ dt, Tafel i ^ ^ für -1= ( er-^dt 116 48. Definition der Genauigkeit 121 49. Definition des Gewichtes 122 - VII - Seite 50. Aufsnchung der Fehlergesetze, für welche diese Definitionen Sinn und Bedeutung haben 123 51. Wahrscheinlichster Wert des Präzisionsmaasses und des wahr- scheinlichen Fehlers und ihre wahrscheinlichen Grenzen . 125 52. Bestimmung des Präzisionsmaasses aus Fehlerpotenzsummen 128 53. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass die Potenzsumme einer endlichen Anzahl Ton Fehlem zwischen gegebenen Grenzen liege 130 54. Verifikation des gefundenen Resultates 133 55. Vergleichung der auf verschiedene Fehlerpotenzen gegründeten Formeln 134 56. Die beste Hypothese über das Präzisionsmaass 137 57. Bestimmung des Präzisionsmaasses nach B er trän d's Vorschlag 138 68. Mittelwert von h und Ä* 139 59. Bestimmung des wahrscheinlichen Fehlers durch Abzahlung an der Fehlerreihe 141 60. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass die Summe von n Beobachtungsfehlern einer gegebenen Grösse gleich sei 145 61. Biestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass die Quadratsumnie von n Beobachtungsfehlem einer gegebenen Grösse gleich sei 147 § 8. Beurteilung der Genauigkeit einer Beobach- tungsreihe auf Grund der scheinbaren Fehler. 62. Vorbemerkung 151 63. Formel für den mittleren Fehler einer Beobachtung .... 151 64. Bertrand's Einwurf gegen ihre Ableitung 153 65. Strenge Ableitung dieser Formel nach Helmert 154 66. Gesetz der scheinbaren Fehler. Dritte Begründung der Formel für den mittleren Fehler 156 67. Genauigkeit der Formel für den mittleren Fehler 159 68. Schärfere Bestimmung der Grenzen des mittleren Fehlers für kurze Beobachtungsreihen 160 69. Formel für den durchschnittlichen Fehler einer Beobachtung. Ihre Ableitung nach Peters 163 70. Bemerkungen zu dieser Ableitung 164 71. Ableitung derselben Formel nach Helmert 165 72. Genauigkeit der Formel für den durchschnittlichen Fehler . 169 73. Das Gesetz der Beobachtungsdifferenzen. Mittlerer und durch- schnittlicher Wert der Beobachtungsdifferenz 174 74. Bestimmung des mittleren und durchschnittlichen Fehlers mittels der Beobachtungsdifferenzen 176 75. Genauigkeit der Formel, welche den durchschnittlichen Fehler durch die Beobachtungsdifferenzen ausdrückt 178 76. Vergleichung der verschiedenen Formeln für den mittleren und durchschnittlichen Fehler 181 — VIII — Seite 77. Mittlerer, durchschnittlicher und wahrscheinlicher Fehler des arithmetischen Mittels 182 78. Untersuchung der Frage, ob bei bekannter Präzision der Be- obachtungen ihre Widersprüche auf die Zuverlässigkeit des Resultates einen Einfluss üben 183 § 9. Vergleichung des Fehlergesetzes mit der Erfahrung. 79. Allgemeine Erörterungen 188 80. Beobachtungen Bradley und BesseTs 190 81. Schlussfehler des Modena'schen Dreiecksnetzes 193 82. Mikroskopische Bestimmungen eines Teilstriches auf einem Längenmaassstab 195 83. Laurents empirischer Nachweis des Fehlergesetzes. . . . 196 84. Paarweise Gruppierung der Fehler. Durchschnittlicher Wert der grösseren Fehler und ihrer Quadrate 199 § 10. Der kleinste und grösste Fehler einer Beobachtungsreihe. 85. Vorbemerkung 202 86. Der kleinste, zweitkleinste u. s. w. Fehler einer Beobachtungs- reihe 203 87. Der grösste zu gewärtigende Fehler einer Beobachtongsreihe 206 88. Jordan's Lösung der Frage 209 89. Der grösste bei einer einzelnen Beobachtung zu gewärtigende Fehler 210 § 11. Ausscheidung widersprechender Beobach- tungen. 90. Vorbemerkung 211 91. Erhöhung der Genauigkeit des arithmetischen Mittels durch Ausscheidung von Beobachtungen, deren scheinbarer Fehler eine gewisse Grenze überschreitet 212 92. Peirce's Kriterium für beliebig viele auszuscheidende direkte Beobachtungen 215 93. Chauvenet's Kriterium für eine auszuscheidende direkte Beobachtung 220 94. Stone*s Verfahren 221 95. Urteile hervorragender Beobachter über das Ausscheiden von Beobachtungen 223 96. Glaisher's Verfahren der successiven Gewichtskorrektur. . 225 97. Bemerkungen hierzu 229 IX Zweiter Teil, Die Methode der kleinsten Quadrate. § 1. Stellung der Aufgabe. seit§ 98. Aafstellung der Fehlergleichnngen bei linearem Zusammen- hang zwischen der beobachteten Grösse und den un- bekannten Elementen 232 99. Aufstellung der Fehlergleichungen bei nicht linearem Zn- sammenhang 232 100. Formulierung der Aufgabe. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen 233 § 2. Die Vorläufer von Gauss. 101. Erste Publikation der Lösung durch Legendre . . . . 234 102. Zweite Publikation der Lösung durch Adrain 236 § 3. Erster Beweis von Gauss. 103. Beobachtungen gleicher Genauigkeit ; 237 104. Beobachtungen ungleicher Genauigkeit 238 105. Schlussbemerkung 239 § 4. Der Beweis von Laplace. 106. Vorbemerkung 239 107. Bestimmung des vorteilhaftesten Wertes eines unbekannten Elementes. Erste Methode 240 108. Zweite Methode 245 109. Bestimmung der vorteilhaftesten Werte zweier unbekannten Elemente , . . 246 110. Überblick über die weitere Entwicklung der Methoden von Laplace 252 111. — 115. Verallgemeinerung der Laplac ersehen Analyse in Kücksicht auf das Gesetz des Fehlers einer Einzelbeobach- tung sowohl als in Rücksicht auf die Anzahl der un- bekannten Elemente 254—263 116. Vergleichung der beiden Methoden von Laplace 265 117. Untersuchung über die Zulässigkeit der gebrauchten Approxi- mationen 266 118. — 121. Todhunter's Verallgemeinerung desLaplace'schen Beweises 272—284 122. Allgemeiner Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit der Ko- existenz bestimmter Fehler der Elemente 286 — X — § 5. Zweiter Beweis von Gauss. g^^^ 123. Vorbemerkung 288 124. Mittlerer Fehler^ Genauigkeit und Gewicht einer Bestimmung 290 125. Beweis, dass die Methode der kleinsten Quadrate mit den kleinsten mittleren Fehlern oder mit den grössten Ge- wichten begabte Bestimmungen der Elemente gibt ... 291 126.— 127. Mittlere Fehler und Gewichte dieser Bestimmungen 292—296 128. Über die analytische Darstellung des Mittelwertes einer Funktion der Beobachtungsfehler 298 129. Yergleichung der beiden Gau ss^ sehen Beweise 299 * § 6. Ivory's sogen. Beweise. 130. Vorbemerkung 301 131. Erster Beweis 302 132. Zweiter Beweis 302 133. Dritter Beweis 303 § 7. Beurteilung der Genauigkeit der Beobach- tungen und der aus ihnen abgeleiteten Werte der Elemente. 134. Mittlerer Fehler einer Beobachtung oder der Gewichtseinheit durch die wahren Fehler dargestellt 305 135. — 137. Mittlerer Fehler der Gewichtseinheit oder einer Be- obachtung durch die scheinbaren Fehler dargestellt. — Ausgleichung bedingter Beobachtungen 307—310 138. Bertrand^s Einwand gegen die Gau8S*sche Formel für den mittleren Fehler 312 139. Erläuterndes Beispiel hierzu 314 140. Untersuchung der Frage, ob bei bekannter Präzision der Beobachtungen ihre Widersprüche auf die Zuverlässigkeit der Resultate Einfluss üben 317 § 8. Darstellung der Werte der Unbekannten, ihrer Gewichte und mittleren Fehler mittels der Determinanten. 141. Vorbemerkung 320 142. Darstellung der unbekannten Elemente 321 143. Darstellung ihrer Gewichte 321 144. Darstellung des mittleren Fehlers einer Beobachtung und der mittleren Fehler der Elemente 322 145. Andere Ableitung der Gewichtsformeln 324 146. Auflösung der auftretenden Determinanten in Quadrate und Produkte einfacher Determinanten 325 — XI — Seite 147. Nene Auffassung der Resultate der Methode der kleinsten Quadrate 327 148. Allgemeine Bedingung für die Lösbarkeit des Problems . . 329 149. Die mittleren Fehler der Elemente in anderer Darstellung. Weitere Schlüsse über die Möglichkeit der Lösung . . . 329 § 9. Beurteilung der Genauigkeit einer Funktion direkt beobachteter oder aus Beobachtungen abgeleiteter Grossen. 160. Mittlerer Fehler und Gewicht einer Funktion unabhängiger direkt beobachteter Grössen 333 151. Mittlerer Fehler und Gewicht einer Funktion aus Beobach- tungen abgeleiteter Grössen 334 152. Mittlerer Fehler und Gewicht einer Funktion direkt be- obachteter, unter einander abhängiger Grössen 336 153. Aufsuchung solcher Bestimmungen für die Elemente, welche einer Funktion der letzteren das grösstmögliche Gewicht erteilen 340 Dritter TeU. Theorie der Fehler in der Ebene und im Baume. § 1. Das Gesetz der Fehler in der Ebene und im Baume. 154. Vorbemerkung 343 155. Bestimmung der Lage eines Punktes in der Ebene bei Adrain. Sein zweiter Beweis des Gesetzes linearer Fehler 345 156. — 157. Bravais' Ableitung des Gesetzes der Fehler in der Ebene 347—353 158. Bravais* Ableitung des Gesetzes der Fehler im Räume . 355 159. Ableitung des Gesetzes der räumlichen Fehler auf Grund der Anschauung Bienaymä's 360 160.— 169. Allgemeine von der Natur des Fehlergesetzes un- abhängige Theorie der Fehler in der Ebene und im Baume nach Schols 363—374 170. Das Grenzgesetz der Fehler in der Ebene und im Baume . 375 171. Das Gesetz der räumlichen Fehler aus der Hypothese von Gotes abgeleitet 378 § 2. Genauigkeit der Bestimmung eines Punktes in der Ebene. 172. Fehlerellipsen 382 173. Mittlerer Fehler der Punktbestimmung. Mittlere Fehlerellipse 383 - xn - Seite 174. Darchscilnittlicher Fehler der Panktbestimmnng 383 175. Wahrscheinliclikeit bezeichneter Grenzen des Fehlers nn- abhängig von seiner Bichtnng 386 176. Wahrscheinlicher Fehler 387 177. Auf Fehlerellipsen und durch solche gebildete Ringe bezüg- liche Wahrscheinlichkeiten. Wahrscheinliche Fehlerellipse 388 178. Wahrscheinlichkeit eines Fehlers von bezeichneter Richtung unabhängig von seiner Grösse 390 179. Charakteristische Zahl eines Punktes der Ebene und ihr Mittelwert 391 180. Feststellung des Fehlergesetzes auf Grund eines gegebenen Punktsystems 391 181. Bemerkung, Schiessversuche betreffend 394 182. Vergleichung der Erfahrung mit der Theorie 395 § 3. Genauigkeit der Bestimmung eines Punktes im Räume. 183. Fehlerellipsoide 400 184. Mittlerer Fehler der Pnnktbestimmung. Mittleres Fehler- ellipsoid 400 185. Durchschnittlicher Fehler der Punktbestimmung 400 186. Wahrscheinlichkeit bezeichneter Grenzen des Fehlers un- abhängig von seiner Richtung 402 187. Wahrscheinlicher Fehler 403 188. Auf Fehlerellipsoide und durch solche gebildete Schalen be- zügliche Wahrscheinlichkeiten. Wahrscheinliches Fehler- ellipsoid 404 189. Wahrscheinlichkeit eines Fehlers von bezeichneter Richtung unabhängig von seiner Grösse 405 190. Charakteristische Zahl eines Punktes im Räume und ihr Mittelwert 406 191. Vorteilhafteste Werte der Koordinaten eines Punktes im Räume auf Grund eines Systems linearer Fehlergleichungen 406 • t Tafel I. Werte der Funktion ©(*) « -^ / e~'* d< . . . 411 ?i' V Ö t 9 r Tafel II. Werte der Funktion ©L— ) =» -L C e"^ dt , geordnet nach dem Argument -; 414 THEORIE DER BEOBACHTUNGSFEHLER Erster Teil. Theorie der linearen Beobaelitangsfehler. § 1. Wahrsoheinliohkeit eines Beobaohtungsfehlers. 1. Zwischen der Bestimmung einer Grösse durch Rech- nung und durch Messung besteht ein wesentlicher Unterschied. Während die Rechnung den Wert der unbekannten Grösse aus den Prämissen durch rein logische Schlüsse mit abso- luter oder mit beliebig weit getriebener Genauigkeit zu finden gestattet^ tritt im andern Falle an die Stelle der logischen Schlüsse der physische Vorgang der Messung oder Beobach- tung, der, von einer Reihe verschiedenartiger nie genau zu verfolgender Umstände begleitet, eine Abweichung des Resul- tates von der Wahrheit zur Folge hat, deren Betrag inner- halb gewisser Grenzen ungewiss bleibt. Diese Grenzen können zwar durch Vervollkommnung der Hilfsmittel und Methoden enger gezogen werden; die Gewissheit aber, dass das Resultat mit der Wahrheit zusammentreffe, ist niemals zu erreichen. Die Fehler, welche den Beobachtungen einer gewissen Art anhaften, sind in dem Maasse wie diese selbst mehr oder weniger zusammengesetzter Natur. Selbst bei einem einfachen Messungsvorgange wird man bei näherem Zusehen mehrere verschiedene Ursachen oder Quellen von Fehlern nachweisen können, während andere wegen der Unvollkommen- heit unserer Kenntnisse verborgen bleiben. In welcher Weise jede dieser Ursachen zur Wirkung kommt, hängt von den während der Messung herrschenden Umständen ab; jedesmal aber wird der Gesamtfehler des Beobachtungsresultats Cznber, Theorie der Beobachtungsfebler. 1 — 2 — die algebraische Summe der aus den einzelnen Quellen ent- springenden oder der Elementar fehler sein. In Bezug auf ihre Wirkungsweise lassen sich, wenn auch nicht scharf, zwei Gattungen von Fehlerursachen unter- scheiden. Der einen Gattung von Ursachen gegenüber erscheinen die einzelnen Beobachtungen als völlig unab- hängige Ereignisse, d. h. die Wirkung dieser Ursachen ist durch Umstände bedingt, welche von einer Beobachtung zur nächsten sich ändern und mit dieser selbst in keinem nach- weisbaren Zusammenhange stehen. Die durch derlei Ursachen hervorgebrachten Fehler werden als unregelmässige oder zufällige Fehler bezeichnet. Zu der zweiten Gattung werden solche Ursachen gezählt, welche während einer Reihe von Beobachtungen in einer gesetemässigen, durch die Umstände der Beobachtung be- dingten oder beständig in derselben Weise zur Wirkung kommen. Die durch sie hervorgerufenen Fehler werden als systematische, regelmässige oder, im letztgedachten Falle, als konstante Fehler bezeichnet. Es ist schon bemerkt worden, dass diese Scheidung keine scharfe ist, indem es ganz wohl vorkommen kann, dass eine Fehlerquelle je nach Umständen bald systematische, bald zuföUige Fehler erzeugt. So wären die aus der Un- gleichformigkeit der Teilung an einem Winkelmessinstrument entspringenden Fehler streng genommen zu den systema- tischen zu zählen, und sie werden vollends konstant, wenn das Instrument zur wiederholten Messung ein und desselben Winkels bei unveränderter Lage des Kreises verwendet wird. Man rechnet sie aber in der Regel zu den zufölligen Fehlern, weil bei der Messung verschiedener Winkel immer andere und andere Stellen des Kreises zur Verwendung kommen. Aber auch der Fall ist denkbar, dass eine Fehlerquelle, welche durch eine kurze Zeit systematisch wirkt, bei längerer Dauer der Beobachtungen ihre Wirkungsweise derart ändert, dass die ihr zugeschriebenen Fehler als zufällig gelten können. So kann ein von dem vermuteten abweichender Zustand der Atmosphäre eine beschränkte Zeit hindurch systematische, ja konstante Fehler hervorrufen, sich aber bei weiterer Fort- — 3 — Setzung der Beobachtungen derart ändern, dass die Fehler diesen Charakter verlieren und wie zufallige sich verhalten. Man führt in längeren Beobachtungsreihen diesen Über- gang künstlich herbei, indem man die Umstände der Absicht entsprechend ändert, systematischen Fehlern den wesentlichen Charakter zufälliger Fehler aufzuprägen, welcher in dem fort- während wechselnden Sinne besteht. Die Fehlertheorie macht überhaupt die Voraussetzung, dass die Beobachtungen von konstanten und systematischen Fehlern befreit worden sind, ehe sie der weiteren Unter- suchung zugeführt werden. Denn man erkennt bald, dass diese Fehler einer allgemeinen Theorie unzugänglich sind, vielmehr in jedem einzelnen Falle eine besondere Unter- suchung erfordern. Den alleinigen Gegenstand der Fehlertheorie bilden also die unregelmässigen oder zufölligen Fehler. 2. Die Beantwortung der Frage, ob es angehe, auf die Ergebnisse der Beobachtungen die Theorie des Zufalls anzu- wenden, hängt davon ab, ob es möglich ist, eine numerische Wahrscheinlichkeit anzugeben für einen Fehler von bestimm- tem Betrage bei einer unter gewissen Umständen ausgeführten Beobachtung*). Es ist einerlei, ob man diese Vorfrage be- züglich des aus einer einzelnen Fehlerquelle hervorgehenden oder bezüglich des Gesamtfehlers stellt; denn ist sie für jeden Elementarfehler zu bejahen, so gilt die Bejahung auch für den Gesamtfehler. Ehe wir darauf eingehen, wollen wir an einem einfachen typischen Beispiel die wesentlichen Voraussetzungen klar machen, an welche die Möglichkeit einer numerischen Wahr- scheinlichkeitsbestimmung geknüpft ist. Aus einer Urne, welche schwarze und weisse, nur durch die Farbe unter- schiedene Kugeln in einer bestimmten beständig gleich blei- benden Anzahl enthält, wird mehremale nach einander eine Kugel gezogen, die gezogene Kugel jedesmal zurückgelegt und mit den übrigen gehörig vermischt. Sind im Ganzen *) Erle 8, Die Principien der Wahrsch.-R. Eine logische sachnng 1886, pag. 217. Unter- 1* - 4 - m '\- n Kugeln gezogen worden, m davon weiss, so schliesst man auf Grund des Bernoulli'schen Theorems, dass die Wahrscheinlichkeit, in einer folgenden Ziehung eine weisse Kugel zu treffen, sich von dem Bruche — : — nur unerheb- lieh und um so weniger unterscheiden werde, je grösser die Zahl m -\- n ist. Die Berechtigung dieser aposteriorischen, d. h. auf Grund von Beobachtungen ausgeführten Wahrschein- lichkeitsbestimmung hat eine Reihe nothwendiger Voraus- setzungen zur Grundlage, welche hier deutlich zu Tage treten. Es sind dies die konstant bleibenden Chancen für das Ziehen einer weissen und schwarzen Kugel, die Chancengleichheit der Einzelfalle, die Unabhängigkeit der Ziehungen unter ein- ander. Andererseits kann die Entscheidung darüber, ob diese Voraussetzungen erfüllt sind, auf empirischem Wege getroffen werden, allerdings nicht mit Sicherheit, sondern nur mit mehr weniger grosser Wahrscheinlichkeit. Angenommen, wir wüssten nicht, ob der Inhalt der Urne, beziehungsweise das Zahlenverhältnis der weissen und schwarzen Kugeln, im Verlaufe der Ziehungen constant bleibt, ob die Ziehungen von einander unabhängig sind, ob also die gezogene Kugel jedesmal zurückgelegt und mit den übrigen gehörig vermengt worden ist, und es wäre uns auch unbekannt, ob nicht etwa ein anderes Merkmal als die Farbe eine Ungleichheit der Chancen für die einzelnen Fälle herbeiführt. Hätten wir nun die Resultate einer Anzahl von Beobachtungsreihen, welche sich in den Zahlen m, n\ m\ n\ m\ w"; • • • ausdrücken, und fänden, dass die Zahlen — j — , --,— j — ? , —n—y — ,> . • • • oder m m' m" n ' n ' n" ' • • nur sehr geringe Unterschiede aufweisen, so dürften wir aus diesem Verhalten der Resultate mit um so grösserer Wahrscheinlichkeit auf das Vorhandensein jener Voraussetzungen schliessen, je grösser die Anzahl der Be- obachtungsreihen und je ausgedehnter die einzelne ist. Wenn wir nun zu dem Fall von Beobachtungen zurück- kehren und den Versuch machen, die aufgeworfene Frage zu beantworten, so werden wir bald gewahr, dass spekulative r — o — Erwägungen dazu nicht ausreichen. Unsere Kenntnis der zahlreichen Umstände, welche wir bei der betreffenden Gat- tung von Beobachtungen als maassgebend erkannt haben, bieten hierfür keine genügende Unterlage. Dazu kommt noch, dass andere Umstände sich unserer Wahrnehmung ent- ziehen, wieder andere uns als irrelevant erscheinen, während sie es in Wirklichkeit nicht sind. Bei näherer Betrachtung der Umstände, welche bei den einzelnen Fehlerquellen maassgebend sind, werden wir ganz wohl auf Fehlerquellen kommen, bei welchen die Voraus- setzungen für die Bildung numerischer Wahrscheinlichkeiten als vorhanden angenommen werden können. So können die Verhältnisse, welche für die aus den Sinnesorganen, aus dem Bau des Instrumentes und seiner einzelnen Theile entspringen- den Fehler bestimmend sind, wenigstens bei zeitlich nicht allzu ausgedehnten Beobachtungsreihen als völlig oder nahe constant angesehen werden. Andere Fehlerquellen wieder, wie etwa die kleinen Ungleichförmigkeiten einer Teilung, lassen eine ganz bestimmte Anzahl möglicher Fälle erkennen, welche im Wechsel der bedingenden Umstände beständig sich wiederholen. Bei einer anderen Gruppe von Fehlerquellen, wie bei den störenden Einflüssen der Ungleichförmigkeit der Temperatur, bei den Erschütterungen des Instruments, den Schwankungen in der Aufmerksamkeit des Beobachters werden die Verhältnisse häufig so liegen, dass der Gesamtbetrag dieser Einflüsse als etwas von vornherein Bestimmtes gedacht werden kann, während die Art ihrer zeitlichen und räum- lichen Verteilung unbestimmt und dem Zufall überlassen bleibt. Ob aber die Voraussetzungen einer numerischen Wahr- scheinlichkeitsbestimmung, wenn sie einmal vorhanden waren, im Laufe der Beobachtungen aucn erfüllt bleiben, kann nur vermutet werden. Dass es mit grosser Wahrscheinlichkeit der Fall ist, bestätigt das empirische Verfahren. Wir werden an späterer Stelle Reihen von Beobachtungsfehlern kennen lernen, welche eine so gleichartige Zusammensetzung auf- weisen, dass man sich berechtigt hält anzunehmen, dass bei ihrer Hervorbringung ähnliche Verhältnisse geherrscht haben wie bei einem Zufallsspiele. «A — 6 - Wir nehmen also für die Folge an, dass bei den Be- obachtungen, welche wir der Behandlung unterziehen, bezüg- lich der Erzeugung der Fehler, und zwar sowohl der ele- mentaren als auch des Gesamtfehlers, solche Verhältnisse bestanden haben, welche die Angabe einer numerischen Wahrscheinlichkeit für jeden Fehler von bestimmtem Betrage zulassen. 3. Der aus einer Fehlerquelle entspringende Fehler ist im allgemeinen aller zwischen gewissen, nicht näher zu be- zeichnenden Grenzen liegenden Werte fähig. Daneben gibt es aber auch Fehlerquellen, bei welchen die möglichen Fehlerbeträge eine diskrete Wertreihe bilden. Für den Gesamt- fehler, welcher sich als algebraische Summe der Elementar- fehler darstellt, folgt daraus, dass auch er im allgemeinen alle zwischen gewissen Grenzen enthaltenen Werte annehmen kann, welche Grenzen jedoch wie bei den Elementarfehlern unbestimmt bleiben. Die Fehlertheorie betrachtet daher den unbestimmten Beobachtungsfehler als eine stetig yeränder- liche Grösse. Diese Auffassung entspricht allerdings den praktischen Verhältnissen nicht. Vermöge der bei jeder Gattung von Beobachtungsfehlern bestehenden Grenze des noch deutlich Wahrnehmbaren bilden die Fehlerbeträge, welche konsta- tiert werden können, eine diskrete Wertreihe; mit anderen Worten: Fehlerbeträge, deren Differenz kleiner ist als die Grenze des deutlich Unterscheidbaren, werden als gleich be- funden. Nichtsdestoweniger kann eine allgemeine Theorie von der Vorstellung der stetigen Veränderlichkeit des Fehlers nicht absehen, weil diese allein eine analytische Behandlung möglich macht. 4. Es ist oben von Mer Wahrscheinlichkeit eines be- stimmten Fehlerbetrages gesprochen worden. Dieser Begriff bedarf eine Präzisierung, da er in der vorliegenden Fassung ebenso wenig Bedeutung hat wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein in einer begrenzten geraden Linie willkürlich an- genommener Punkt mit einem bestimmten Punkte dieser Linie zusammenfalle. Wir gehen daher von dem leicht verständlichen Begriff - 7 - der Wahrscheinlichkeit aus, dass der einer Beobachtung an- haftende Fehler zwischen den Grenzen und x enthalten sei, und bezeichnen dieselbe, sie uns als Funktion von x allein vorstellend, mit 9{x), über diese Funktion können wir zunächst nur die eine bestimmte Aussage machen, dass sie ihren Wert nicht mehr ändert, sobald x die untere oder die obere Grenze der Fehler überschritten hat; denn die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler zwischen Null und einer solchen Grenze liegt, ist dieselbe wie die Wahrscheinlichkeit, dass er zwischen Null und einem jenseits dieser Grenze liegenden Betrag zu suchen sei. Wird nun die willkürliche Annahme gemacht, dass 0{pc) eine analytische Funktion von x sei, sind ferner x und x + dx innerhalb der Fehlergrenzen liegende Beträge, so drückt die Differenz 9{x + dx) — 0(x) die Wahrschein- lichkeit aus, dass der Fehler einer Beobachtung zwischen den Grenzen x und x + ^dx eingeschlossen ist. Je kleiner jdXy desto genauer wird jene Differenz durch das Produkt , ^ jdx dargestellt, so dass, wenn man setzt, die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zwischen den Grenzen x und x-^-dx durch (p{x)dx dargestellt werden kann. Wenn man ip{x)dx kurzweg als die Wahrscheinlichkeit des Fehlers x bezeichnet, so gründet sich dies auf die Vorstellung, dass alle Fehler des Intervalls x hh x -{• dx als unter einander gleich und gleich x angesehen werden, gegen welche vom praktischen Standpunkte nichts einzu- wenden ist. Die ümkehrung der Beziehung (1) giebt die neue X (2) 0(x)=J q>{x)dx, vermöge welcher die Funktion 9(x) durch ein bestimmtes Integral der Funktion q)(x) dargestellt ist. Es ist durch verschiedene Bezeichnungen versucht wor- den, die Bedeutung der Funktion q){x) zu charakterisieren. — 8 - In seiner ersten Darstellung*) nennt sie Gauss unzutreffend die Wahrscheinlichkeit des Fehlers x, später**) bezeichnet er sie als die relative Häufigkeit des Fehlers; diese Bezeich- nung deckt sich am besten mit dem wahren Sinn. Cauchy***) nennt (p{x) den Index der Wahrscheinlichkeit des Fehlers x. Bei englischen Geometern ist die Bezeichnung: Gezetz der Leichtigkeit der Beobachtungsfehler (the law of facility of errors of observations) gebräuchlich» Wir werden ^{x) kurz das Fehlergesetz nennen. Aus der oben hervorgehobenen Eigenschaft von Q{x) würde hervorgehen, dass (p{x) jenseits der Grenzen des Ge- samtfehlers beständig Null sei. Die getroffene Annahme aber, dass Q(x) und daher auch w(x) eine analytische Funk- tion sein soll, wird sich im allgemeinen mit den angegebenen Eigenschaften dieser beiden Funktionen nicht vereinbaren lassen. Überhaupt wird eine analytische Funktion den wahren Verlauf der Fehlerwahrscheinlichkeit in voller Strenge niemals darstellen können, und nur die Erfahrung kann darüber entscheiden, ob die Abweichungen innerhalb zu- lässiger Grenzen sich bewegen. Die Kurve, deren Gleichung (3) y = qi{x) ist, stellt in ihren Ordinaten den Verlauf der Wahrschein- lichkeit des Fehlers x, welcher als Abscisse aufgetragen wird, dar und heisst aus diesem Grunde die Fehlerwahr- scheinlichkeitskurve. Es hat dann die Wahrscheinlichkeit g)(x)dx eines Fehlers zwischen x und x -{- dx die Bedeutung des Flächenelements und die Wahrscheinlichkeit ^(x) eines Fehlers zwischen und x, wie überhaupt die Wahrschein- lichkeit eines Fehlers zwischen zwei um einen endlichen Be- trag verschiedenen Grenzen a, 6 die Bedeutung der Fläche, welche über dem durch die Grenzen bezeichneten Stück der Abszissenaxe ruht und nach oben hin durch die Kurve (3) begrenzt wird. Die Wahrscheinlichkeit endlich, dass der *) Theoria motus corp. coel., Hamburgi 1809, Art. 175. **) Theoria combinat. observat. etc., Gotting. 1823, Art. 4. ***} Compt. rend. XXXVIl, pag. 264. - 9 — Fehler einer Beobachtung zwischen die äussersten Grenzen der möglichen Fehler falle, welche die Gewissheit ist, ent- spricht der ganzen Fläche der Kurve, die daher bei den Flächenvergleichungen als Einheit zu dienen hat. Eine all- gemeine, alle Arten von Beobachtungen umfassende Theorie muss diese Grenzen unbestimmt lassen; sie wird alle Fälle in sich begreifen, wenn sie die Grenzen bis — oo und + co erstreckt, so dass QO (4) / (p (x) dx = 00 sein wird. Erfüllt g)(x) die Forderung, dass es für alle Werte von x jenseits der Fehlergrenzen Null ist, dann hat die Erstreckung des Integrationsgebietes keine Folgen; erfüllt die Funktion jene Forderung nicht, dann muss sie not- wendig jenseits der Fehlergrenzen so kleine Werte an- nehmen, dass der daraus resultierende Anteil des Integrals gegenüber demjenigen, welcher sich auf dem Gebiet der möglichen Fehler ergibt, als verschwindend betrachtet werden kann. Neben dieser Darstellung des Fehlergesetzes durch eine Kurve gibt es noch eine zweite, welche darin besteht, dass man sich die Gerade, auf welcher die Fehler abgetragen werden, mit Masse besetzt denkt, deren Dichte in der Ent- fernung X vom Nullpunkte gleichkommt g){x). Dann be- deutet die Masse eines Stückes der materiellen Geraden die Wahrscheinlichkeit, dass der Endpunkt des Fehlers diesem Stück angehöre, während die Masse der ganzen Geraden die Einheit ist (vgl. Art. 154). Insofern der Fehler, welcher einer unmittelbar gemes- senen Grösse anhaftet, auf einer Geraden dargestellt werden kann, bezeichnet man ihn als einen linearen Fehler. 5. Das wahre Gesetz der Wahrscheinlichkeit der Be- obachtungsfehler, für welches die analytische Funktion (p{x) eine Annäherung bilden soll, hängt ohne Zweifel nicht allein von der Grösse des Fehlers, sondern auch von an- deren Umständen ab und ändert sich daher von Fall zu Fall. So wird die Individualität des Beobachters, die Be- — 10 — schaffenheit der von ihm verwendeten Instrumente^ die ge- messene Grösse selbst dabei eine Rolle spielen. Die Aufstellung von (p(x) kann nicht Gegenstand einer rein analytischen Deduktion sein, sie muss sich vielmehr notwendig auf die Erfahrung stützen. Das primitivste Ver- fahren bestünde darin, dass man versuchsweise Formen für (p(x) aufstellt, welche gewissen durch die Erfahrung diktierten Forderungen genügen; der Vergleich mit ausgeführten Be- obachtungsreihen hätte dann zu entscheiden, wie weit diese Formen der Wirklichkeit entsprechen und welche von ihnen es am vollkommensten thui Von diesem Verfahren sehen wir hier aus naheliegen- den Gründen ab und wenden uns zuerst demjenigen zu, welches der ersten wissenschaftlich begründeten Aufstellung von (p(x) durch Gauss zu Grunde liegt*). Dieses Verfahren beruht auf folgenden Erwägungen. Ist eine Reihe von Beobachtungen in der Absicht aus- geführt worden, um die Werte für eine oder mehrere unbe- kannte Grössen daraus abzuleiten, und ist ein allgemeines wahrscheinlichkeitstheoretisches Prinzip über die zweckmässigste Wahl dieser Werte aufgestellt worden, so können mit Hilfe dieses Prinzips und der als bekannt vor- ausgesetzten Funktion y, welche das Gesetz der Fehler jener Beobachtungen ausdrückt, die gesuchten Werte ermit- telt werden. Wenn aber umgekehrt in einem solchen Falle bezüglich der Wahl dieser Werte kein Zweifel besteht oder eine Hypo- these aufgestellt worden ist, so lässt der angedeutete Weg die Möglichkeit der Bestimmung von 9 offen. Es ist klar, dass das Vertrauen, welches die so gefundene Form des Fehlergesetzes beanspruchen darf, nicht stärker sein kann als dasjenige, welches die Hypothese über die zweckmässigste Wahl der Werte der Unbekannten selbst einflösst. Je besser also diese Hypothese begründet ist, desto berechtigter die Erwartung, dass die Function (p dem wahren Gesetz der Wahr- scheinlichkeit der Beobachtungsfehler nahe kommen werde. *) Theoria motus corp. coel. — 11 - Nicht zu übersehen ist hierbei der Umstand, dass die Aufstellung des allgemeinen Prinzips über die zweck- mässigste Wahl der Werte für die Unbekannten selbst wieder eine Willkür in sich schliesst. § 2. Allgemeine Prinzipien über die zweökmässigste Wahl des Wertes der Unbekannten. 6. Der einfachste Fall der Bestimmung unbekaunter Grössen aus Beobachtungen tritt ein, wenn eine Grösse, deren Wert festgestellt werden soll, wiederholt unmittelbar und mit gleicher Genauigkeit gemessen worden ist. Man spricht dann von direkten Beobachtungen gleicher Ge- nauigkeit. Was man unter Beobachtungen gleicher Genauigkeit zu verstehen habe, bedarf einer Erklärung. Im gewöhnlichen Sinne bezeichnet man Messungen einer und derselben Grösse als gleich genau, wenn sie um denselben Betrag von der Wahrheit nach der einen oder andern Seite abweichen. In diesem Sinne kann aber bei mehr als zwei Beobachtungen, deren Resultate von einander verschieden sind, von gleicher Genauigkeit nicht die Rede sein. In der Fehlertheorie fasst man jene Bezeichnung vielmehr dahin auf, dass einem Fehler von irgend welchem bestimmten Betrage bei allen Beobachtungen die nämliche Wahrscheinlichkeit zukommt, mit andern Worten, dass die Fehler aller Beobachtungen ein und demselben Gesetze folgen. Für eine unbekannte Grösse seien also durch n gleich genaue Beobachtungen die Werte l^, Zg; • • • ^n gefunden worden. Angenommen, x sei der wahre Wert jener Grösse; dann sind X — l^, 00 — l^j » > • x — In die den Beobachtungen an- haftenden Fehler. Bezeichnet q){e) das Gesetz, welchem sie unterliegen, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste, zweite, . . . Beobachtung den Wert Zj, l^, . . , ergeben habe, proportional beziehungsweise q){x — ^ , q){x — Zg) , . . . Sofern man die einzelnen Beobachtungen als von einander unab- hängig voraussetzen kann in dem Sinne, dass das Ergebnis -- 12 - der einen ohne Eiuttuss ist auf das Ergebnis der nach- folgenden, ist die Wahrscheinlichkeit a priori des beobach- teten Ereignisses, beßtehend in dem Zusammentreffen der Resultate l^, 7^, . . . Z„, proportional dem Produkt . (1) Sl = (p(x — li) q>(x — y . . . ^{x — ?n). Die Grösse x, als Ursache des beobachteten Ereignisses angesehen, ist aller zwischen gewissen Grenzen x^^ X ge- legenen Werte fähig. Nimmt man an, dass vor Ausführung der Messungen mangels anderweitiger Kenntnisse alle diese Werte als gleich möglich angesehen werden müssen, so ist die Wahrscheinlichkeit a priori, dass der Wert der Unbe- kannten zwischen den Grenzen x und x-^-dx eingeschlossen sei, unabhängig von x und nur dem Intervall dx der Grenzen proportional, so dass die Wahrscheinlichkeit der letzteren Annahme über den Wert der Unbekannten nach erfolgten Beobachtungen dargestellt ist durch (Pix —li)(p{x — 1^) ' ' ' (p{x — l^dx (2) p = ^ Jq) {x — \)q>{x — l^"'(p{x — lj)dx Dieser Ansatz entspricht den thatsächlichen Verhält- nissen insofern nicht vollständig, als man in Wirklichkeit bezüglich der zu bestimmenden Grösse wohl niemals in sol- cher Unkenntnis sich befinden wird, um über ihren wahren Wert keine gegründeten Vermutungen aufstellen zu können*). Die apriorische Wahrscheinlichkeit wird also nicht für alle Werte von x dieselbe, sondern nach einer Funktion von x geregelt sein, welche, dem Satze von Bayes gemäss, in dem Ausdruck für p als Faktor im Zähler und im Nenner unter dem Integralzeichen auftreten sollte. Der Grund, warum diese Inkorrektheit keinen Nachteil zur Folge hat, liegt darin, dass innerhalb jener Grenzen, welche praktisch in Betracht kommen können, die einzelnen Werte von x thatsächlich als gleich mög- lich angesehen werden dürfen, während ausserhalb dieser Grenzen, wo eine erhebliche Änderung dieses Verhältnisses eintritt, zufolge der Natur der Funktion 9, wie bald gezeigt *) Kries, Princ. der Wahrsch.-R., pag. 122 flg. ~ 13 - werden wird, das Produkt Sl von so geringfügigem Betrage ist, dass die Hinzufügung eines weiteren von x abhängigen endlichen Faktors eine Modifikation des* Resultates nicht her- beiführen kann. In dem letzteren umstände ist es auch be- gründet, dass man, analytischer Vorteile halber, das Gebiet Xq bis X der möglichen Werte von x auf das Gebiet — c» bis -|- oo aller reellen Zahlen ausdehnen darf. In demselben Sinne, in welchem g){s) das Gesetz der Wahrscheinlichkeit des Fehlers der einzelnen Beobachtung darstellt, drückt (3) y = H(p(x — li)(p(x — I2) . . . (p(x — In) das Gesetz der Wahrscheinlichkeit der Werte von x aus, wenn man zur Abkürzung X ^ = f q>{x — li)(p(x — ^2) • • • ^(^ ~~ ln)dx Xq setzt. Eine Kurve mit obiger Gleichung, x als Abszisse und y als Ordinate aufgefasst, wird den Verlauf dieser Wahr- scheinlichkeit zur Anschauung bringen. 7. Gauss*) wählt unter den verschiedenen Werten von x denjenigen als den zweckmässigsten, für welchen die Wahr- scheinlichkeit p am grössten ist, und nennt ihn demgemäss den wahrscheinlichsten Wert von rc**). Seine Bestim- mung führt in letzter Linie auf die Bedingung Sl ein Maximum oder W s - 0- Da mit ^ gleichzeitig auch y ein Minimum wird, so entspricht in der geometrischen Darstellung von (3) der *) Theoria motus corp. coel., Art. 177. — Vgl. hierzu Anmerkg. zu 123. **) Dieses Prinzip ist schon von Daniel Bernoulli befolgt wor- den : Dijudicatio maxime probabilis plurius observationum discrepan- tium atque verisimillima inductio inde formanda, Acta Acad. Petropolit. p. 1777, pag. 3 flg. Von Euler wurde dasselbe bestritten (ibid., pag. 24 flg.) und durch ein anderes ersetzt, dessen Anführung wir für überflüssig halten. — 14 — wahrscheinlichste Wert von x der grössten Ordinate als Abszisse. S. Laplace*) geht von der Anschauung aus, dass jeder Fehler in der zu bestimmenden Grösse, er sei positiv oder negativ, wie ein Verlust kn Spiele anzusehen sei, und dass man daher jeden Wert, welchen man wählt, nach dem mut- maasslichen Gesamtverlust, d. i. nach der Summe der Pro- dukte aller möglichen Fehler, ohne Rücksicht auf ihr Vor- zeichen, mit ihren respektiven Wahrscheinlichkeiten zu beurteilen habe. Diesen mutmaasslichen Gesamtverlust be- zeichnet er als den „mittleren zu befürchtenden Fehler"; im Einklänge mit der jetzt üblichen Terminologie wäre er als „durchschnittlicher Fehler" zu benennen. Als den vor- zugsweise zu wählenden Wert von x erklärt nun Laplace denjenigen, welchem der kleinste durchschnittliche Fehler zukommt. Um diesen Wert a zu finden, verlegen wir den Anfangs- punkt für die Zählung der Werte x in den Anfangspunkt Xq ihres Gebietes und nennen dann die Koordinaten eines be- liebigen Punktes der Wahrscheiniichkeitskurve (3) x\ y\ Ist x' der wahre Wert der Unbekannten, so ist rc' — a der Fehler von a; derselbe ist positiv oder negativ, jenachdem x' grösser oder kleiner ist als a; mithin ist der durchschnitt- liche Fehler von a gleich a X' I (a — x)y'dx' + j {x' — a)y'dx'\ a die Bedingung seines Minimums besteht in dem Verschwinden des in Bezug auf a gebildeten Differentialquotienten und lautet a X' (5) / y'dx' = / y'dx . . a Geometrisch ist also der nach dieser Vorschrift zu *) Theorie analyt. des Probab., II., Art. 23. Die erste Veröffent- lichuDg dieses Teils fällt in das Jahr 1774, Mäm. Acad. Paris par divers Savans, vol. VI, pag. 621 flg. — Vgl. femer Hist. Acad. Paris p. a. 1778, pag. 322 flg. — 15 — wählende Wert von x durch diejenige Abszisse dargestellt, deren zugehörige Ordinate die ganze von der Wahrschein- lichkeitskurve (3) begrenzte Fläche halbiert, so dass die Wahrscheinlichkeit, der wahre Wert sei kleiner als a, ebenso gross ist wie die Wahrscheinlichkeit, er sei grösser als a, 9. Von einem ähnlichen Gesichtspunkte ist Gauss in seiner späteren, unserem Gegenstande gewidmeten Arbeit*) ausgegangen. Auch er vergleicht die Bestimmung einer Grösse durch Beobachtung mit eiliem Glücksspiele, bei dem nur verloren werden kann. Während aber Laplace die Grösse des Verlustes nach dem absoluten Betrage des Fehlers schätzt, wählt Gauss hierzu das Quadrat des Fehlers als die einfachste, beständig positiv bleibende stetige Funktion desselben. Eine Willkür lässt sich, wie Gauss selbst her- vorhebt, w,eder der einen noch der andern Festsetzung ab- sprechen, und welche von beiden man vorziehen soll, kann durch abstrakte Erwägungen nicht festgestellt werden. Für die analytische Behandlung ist das von Gauss befolgte Prinzip insofern geeigneter, als es den Zeichenunterschied der Fehler und damit die Unterbrechung der Stetigkeit, welche bei dem Laplace 'sehen Prinzip an der Nullstelle eintritt, in der einfachsten Weise aufhebt. Im Sinne dieses Prinzips ist eine Bestimmung der un- bekannten Grösse zu beurteilen nach der Summe der Pro- dukte aus den Quadraten der möglichen Fehler mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten; die Quadratwurzel aus dieser Summe bezeichnet Gauss als den mittleren in der Bestimmung zu befürchtenden Fehler und erklärt die- jenige Bestimmung für die zweckmässigste, welche den kleinsten mittleren Fehler zur Folge hat. Mit Beibehaltung der vorhin eingeführten Bezeichnungen ist das Quadrat des mittleren Fehlers in der Bestimmung a durch I (x — aYydx Xq *) Theoria combin. observ., art. 6. — Vgl. hierüber Anmerkg. zu 123. — 16 — dargestellt^ und die Bedingung seines Minimums in Bezug auf a lautet (6) I (x - a)ydx = 0. Der auf Grund dieses Prinzips zu wählende Wert der Unbekannten ist also durch die Abszisse des Schwerpunktes der ganzen von der Wahrscheinlichkeitskurve (3) begrenzten Fläche bestimmt*). Im allgemeinen werden die drei vorgeführten Bestim- mungsweisen, welche nach dem, was bei der letzten bemerkt worden ist, noch durch andere vermehrt werden könnten, zu verschiedenen Resultaten führen; es sind aber Formen der Wahrscheinlichkeitskurve y = H£l denkbar, für welche diese Resultate in eins zusammenfallen. Wir werden Jn kurzem den Fall näher betrachten. § 3. Das arithmetische Mittel. 10. In dem zu Beginn des vorigen Paragraphen definirten Falle direkter Beobachtuugen gleicher Genauigkeit galt seit jeher bei den Beobachtern die Regel, dass der zweckmässigste Wert, welchen man für die Unbekannte wählen kann, das arithmetische Mittel aller Messungsergebnisse sei. Diese Regel hat Gauss**) als Hypothese oder als Axiom der Ab- leitung von q) zu Grunde gelegt in dem Sinne, dass er das arithmetische Mittel für den wahrscheinlichsten Wert der unbekannten Grösse erklärt. Auch Legendre beruft sich in der Arbeit***), welche neben der soeben citierten von Gauss die wissenschaftliche Verwertung von Beobach- tungsergebnissen begründet hat, auf diese Regel. Bevor wir von dieser Hypothese in dem angezeigten Sinne Gebrauch machen, wollen wir uns mit ihr selbst ein- gehender beschäftigen. *) Vgl. den Schluss von Art. 12. **) Theoria motus corp. coeL, art. 177. ***) Nouvelles mäthodes pour la dötermination des orbites des comätes, Paris 1806, pag. 74. - 17 - 11. Die erste wissenschaftliche Untersuchung, beziehungs- weise Begründung der Begel vom arithmetischen Mittel ver- dankt man Lagrange*). Die betreffende Arbeit, durch hohe Klarheit ausgezeichnet, bildet zugleich die erste Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Beobachtungsfehler. Für unsere Zwecke wird es genügen, auf die beiden Probleme einzugehen, welche Lagrange als IL und V. behandelt. Das erste derselben kann wie folgt ausgesprochen werden: Vorausgesetzt, man könne sich bei jeder Beobach- tung um eine Einheit sowohl im positiven wie im negativen Sinne irren, es sei aber das Verhältnis der Anzahl der Fälle, in denen man ein genaues Resultat erhält, zur Anzahl derer, welche einen Fehler + 1> beziehungsweise — 1 geben, wie a:b :b] so verlangt man die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Mittel aus n Beobachtungen der Fehler den absoluten Betrag — (m < n) nicht überschreite. In dem Mittel aus n Beobachtungen kann der Fehler offenbar einen der Werte 0, H — , H ,•••+ — = + 1 *) Memoire sur Tutilitä de la m^thode, de prendre le milieu entre le räsnltats de plusieurs observations etc., Miscell. Taurinensia, tome V (für die Jahre 1770 — 1773, die Abhandlung selbst fällt in das Jahr 1774), pag. 167 flg. Der hier in Betracht kommende Teil der Arbeit ist wiedergegeben von Encke in der Abhandlung: Über die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Beobachtungen, Berl. Astron. Jahrb. 1853. — Lagrange 's Arbeit hat zur Zeit ihres Er- scheinens vermöge der Neuheit des Gegenstandes die Aufmerksamkeit der Mathematiker in hohem Grade auf sich gelenkt. Dies beweisen mehrfache Reproduktionen und Kommentare, so von Joh. III. Ber- noulli in der Encycl. Methodique, vol. II, pag. 404 flg., von Euler in den Acta Acad. Petropolit., vol. III, pag. 289 flg., von Trembley in den Mäm. Acad. Berlin 1801, pag. 29 flg. — Als Vorläufer von Lagrange hat Simpson zu gelten: An Attempt to show the Ad- vantage arising by Taking the Mean of a Number of Observations, in Practical Astronomy, zum grössten Teil der Wiederabdruck einer 1756 in den London Fhilos. Transact. veröffentlichten Arbeit, erschienen in den Miscellaneous Tracts one some curious and very interesting Sub- jects in MechanicB^ Physical- Astronomy and Speculative Mathematics, 1767, pag. 64 flg. In dieser für ihre Zeit höchst wertvollen Unter- suchung ist die Idee eines Fehlergesetzes zum erstenmale ausgesprochen. Gznbor, Theorie der Beobachtungsfehler. 2 - 18 — annehmen^ und die Wahrscheinlichkeit , dass er dem abso- luten Betrage nach — nicht überschreite, wird die Summe der Wahrscheinlichkeiten sein, dass erO,+l,H , ••• + — betrage. Man wird also zuerst die Wahrscheinlich- keit des Fehlers + — suchen. — n Die Aufgabe kann auf das Spiel mit einem Würfel (im weiteren Sinne) zurückgeführt werden, auf welchem a Seiten mit 0, b Seiten mit + 1 und b Seiten mit — 1 bezeichnet sind; man wirft n mal und verlangt die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der erschienenen Zahlen + fi sei. Die Anzahl der diesem Ereignis günstigen Fälle ist der Koef- fizient M von ^ in der Entwickelung der w*®° Potenz des Trinoms af -f- 6^ -|- bt-^ = a -^ b(t -{- t-^). Da aber dieses Trinom symmetrisch ist in Bezug auf t und ir"^, so wird auch die Entwickelung der n^ Potenz symmetrisch in Be- zug auf gleich hohe positive und negative Potenzen von t] folglich wird auch der Koeffizient von t~f^ gleich M sein und die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler + — betrage, 2M sich darstellen in dem Bruche - (a-f 26f Nun ist (a + b(t + ir^)y = a" + na'^'^bit + t-^) + (;)a"~^6'(< + t-'f + • • uild darip wenn man daher der obigen Entwickelung die Form erteilt, so erkennt man alsbald, dass - 19 — ^ =«" + © ©«"-'6*+a)aK-*&*+a)(s)«"-'&*+-, J5 = (j)a«-i6+(»)(»)a'-»6''4-®a)a"-'^6'^+G)(?)«"-'6'+-, C= (»)a''-^6*+ © ©«"-^ft^H- G)(j)«'-''6*+ © (»)«»-»6«+- Demnacli ist + (^ t') (u+4) «"-^^-"6^+" + • • • und die Wahrscheinlichkeit^ dass der Fehler des Mittels dem absoluten Betrage nach — nicht übertreffe, ^ (a + 26)" Zwischen den Koeffizienten Ä, B, C . . . besteht ein Zusammenhang, welcher ihre successive Berechnung erleich- tert; derselbe ergibt sich, wenn man die Gleichung {a + b(t+ ir-^)y = Ä + B{t+ tr^) + C{t^ + ^-') H logarithmisch differentiiert und das Resultat mit t multipli- ziert; wenn man hierauf die so gefundene Gleichung nbit-t-^) ^ B(t - 1-^) + 2C (t^ - t-^) + sD(t^^ t-^) + ». . von den Nennern befreit und beide Seiten derselben ver- gleicht, so ergeben sich zur Bestimmung von J., J5, C, . . . die Gleichungen nb(Ä-C)= aB + 2bC nb{B—D) = 2aC+ 6(5 + 32)) n6(C-i;)=3aD+ 1{2G+4:E) aus welchen sich mit der Abkürzung -=- = ifc C = h nA— kB w + 2 ^ — ti + 3 ^ (n — 2)0 — 3*2) Ü = i — -. - 20 - findet; so dass mit Hilfe yon A und B die übrigen Koef- fizienten leicht berechnet werden können. Macht man die spezielle Annahme a = 1)^ also h =1^ welcher zufolge bei der einzelnen Beobachtung die Fehler 0, 4" 1 ^^^ — 1 ^1* gleicher Leichtigkeit begangen werden können, und rechnet Pfürw = l,2,3,... und die ver- schiedenen zulässigen Werte von ^, so gelangt man zu folgender Tabelle: n ! Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler des Mittels nicht überschreite n ±1 — w + n + n 1 2 3 4 5 6 3 27 19 81 51 243 141 729 7 9 19 27 51 81 141 243 393 729 25 27 71 81 201 243 573 729 + 1 + : + ' + A — n n n -^— n 1 1 1 79 1 ' 81 231 241 1 243 243 i 673 715 727 1 i 729 729 729 Die Tabelle 2>eigt, dass bei zwei Beobachtungen die Wahrscheinlichkeit eines fehlerfreien Mittels dieselbe ist wie die einer fehlerfreien Einzelbeobachtung, nämlich — : während aber bei der letzteren, da sie nur der Fehler und + 1 fähig ist, die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler nicht grösser sei als — , dem absoluten Betrage nach, noch immer gleichkommt -r-, ist dieseWahrscheinlichkeit bei dem Mittel —• Bei dem Mittel aus drei Beobachtungen ist die Wahr- scheinlichkeit des Fehlers gleich --, also kleiner als bei einer Einzelbeobachtung; während aber bei der letzteren die 1 2 Wahrscheinlichkeit für die Fehlergrenzen + v > i T ^^®" 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1 7 19 71 201 673 3 9 27 81 243 729 243 567 513 639 603 673 729 729 729 729 729 729 — 21 - 1 9 selbe ist wie für den Fehler 0, nämlich ^ = 07; beträgt sie 19 25 bei dem Mittel — , beziehungsweise --• Dieses Verhältnis verstärkt sich mit der Anzahl der Beobachtungen. Man überblickt es noch deutlicher, wenn man beispielsweise die Wahrscheinlichkeiten für die Fehler- grenzen + Y ^®^ w= 1, 2, 3; .. . Beobachtungen zusammen- stellt; man findet aus der obigen Tabelle für n = die Wahrscheinlichkeit — oder Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler des Mittels inner- halb gegebener Zahlen eingeschlossen bleibe, nimmt also mit der Anzahl der Beobachtungen, welche zu dem Mittel ver- einigt werden, zu und nähert sich sehr rasch der Einheit oder Gewissheit. Hierin bestehe, hebt Lagrange hervor, der Hauptvorteil, den man hei dem Mittel aus mehreren Beobachtungen erreicht. Das zweite der angezogenen Probleme lautet: Ange- nommen, jede Beobachtung sei irgendwelchen gegebenen Fehlern unterworfen, und man kenne zugleich die Anzahl der Fälle, in welchen jeder Fehler eintreten wird, so ver- langt man denjenigen Fehler des Mittels, für welchen die Wahrscheinlichkeit am grössten ist. Es seien _p, q, r, . . . die Fehler, welchen jede Beobach- tung unterworfen ist, und a, 6, c, . . . die bezügliche Anzahl der Fälle, welche jeden dieser Fehler eintreten lassen. Dann wird die Wahrscheinlichkeit, dass dem Mittel aus n Beobach- tungen der Fehler - anhafte, erhalten, wenn man den Koef- fizienten von ^ in der Entwickelung von (a^ + 6<''4-c^*+ •••)**, welcher die Anzahl der günstigsten Fälle darstellt, durch die Anzahl der möglichen (a -|- 6 + c + • • •)** dividiert. Jener Koeffizient hat nun die Form — 22 - a! p! y! . . . ' wobei cc -{- ß -{- y ' ' ' = n, ap + ßq -^ yr -{-''' = fi ist, und er muss, dem Verlangten zufolge, kleiner werden, wenn man die Exponenten um eine Einheit ändert, jedoct so, dass beständig a + j8 + y+'* = ^ bleibt. Bringt man beispielsweise a -{- 1, j8 — 1, y, . . . an Stelle von a, /J, y, . . ., so geht M über in a + 1 b 5 nimmt man dagegen a — 1, /J+1, y, ... statt a, /J, y, ... so verwandelt sich M in a IM und es muss sowohl ß + l a < 1 als auch ^-1—7 — < 1 a + l&^ p + la oder ___>_ und ^-i, 2, ^, . . . von einem festen Punkte, so stellt obige Korrektion die Ent- fernung des Schwerpunktes jener Gewichte von dem festen Punkte vor. Nimmt man also an, dass jede Beobachtung allen zwischen bestimmten Grenzen liegenden Fehlern unterworfen sei, und dass man die Wahrscheinlichkeitskurve dieser Fehler kennt, so braucht man nur den Schwerpunkt der ganzen Fläche dieser Kurve zu bestimmen und die Abszisse desselben wird die Korrektion des Mittels ausdrücken. Wenn die Kurve symmetrisch ist in Bezug auf die Ordinatenaxe, d. h. wenn positive und negative Fehler gleichen Betrages gleich wahr- scheinlich sind, so wird die Abscisse des Schwerpunktes oder die an dem Mittel anzubringende Korrektion gleich Null. Diese Untersuchungen sind geeignet, die Regel des arith- metischen Mittels vom Standpunkte der Wahrscheinlichkeits- rechnung als ein zweckmässiges Verfahren zur Bestimmung einer unbekannten Grösse aus Beobachtungen zu rechtfertigen, zumal die letzten Beobachtungen, welche sich bis zu der Auffassung eines stetigen Fehlergebietes erheben. Zur Ent- scheidung der Frage aber, ob das arithmetische Mittel jeder andern Verbindung der Beobachtungen vorzuziehen sei, bringen sie nichts bei, da sie diese Frage gar nicht berühren. 12. Eine andere, ebenfalls auf Wahrscheinlichkeits- betrachtungen beruhende Rechtfertigung der Regel des arith- metischen Mittels kann auf eine von Laplace*) gegebene Analyse gegründet werden. Gesetzt, für die Unbekannte X seien durch Beobachtung *) Theorie analyt. des Probab., IL, art. 18. 24 die n Werte l^, l^, .,.ln gefunde^ worden. Sind e^, e^^ . .> Sn die Fehler dieser Beobachtungen, so zwar, dass SO ist nX = ?! + Zg H h ^z. + f 1 + «2 H ^«• Die betreflFende Analyse beschäftigt sich nun mit der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Fehler ^i + ^2 "h ' * ' "f" ^» einer gegebenen Grösse gleich- komme. Vorausgesetzt wird dreierlei: 1) Dass die Anzahl n der Beobachtungen sehr gross sei; 2) dass sie alle gleich genau seien, dass also ihre Fehler ein und demselben Ge- setze unterliegen; 3) dass dieses Gesetz die Eigenschaft 9)( — x) = q){x) besitze. Wir denken uns das Gebiet zwischen den beiden ausser- sten, entgegengesetzt gleichen Fehlergrenzen in eine sehr grosse Anzahl gleicher Intervalle geteilt; ihre Grösse sei o, ihre Begrenzung erfolge durch die Beträge — aoj, — (a — l)aj, • • • — o, 0, g), • • • (a — l)ai, acOy welche sämtlich Vielfache von o sind. Die Wahrscheinlich- keit P, dass die Summe der Fehler der n Beobachtungen das ^- fache von cj sei, genauer ausgedrückt, dass sie zwischen gco und (S; + l)co liege, wird durch den Koeffizienten von ^^&yz~i jj^ jgj. Entwicklung von um so genauer dargestellt sein, je kleiner (o gemacht wird. Vermöge der Symmetrie hat e^CQV^^ denselben Koeffizienten. Wenn man daher diese Entwickelung einmal mit c~^®^^^~^rf@, dann mit e^^^^~^d® multipliziert, jedesmal in Bezug auf zwischen den Grenzen — ^ und ^ integriert und von der Be- merkung Gebrauch macht, dass das Integral 7t f — 3t ^<^V^d@ — 25 — Null ist für jeden von Null verschiedenen positiven oder negativen ganzzahligen Wert von r, während es für r = gleichkommt 2ä, so gibt die Summe der beiden Resultate 47t P] mithin ist 7t — n Vermöge der unter (3) vorausgesetzten Eigenschaft von €p reduziert sich auf {(p(0)co + 2q){G))(o cos ® + 2{^(o)(o cos |0 = 2{x)dx = 1c'\ . . . — aoi — ao) und beachtet, dass Je die Wahrscheinlichkeit angibt, der Fehler einer Beobachtung liege zwischen den äussersten Fehlergrenzen — ao und «co, und dass es daher der Einheit gleichkommt, so wird Führt man dies in den Ausdruck für P ein, so wird Wenn n eine sehr grosse Zahl ist, so kann man für f 1 — 2~^^" "^ — / ®®^^ ^*^® ^ ^^ nehmen, weil und setzt man ^ ^ 7," /2 26 - so geht der obige Ausdruck über in 7( i/n*^' COS (s-*yi)' dessen obere Grenze im Hinblick auf den unendlicli klein gedachten Wert von cd und den grossen Wert von n durch cx> ersetzt werden kann; nun ist allgemein*) e " ? folglich ergibt sich als Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der Fehler der n Beobachtungen gleich geo sei, oo dte-'' coa rt = X^ '> * • P = CO '2nk" . y^nnJc" oder, indem man t,(o = Sy (o = dz setzt, die Wahrschein- lichkeit, dass die Summe der Fehler zwischen und z -{- dz liege, ^ 1 2n*" y^nnk ti dz. Sie wird am grössten für ^e? = O7 mithin ist es wahr- scheinlicher, dass die Summe \'\'\-\ h ^» + ^1 + ^2 H V^n gleich sei ^i + ^2 + ' * ' + ^»; ^^ ^^ss sie einen hiervon um irgend einen Betrag abweichenden Wert besitze. Jene Summe ist aber der Ausdruck für wX; folglich ist es wahrschein- licher, dass X dem Mittel ^1 + ?2 + • • • + 2« n gleich sei, als dass es sich um irgend einen Betrag von ihm unterscheide. Ob es aber nicht etwa eine Verbindung der Beobachtungen gebe, welcher X mit noch grösserer Wahrscheinlichkeit gleichkommt, kann die obige Untersuchung nicht entscheiden. Es darf auch nicht übersehen werden, dass die Analyse für eine sehr grosse Anzahl von Beobachtungen geführt worden ist; auf eine Beobachtungsreihe von nur massiger Ausdehnung lassen sich ihre Resultate nicht übertragen. *) Vergl. Anmerkung zu 38. — 27 — 13. Die zuletzt gemachten Bemerkungen finden sich bei Ellis*) weiter ausgeführt. Dass das arithmetische Mittel gewiss mit dem wahren Werte zusammenfalle, sucht er durch folgendes Raisonnement zu begründen. Es sei X der wahre, l der beobachtete Wert, e der Fehler; dann bestehen die Gleichungen X — ^1 = f 1 • . • • • aus welchen sich durch Summierung [Z-z] = M = o und somit z = H n ergibt, weil, wenn keine permanente Ursache vorhanden ist, welche die Summe der positiven Fehler verschieden machte von der Summe der negativen, mit beständig wachsendem n immer mehr und mehr [f] = wird. Nun fügt Ellis gleich hinzu, dass gerade dieselben Erwägungen zeigen würden, dass [fis)] = 0, wenn f irgend eine ungerade Funktion be- deutet, wodurch man zur Bestimmung von X die Gleichung erhielte: [f{X — l)] = 0. An der Grenze, so bemerkt Ellis, sind beide Resultate richtig, für ein endliches n keines von beiden, und wenn man von der Bequemlichkeit der Rechnung absieht, gebe es keinen zureichenden Grund, warum man aus der grossen Zahl der Regeln, welche in der allgemeinen Gleichung \_f{X — ^] = enthalten sind, gerade diejenige des arith- metischen Mittels herausgreifen sollte. Dass aber, wenn es sich um Feststellung der Wahrheit handelt, die Einfachheit und Bequemlichkeit der Rechnung nicht ausschlaggebend sein darf, hat Tait**) durch ein treffliches Beispiel be- leuchtet; er sagt, die Wahl des arithmetischen Mittels unter den vielen andern Regeln sei damit zu vergleichen, wenn *) On the Method of Least Squares, Cambridge Phüos. Transact. 1844, vol. VIII, pag. 205. **) On the Law of Frequency of Error, Edinburgh Transact., vol. XXIV, pag. 140. - 28 — ein Rechner die allgemeine Massenanziehung direkt proportional der Entfernung setzte, statt umgekehrt ihrem Quadrat aus dem Grunde, weil dadurch das Problem der drei Körper ein- fach und seine Losung exakt wird, während sie sonst kom- pliziert und nur angenähert ist. Allerdings scheint es, wie Glaisher*) bemerkt hat, als ob die Gleichungen [X — Z] = und [/*(X— l)] = zusammen- fielen, wenn die bei den Beobachtungen zu befürchtenden Fehler sehr klein sind, weil man dann in der Entwickelung fXs) =-4.5 + B6^'-\ bei dem ersten Gliede stehen bleiben kann; dieser Schluss wird aber hinfällig, sobald -4. = ist; denn dann kommt man zu der Gleichung [(X — ly] =0 oder auch [(X — iy]=0 ..., wenn auch noch J5 = 0... ist. 14. Wesentlich anderer Natur sind die Untersuchungen über die Regel des arithmetischen Mittels, mit welchen wir uns jetzt beschäftigen wollen. Hier handelt es sich darum, auf Grund von Voraussetzungen, welche aus der Natur der Sache geschöpft werden, das arithmetische Mittel als die- jenige Verbindung der Beobachtungen zu erweisen, welche allen andern Verbindungen vorzuziehen ist. Der erste beachtenswerte Versuch dieser Art rührt von Encke**) her. Er stützt sich auf zwei Voraussetzungen: 1) Positive und negative Fehler von gleichem absoluten Be- trage sind gleich wahrscheinlich; 2) bei mehr als zwei Beobachtungen muss es möglich sein, dasselbe Endresultat zu erhalten, ob man die einzelnen Beobachtungen selbst kennt oder nur die Resultate, welche aus beliebigen Verbin- dungen der einzelnen Beobachtungen nach richtigen Prinzipien abgeleitet sind. Eine dritte Voraussetzung wird, ohne jedoch als eine solche ausdrücklich bezeichnet zu werden, im Laufe des Beweises gemacht. *) On the Law of Errors of Observations and on the Meth. of Least Squares, Mem. of the R. Astron. Soc. 1872, vol. XXXIX, pag. 88. **) Über die Begründung der Methode der kleinsten Quadrate, Abbandig. der Berliner Akad. für das Jahr 1831, pag. 73 flg. Siehe auch Berliner Astron. Jahrb. 1834, pag. 260 flg. — Hierzu die Bemer- kungen Beuschle's, Crelle's Joum. 26, pag. 353 und Encke's Gegen- bemerkungen, ibid. 27, pag. 220. — 29 - Aus der ersten Voraussetzung folgt, dass der aus zwei gleich genauen Beobachtungen a, h einer Grösse für diese vorzugsweise zu wählende Wert das arithmetische Mittel sei. In der That ist diese Annahme die einzige, welche mit jener Voraussetzung und der gleichen Genauigkeit beider Beobachtungen im Einklänge steht^). Sind drei Beobachtungen ausgeführt worden, welche für die unbekannte Grösse die Werte a, h, c ergeben haben, so kann man aus ihrer gleichen Genauigkeit zunächst nur den Schluss ziehen, dass der zu wählende Wert x eine symme- trische Funktion von a, &, c werde sein müssen (dritte An- nahme). Kennte man statt der drei Einzelwerte das aus irgend zweien nach der obigen Regel abgeleitete Resultat und den dritten, also *) Übrigens lässt sich unter Festhaltnng der Annahme 1) ein strenger Beweis führen, dass das arithmetische Mittel aus zwei Be- obachtungen von gleicher Genauigkeit der wahrscheinlichste Wert der beobachteten Grösse sei (s. 7). Heissen die Beobachtungsergebnisse wie oben a, &, so ist wahrscheinlichster Wert x derjenige, für den ß «= q>{x — a)q>{x — h) ein Minimum wird, und die Bedingung dieses Minimums lautet y' (a? -a) , qj^x — l) ^ ^ q)(X'-'ä) "' q){x — b) Da (p eine gerade, so ist (p' eine ungerade Funktion und mit Rück- sicht darauf kann man auch schreiben (p'ix — a) __ (p'ib — x) ^ ^ q){x — a) q){b — X) Und diese Gleichung wird in der That durch die Substitution ^ = ^ in eine identische, 2 = verwandelt. — Vgl. Glaisher, Mem. of the R. Astron. Soc, vol. XXXIX, pag. 92 und De Tilly, Nouv. Corresp. Math^m., I, pag. 143 flg. — 30 - b+c 2 ' oder €+ a oder a + h a 7 «7 SO rnnss es, der dritten Yoraassetzong gemäss, eine für alle drei Paare gleich bleibende Verbindung geben, welche das- selbe Resultat liefert wie die drei Einzel werte; bezeichnet man diese Verbindung durch die Charakteristik ^, so wird also Soll aber jeder dieser drei Ausdrücke eine symmetrische Funktion von a, i, c sein, so muss die einzelstehende Grosse a, respektive iy c mit den beiden andern in eben derselben Weise verbunden sein wie diese unter einander verbunden sind, nämlich durch einfache Summierung. Daraus folgt mit Notwendigkeit, dass der Ausdruck für x eine Funktion des Aggregats a -\-h -\- c sein müsse, etwa Die Form dieser Funktion aber ergibt sich aus dem speziellen Falle a = 6 =» o; hier muss notwendig x = a, also werden; % bedeutet also Division durch 3, so dass a + h+c x= — ■ — sich ergibt Wenn nun allgemein für n Beobachtungen der zu wählende Wert a + & + ••• +jP X = n ist, so wird, wenn noch eine Beobachtung q hinzukommt, auch für w + 1 Beobachtungen X = — 31 — a + & + * ••+1^ + 2 ti + 1 zu nehmen sein; denn man kann x auch aus x und g ab- leiten^ so dass und da dies wegen der vorausgesetzten gleichen Genauigkeit der Beobachtungen eine symmetrische Funktion von a, & . . .^, g sein muss, so führen die nämlichen Schlüsse wie oben zu dem arithmetischen Mittel dieser Grössen. Die Giltigkeit der Regel ist für drei Beobachtungen erwiesen, somit besteht sie auch für jede beliebige Anzahl. Während von einer Seite, von Glaisher*), gegen diese Beweisführung Bedenken erhoben worden sind, wurde sie von anderer Seite, von Chauvenet**), als einwurfsfrei und völlig befriedigend bezeichnet. Bezüglich der Voraus- setzung 2) muss man indessen Glaisher's ablehnendem Urteil zustimmen. 15. Einen, vom mathematischen Standpunkte wenigstens, beachtenswerten Beweis für die Regel des arithmetischen Mittels hat Schiaparelli***) gegeben. Derselbe ruht auf folgenden Annahmen: 1) Das zu wählende Resultat muss unabhängig sein von der Einheit, in welcher die Beobach- tungen ausgedrückt sind; 2) seine Stellung unter den Be- obachtungen muss unabhängig von der Wahl des Nullpunktes für die Zählung dieser letzteren sein, analytisch gesprochen: wenn man zu allen Beobachtungen eine beliebige aber be- stimmte Grösse hinzufügt, so muss auch das zu wählende *) 1- C'i pag- 8ß flg- **) A Treatise on the Meth. of Least Squares, oder auch im Ma- nual of Spheric. and Practic. Astronomy, Bd. ü. « ***) Astron. Nachr., Bd. 87, No. 2068 (vergl. auch Rendiconti Ist. Lomb., I, pag, 771 flg.). — Hierzu die Bemerkg. S tone 's, ibid. Bd. 88, No. 2092 und Schiaparelli's Gegenbemerkg., ibid. No. 2097, welche die Priorität in Bezug auf den dritten Teil des Beweises betreffen. — In Grnnert's Arch., Teil 11, hat Matzka einen Beweis geliefert, welcher von der Annahme 2) des obigen ausgeht und auch in anderen Punkten einen ähnlichen Gedankengang verfolgt; die mathematische Formulie- rung ist aber weniger streng und einfach. - 32 - Resultat um dieselbe Grösse verändert sein; 3) wenn man einer der Beobachtungen eine Änderung erteilt^ so muss die dadurch hervorgebrachte Änderung des Resultats dieselbe bleiben^ welcher von den Beobachtungen man die Änderung erteilt haben mag. Sind also a^, ag; ;.. a» die Beobachtungsergebnisse, x= F{a^, Og, . . . ün) der auf ihrer Grundlage für die unbe- kannte Grosse zu wählende Wert, so fordert die erste An- nahme, dass F eine homogene Funktion der Argumente a^, a^, . , , ün vom Homogeneitätsgrade 1 sei*, auf Grund des Euler'schen Satzes über diese Gattung von Funktionen ist dann Die zweite Annahme führt, wenn die zu den Beobach- tungen hinzugefügte Grösse mit a bezeichnet wird, auf die Gleichung a; -f- a = F{a^ + a, «g + a, . . . a„ -f a); wenn man ihre rechte Seite mit Hilfe des Taylor'schen Satzes nach Potenzen von a entwickelt, so geht sie über in (dF .dF , . dFK , und da sie für beliebige Werte von a gelten muss, so schliesst man, dass Die dritte Voraussetzung entspringt aus der Forderung, dass alle Beobachtungen vermöge ihrer gleichen Genauigkeit in gleicher Weise an der Hervorbringung des Resultates mit- zuwirken haben, so das« ein Fehler, welcher Beobachtung er auch anhaftet, immer denselben Einfluss auf das Resultat üben muss. Wird die sehr klein gedachte Änderung s nach und nach den einzelnen Beobachtungen erteilt, so können die daraus erwachsenen Änderungen von x durch dF dF _ dF da^ ' da^ ' da^ - 33 - dargestellt werden; ihre Gleichheit erfordert, dass Die Gleichungen (1), (2), (3) bestimmen die Funktion F vollständig. Denn aus (2) und (3) folgt dF dF dF 1 und (1) gibt hiermit «1 + <*2 + • • • + «n X = n 16. Zwischen den Beweisen von Encke und Schiapa- relli nimmt der von Stone*) gegebene eine Mittelstellung ein, insofern er eine der beiden Voraussetzungen, auf denen er ruht, mit dem ersten und die andere mit dem zweiten gemein hat. Diese Voraussetzungen lauten: 1) Das aus mehreren gleich guten Beobachtungen zu wählende Resultat muss so gebildet sein, dass jede einzelne Beobachtung in gleicher Weise zu demselben beiträgt, d. h. die Beobachtungen sind so mit einander zu kombinieren, dass ein Fehler oder eine beliebige Änderung, welche einer Beobachtung zuge- schrieben wird, in dem Resultate den nämlichen Fehler oder die nämliche Änderung hervorbringt, auf welche Beobach- tung sich der Fehler oder die Änderung beziehen mag; 2) das aus zwei gleich guten Beobachtungen vorzugsweise zu wählende Resultat ist deren arithmetisches Mittel. Es seien a^, «g» • • • ^» ^i® Beobachtungsergebnisse, oc = F(ai, ttg, ... ttn) der zu wählende Wert der beobach- teten Grösse. Erteilt man nach und nach den einzelnen Be- obachtungen die beliebige Änderung a, so lassen sich die Änderungen, welche in x erzeugt werden, darstellen durch dF , 1 ^"^ 2 I da, ^ + 2 da,^ ^ "* dF_ I JL^!Z -_L ca^^'^ 2 da/^ "1 • • •••••• CF^ J_ L^'^' 2 I *) Monthly Not. of the R. Astron. Soc, vol. XXXIII, pag. 570. — Vergl. Art. 15. Czuher, Theorie dor Boobachtungs fehler, 3 — 34 — Yermoge der ersten Voraussetzung sollen sie für jeden be- liebigen Wert von e einander gleich sein ; dies ergibt folgende Beziehungen zwischen den partiellen Differentialquotienten von F: dF cF cF da^ da, ca^ d*F d*F d*F — SSS ■ ^^^r • • • ^^^m aus welchen sich die weiteren ergeben: o^F a«F c^F cP'^^F d^'^^F Setzt man «i = «i + Aj , a^ = «2 + ^^ • • • «» = a, + A„ so geht die nach Potenzen der X fortschreitende Entwicke- lung von ^(«1, ag, . ... a»), nämlich zufolge der obigen Beziehungen über in X = ^(0,, oj, ... «,) 4- (^1 + ^s + • • • ^) ä^ + TT (*i + ^ + • • • + ^)' ^^(«i+ö^u««+ö^«,"); wählt man aber «1 + Oj + • • • «» «1 = «2 = • • = «« = « = ^ 7 so wird Ai+A2 + .. + A„ = 0, daher - 35 - es muss also x eine Funktion des arithmetischen Mittels sein, wenn wirklich die einzelnen Beobachtungen in gleicher Weise zur Bildung dieses Wertes beitragen sollen. Sind blos zwei Beobachtungen, a^ und a^j vorhanden, so ist vermöge der zweiten Voraussetzung x = -^1—^ ; also für n = 2 ^(«^-±3) = «.^ oder f{a)^a. Angenommen, diese Beziehung gelte schon für n Beobach- tungen, so dass kommt nun eine neue Beobachtung ttn+i hinzu, so ist ai + «.H h^n + ^n+l ^« + ««+1 , ««+1 — « « ! — — — ! — s=— gv _L • n+1 w+1 ~ n+1 und die Taylor'sche Entwickelung gibt da aber f(a) = a, so ist /*'(") = ^f f\^) = 0, . . ., somit w + 1 w + 1 Gilt also jene Beziehung für n, so besteht sie auch für n + 1 zu recht. Nun ist für n = 2 ihre Giltigkeit ange- nommen worden; durch Induktion ergibt sie sich daher für jede beliebige Anzahl von Beobachtungen. Der Umstand, dass S tone's Beweis mit zwei Voraus- Setzungen sein Auslangen findet, verleiht ihm einen gewissen Vorzug vor den beiden früheren. 17. Zwei Eigenschaften des arithmetischen Mittels sind geeignet, den Anknüpfungspunkt für eine allgemeinere und zugleich tiefer gehende Auffassung des Gegenstandes abzu- geben; dasselbe ist erstens eine symmetrische Funktion der 3 * — 36 - Elemente und fallt zweitens, wenn diese unter einander gleich werden, mit ihrem gemeinschaftlichen Werte zusammen. Man kann diese zwei Eigenschaften füglich als Postulate hinstellen, welchen der aus einer Anzahl unler völlig gleichen Umständen angestellter Beobachtungen für die beobachtete Grösse zu konstruierende, sagen wir ihr wahrscheinlichster Wert, genügen muss. Denn fürs erste, nach dem Stande unserer Kenntnisse über die bei den Beobachtungen obwaltenden Umstände liegt kein Grund vor, die eine der andern vorzuziehen, weil wir kein anderes unterscheidendes Merkmal anzugeben vermögen als die Zeit, zu welcher jede einzelne gemacht worden ist; daher besteht auch kein Grund, warum sie bei der Bildung des gesuchten Wertes in verschiedener Weise in Rechnung kommen sollten. So lange, zweitens, nur eine Beobachtung vorliegt, stellt sie zweifellos den wahrscheinlichsten Wert der Unbekannten vor; kommt eine zweite mit der ersten übereinstimmende Beobachtung hinzu, so gilt bezüglich des gemeinsamen Wertes beider Beobachtungen das Nämliche und sogar in verstärktem Maasse, weil für dieselbe Thatsache nun zwei gleich gewichtige übereinstimmende Zeugnisse vorliegen u. s.w. Bezeichnen Z^, I2, ... In die Beobachtungen und F(li, Zg ... Z«) den wahrscheinlichsten Wert, welcher für die beobachtete Grösse aus ihnen abgeleitet werden kann, so ist es in der Natur der Sache begründet, dass F eine eindeutige und zwischen den Grenzen der Beobachtungen stetige Punktion sein muss. Denn zu jedem innerhalb dieser Grenzen befind- lichen Wertsystem Z^, l^, ... In gibt es notwendig einen bestimmten Wert, welcher als der wahrscheinlichste Wert der beobachteten Grösse zu gelten hat. Ebenso ist es klar, dass dieser mit den Beobachtungen stetig sich ändern werde. Unter den Punktionen, welche symmetrisch sind in Be- zug auf die Elemente \y l^j ... In und für Z, = ?2 = * • • = ^n = ? auf Z sich reduzieren, können also nur diejenigen in Betracht kommen, welche innerhalb der Grenzen der Beobachtung — 37 ~ eindeutig und stetig sind*). Solcher aber gibt es eine ganze Klasse^ sie mögen mit dem Namen der Mittelwerte belegt werden. Es bietet sieh nun die Frage dar: Welches Ver- halten zeigen die Mittelwerte unter einander und welche Stellung nimmt das arithmetische Mittel unter ihnen ein**), 18. Betrachtet man die einzelnen l als variabel und erteilt ihnen ein System von Änderungen dl^, dl^, ... dlny so wird die Änderung von F ^^ = ä7r '"» + dl, ^h + '" + ^^dln sein; für l^ = l^ = - - - ^^ In = l wird F =1 und dli = dl2 = • • ' = dln = dl, und vermöge der Symmetrie von F di; ck '" di^ - ^' folglich dF=nPdl', andererseits ist F{1 -{-dl,!-}- dl, . . .) ==:^F+dF= l + dl, daher dF = dl und somit n Dies also ist der gemeinschaftliche Wert der partiellen DiflFerentialquotienten von F in Bezug auf die einzelnen l, wenn diese unter einander gleich sind. Sind sie dies nicht, so kann man den genannten Dififerentialquotienten die Form geben *; BeispieUweise ist FQ, , l,) = 'M + „|/_iy^, WO a , ß (^ l) beliebige Koustante bedeuten und die Quadratwurzel als zweideutige Grösse aufgefasst wird, eine Funktion, welche zwar die zwei ersten , nicht aber die beiden letzten Eigenschaften aufweist. **) Diese Auffassung ist 1864 durch De Morgan begründet wor- den: On the Theory of Errors of Observations, Cambridge Philos. Transact., X, pag. 416 flg. und findet sich in weiterer Ausführung wieder bei Ferrero: Esposizione del metodo dei minimi qaadrati, 1876. pag. 7 flg. — Vgl. über die angezogene Stelle des letzteren Werkes eine Note von Ch. S. Peirce, Americ. J. of Mathem., I, pag. 59 flg. — 38 - dF 1 + «! dF 1 + a, dF l+a„ und da die Grossen a^, a2, . . . cc^ sämtlich gegen Null konvergieren, wenn die i^, üg, . . . ü« dem Zustande der Gleich- heit sich nähern, so werden sie, sobald die Beobachtungen einen genügenden Grad der Übereinstimmung zeigen, dem absoluten Werte nach durchweg kleiner als die Einheit, die partiellen Diflferentialquotienten also durchweg positiv werden. Dann aber ist F eine mit den Elementen wachsende Funk- tion, so dass, wenn 4 das kleinste, lg das grösste unter ihnen ist, notwendig h < F(l^f l^y '•-)<, lg. Bei hinreichend übereinstimmenden Beobachtungen liegt also jeder Mittelwert zwischen dem kleinsten und grössten Be- obachtungsergebnis; dies rechtfertigt seinen Namen. 19. Wir setzen ij = a + *!, I2 = a + S^, . . . In = a + dn, wobei a eine beliebig angenommene Grösse ist. Entwickelt man nun F{a + ^i, a + ^2> • • • ^ + *n) Jiach dem Taylor'schen Satze, so ist dabei zweierlei zu bemerken: es ist F(a, a, . . . a) '^ a und die in die Entwickelung ein- tretenden Werte der Diflferentialquotienten gleicher Ordnung und Art werden vermöge der Symmetrie von F unter ein- ander gleich, nämlich dF dF dk dk d^F d^F dl,^ dl^^ d^F ' d'F dl'dh d\d'k d^F d''F dk^ dk^ d^F d^F dk^dk ~ dh^s d^F d^F dkd^dls ^ dl,dkdh ff'F d^'F dV'^dV^- dVttdlg» ••• == — p, = ... = ^ = • • • = S für \^l^ = --- = a. = ... = T = =U — 39 - Die Entwickelung nimmt in Folge dessen folgende Gestalt an: (1) F(k,l,,...l„) = a + P[d] + i- {Qm + R[dA^]) + 1 {Sm + TWSr] + Z7[(J,(Jr*i"]) + -, wobei i, i\ i" verschiedene Suffixe aus der Reihe 1, 2, ...n sind. Für tf j = dg = • • • = tf n = ^ reduziert sich die rechte Seite notwendig auf a + ^5 daher ist, wenn man die Glieder- anzahl jeder Summe berücksichtigt, nP=l, ö + (w — l)i? = 0, S + (n - 1) T + (w ~ l)(w - 2) J7= 0, . . . Hieraus folgt zunächst, wie im vorigen Artikel bereits ge- zeigt worden, P = — , so dass die zwei ersten Glieder der rechten Seite von (1) sich zu ^ *- -* oder — vereinigen; in Folge dessen wird (2) F{\, k,... l„) = ^^ + I (Qm + BliiSrÜ) darin sind Q, R, S, T, U . , . Grössen, deren Wert von der Natur der Funktion F, von dem Wert a und von der An- zahl n der Beobachtungen abhängt. Hiemach erscheint jeder Mittelwert darstellbar als Summe aus dem arithmetischen Mittel und einem Aggregat, über welches a priori keine Auskunft, weder dem Vorzeichen noch dem Absolutwert nach zu geben noch zu erlangen ist; ,,es ist daher kein Grund vorhanden, anzunehmen, der Wert von .FQ^y ?2, . . . ü») liege auf der einen Seite des arithmetischen Mittels eher als auf der anderen, und es muss daher dieses arithmetische, Mittel als der wahrscheinlichste Wert a priori angenommen werden"*). So bestechend diese Schlussweise ist, bei genauer Prü- fung hält sie doch nicht Stand**). In Artikel 8 ist beispiels- *) De Morgan, L c. **) Glaisher, Mem. of thc B. Astron. Soc, XXXIX, pag. 91. — 40 - weise die Gleichung \X — l] = [s\ aufgestellt worden, in welcher X den wahren Wert der beobachteten Grosse und die € somit die wahren Beobachtungsfehler vorstellen. Man könnte ebenso schliessen: Weil über [«] a priori nichts be- kannt ist und nichts gefunden werden kann, so existiert kein Grund, warum [e] eher positiv als negativ sein sollte; die wahrscheinlichste Form der obigen Gleichung ist also [X — l] = und der wahrscheinlichste Wert von X das arithmetische Mittel — • Aber ganz die nämlichen Schlüsse dürften dann auf eine der Gleichungen [(X - ly] = [B% [(X - m ^[e%... angewandt werden. Glaisher hat die Bedenklichkeit des obigen Schlusses durch ein treffliches Beispiel illustriert. Wenn jemand sagt, ein Punkt liege auf einer Geraden irgendwo zwischen zwei gegebenen Punkten a und j3, so hat man sicherlich keinen Anhalt dafür, den Mittelpunkt von aß für eine wahrschein- lichere Lage des Punktes zu erklären als irgend einen anderen Punkt der Strecke, In dem Falle, welchen wir be- trachten, liegen die Verhältnisse ähnlich wie in diesem Beispiele. Durch De Morgan 's Deduktion ist wohl der bemerkenswerte Satz bewiesen, dass das arithmetische Mittel nicht blos einen Mittelwert der Beobachtungen, son- dern auch eine mittlere unter den unendlich vielen mög- lichen Annahmen über die Bildung des gesuchten Wertes darstelle; dass es aber der wahrscheinlichste oder auch nur vorzugsweise zu wählende Wert sei, kann aus ihr nicht ge- schlossen werden. 20. Ganz treffend sind die Schlüsse, zu welchen Ferrero gelangt ist. Seine Darstellung unterscheidet sich von der allgemeinen dadurch, dass für a das arithmetische Mittel der Beobachtungen genommen wird; dadurch gehen die d in die negativ genommenen Werte der Abweichungen der einzelnen Beobachtungen von ihrem arithmetischen Mittel über, die wir mit A^, Ag, . . . A„ bezeichnen, und die Ent- wickelung (1) oder (2) des vorigen Artikels lautet nun — 41 — (3) F{\, ?„ . . . Ir) = ^' + I {Q[X'] + 1?[A,A,,]) Vorausgesetzt; dass man es mit guten Beobachtungen zu thun habe, so werden dieselben sowohl unter einander als vom arithmetischen Mittel nur um geringe Beträge ab- weichen und man kann die Entwickelung auf Glieder von der zweiten Ordnung beschränken; bemerkt man ferner, dass wegen [A] = auch [A^] -j- [AjA,'] = ist, so kommt (4) F(i,, z„ . . . g = ffl + ^ im ■ Von Interesse ist das zweite Glied der rechten Seite, und in diesem zunächst wieder der Koeffizient — ,^ — von [AA], der von F und a = — abhängt; es ist beispielsweise für F = Yh ^2 • • • ^» ~^ — ni i 1 m \ \ j m jr -^ 1/ "1 'Th "1 r^n n y ' in(«- 1)" 2 2 na Q B 1 2 2na Q R m — 1 2 2na Q-R 2 1 n{n— l)a u. s. f. Setzt man> n -^-^ — == Ic, so zeigen diese Beispiele und eine eingehendere Untersuchung bestätigt es, dass Je niemals eine mit n wachsende Grösse bedeutet; mit dieser Abkürzung schreibt sich (5) F0„4,...4) = ^ + Ä^- Je kleiner also - — -, um so kleiner ist der Unterschied zwischen einem beliebigen Mittelwert und dem arithmetischen Mittel; da nun angenommen wurde, dass der wahrschein- lichste Wert unter den Mittelwerten sich befinden müsse, so zeigt die näherungsweise Übereinstimmung aller Mittel- — 42 — werte mit dem arithmetischen Mittel an, dass man sich durch Wahl des letzteren nur wenig von dem wahrscheinlichsten Werte entfernt und zwar um so weniger, je besser die Be- obachtungen sind. 21. So lange man bei den zwei Postulaten, welche an die Natur der Funktion F bisher gesteUt worden sind, stehen bleibt, ist das arithmetische Mittel Tor den anderen Mittel- werten nur dadurch ausgezeichnet, dass es die gemeinsame Grenze bildet« welcher sich diese nähern, wenn die Beobach- tungen an ÜbereinstimmuDg unter einander gewinnen. Durch Hinzufugung neuer Bedingungen kann es aber auch als der einzige unter den Mittelwerten zu wählende Wert hervorgehen. Ferrero*) hat in eleganter Weise dargethan, dass dies ein- tritt, wenn man die beiden ersten Ton Schiaparelli (Art. 15) aufgestellten Annahmen acceptiert Der analytische Inhalt dieser Annahmen besteht darin, 1) dass die Multiplikation aller Beobachtungen mit irgend einer Eonstanten auch eine Vervielfältigung von F mit der nämlichen Eonstauten zur Folge haben muss; 2) dass die additive Hinzufügung einer beliebigen Eon- stanten zu sämtlichen Beobachtungen die additive Hinzu- fugung derselben Eonstanten zu F herbeifuhren muss. Die dritte Annahme Schiaparelli's erweist sich dabei als überflüssig. Vermöge der Gleichung (3) des vorigen Artikels kann jeder Mittelwert auf die Form F(/,, /,, . . . /O = 5 + X + ^ + . - • gebracht werden; dabei ist A» eine ganze homogene Funktion der Grossen A^, iU . . . A,, also von der aUgemeinen Gestalt A, = a[X^] + ßl^r'^r] + • • • + SUfAl A.' ] + • • und die Eoeffizienten dieses Ausdruckes sind Funktionen von a = — - Setzt man daher { = ^(a) und denkt sich alle Beobachtungen mit c multipliziert, so geht a in ea, li = a — h ♦) L c^ pag. 39 flg. - 43 - in cXi über, das allgemeine Glied von An verwandelt sich also in &'(p(ca)[XiXl'kl", . .]; andrerseits aber geht vermöge der Annahme 1) F in cF über, folglich muss oder bezeichnet 5i den zu a= 1 gehörigen Wert von (p{a\ so wird »w - ^ und somit q>{a) a"-i Es nimmt demnach in Folge der Annahme 1) An die Form oder wenn man den eingeklammerten, nur von den Grössen K) ^2; • • • ^n abhängigen Ausdruck mit An bezeichnet, die Form — ^ an, und es wird Fügt man nun zu sämtlichen Beobachtungen eine Eon- stante Tc hinzu, so verändert sich a gleichfalls in a -|- ^ während die Grössen A^, A^ , . . . keine Änderung erfahren, weil das System der A dasselbe bleibt, da li = a — li = a -{-h — (li'\- Je), Zufolge der Annahme 2) verwandelt sich dabei F in2^ + ^> es müssen also die beiden Gleichungen neben einander bestehen; dies aber ist nur möglich, wenn A2 == Aq = • . . = ist. Dann aber folgt aus der ersten Gleichung — 44 — als der einzige unter den Mittelwerten, welcher den beiden aufgestellten Bedingungen genügt. Diese Bedingungen sind, genauer betrachtet, der Aus- druck von Eigenschaften des wahren Wertes der beobach- teten Grösse. Dieser wird thatsächlich cmal grösser, wenn man die Maasseinheit cmal kleiner macht, und verändert sich um Tzy wenn man den Nullpunkt der Teilung um den ge- nannten Betrag verschiebt. Dass nun, wenn man diese Eigen- schaften dem wahrscheinlichsten Werte vorschreibt, dieser mit dem arithmetischen Mittel zusammenfällt, erklärt Ferrero wie folgt. Der wahre Wert einer Grösse ist von den Be- obachtungsergebnissen unabhängig, er ist in Bezug auf die- selben eine Konstante; unter den Mittelwerten jP(Zi, Zg, . . . i«) kommt, analytisch gesprochen, das lineare oder arithmetische Mittel diesem Verhalten am nächsten, indem seine Ablei- tungen in Bezug auf die einzelnen l von der zweiten Ord- nung an verschwinden. Es kann daher nicht befremden, dass eine Annahme, welche dem wahrscheinlichsten Werte solche Eigenschaften zuschreibt, die das Verschwinden der Ab- leitungen von höherer als der ersten Ordnung in sich schliessen, auf das arithmetische Mittel hinführt. 22. Die Regel des arithmetischen Mittels, als praktisches Rechnungsverfahren, wurde, bevor Gauss sie zur Grundlage einer wichtigen Theorie erhoben, benützt, ohne dass man nach einer wissenschaftlichen Begründung geforscht hätte; sie galt als unanfechtbare Eingebung des Verstandes. Es ist begreiflich, dass dies anders werden musste, als jene Regel zum Ausgangspunkte einer theoretischen Ent- wicklung gemacht und dem arithmetischen Mittel eine genau umschriebene Eigenschaft beigelegt ward. Während auf der einen Seite sich Zweifel gegen diese Aufstellung erhoben, sind von der andern Versuche unternommen worden, sie durch Zurückführung auf eine einfachere Annahme zu recht- fertigen. Im Vorangehenden sind die hervorragendsten dieser Versuche dargestellt worden. Was sie angestrebt haben, nämlich den Satz, dass das arithmetische Mittel irgend einer ~ 45 - Anzahl gleich zuverlässiger Beobachtungen einer Grosse ihren wahrscheinlichsten Wert darstelle, auf eine einfachere Annahme von axiomatischem Charakter zurückzuführen , ist nicht gelungen. Für zwei Beobachtungen lässt der Satz einen strengen Beweis zu (s. Anmerk. zu 14); ebenso lässt sich seine Giltigkeit für eine unendliche Anzahl nur mit zu- fälligen Fehlem behafteter Beobachtungen nicht wohl an- zweifeln (s. 12 und 13); aber für die dazwischenliegenden Fälle ist eine befriedigende Begründung bisher nicht gefunden worden und wird — das liegt in der Natur der Sache — nie zu geben sein^ so dass also nichts übrig bleibt^ als den Satz in der allgemeinen Fassung als Grundsatz hinzunehmen oder auf ihn bei Begründung der Fehlertheorie ganz zu verzichten*). Nichtsdestoweniger haben die erwähnten Versuche, auch abgesehen von der scharfsinnigen Metaphysik und Analyse, welche sie auszeichnet, Anspruch auf Beachtung, weil sie einen genauen Einblick in den scheinbar einfachen Fall direkter Beobachtungen vermittelt und insbesondere die Stel- lung des arithmetischen Mittels zu andern Mittelwerten (s. 17—21) geklärt haben. Neuerdings hat Estienne in einer bemerkenswerten Schrift**) die Regel des arithmetischen Mittels einer Kritik unterzogen und an ihrer Stelle eine Regel vorgeschlagen, welche in allen Fällen gelten soll, wo die Beobachtungen nur von zufälligen Fehlern beeinflusst sind, und folgender- maassen lautet: Man ordne die Beobachtungsresultate nach ihrer Grösse; ist ihre Anzahl ungerad, so gibt das mittelste den wahrscheinlichsten Wert; ist ihre Anzahl gerad, so kann eines der beiden mittleren Resultate und jeder Zwischenwert mit gleichem Rechte als wahrscheinlichster Wert angesehen werden***). *) Man vgl. hierzu die Ausführungen von De Tilly, Note sur la principe de la moyenne arithmdtique , Nouv. Corresp. Mathäm. I, pag. 137 flg. und seine ßallistique, pag. 160 flg. **) fitude sur les erreurs d'observation. Paris 1890. (S. Compt. rend., CX, pag. 512.) ***) Indessen kommt Estienne an einer späteren Stelle seiner Schrift auf jene Formen des Fehlergesetzes zu sprechen, welche mit dieser Regel Tereinbar sind. (Vgl. Art. 45.) - 46 — Die Grundlage für den Beweis dieses Satzes bildet eine Definition der zufälligen Fehler, welche als deren ausschliess- lich feststehende Eigenschaft die anerkennt, gleich wahr- scheinlich zu sein in dem einen wie im andern Sinne. Wenn hiernach Zj, ^, . . . ix, ^x+i, * • - In die nach ihrer Grosse (etwa wachsend) geordneten Beobachtungsresultate sind und x den wahren Wert der beobachteten Grösse be- zeichnet, welcher a priori aller Werte eines Intervalls a, das jedenfalls die Beobachtungsergebnisse einschliesst, gleich fähig ist, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass er in ein zwischen Ix und Zx+i liegendes Intervall a; bis a; + ^^ fallen werde, dargestellt durch das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit, dass X Beobachtungen negative und n — x Beobachtungen positive Fehler anhaften, mit der apriorischen Wahrschein- lichkeit — des Wertes x, d. i. daher bei constant bleibendem dx proportional dem Bino- mialkoeffizienten ( ), also thatsächlich am grossten, wenn bei ungeradem n der Wert x an eine beliebige Stelle zwi- schen l^_^ und l^^ filllt (strenge genommen mit Ausschluss der Grenzen), und bei geradem n, wenn er zwischen l und H ¥ l zu lie&cen kommt, da im letzteren Falle die Anzahlen der positiven und negativen Fehler einander genau gleich werden und im andern Falle der Gleichheit möglichst nahe sind. Die oben angegebene Regel ist insofern nicht vollständig oder dieser Theorie nicht genau entsprechend, als sie für den Fall eines ungeraden n aus dem Intervall ?^_j bis l^,^ einen bestimmten Wert, nämlich l^,^ heraushebt, während doch 2 alle Werte jenes Intervalls (wieder mit Ausschluss der Grenzen) das gleiche Recht haben gewählt zu werden. Der Einwand, der gegen diese Deduktion erhoben werden muss, besteht darin, dass sie auf eine unvollständige Defini- — 47 — tion der zufiLlligen Fehler sich stützt und die unbestrittene Thatsache, dass die Wahrscheinlichkeit eines solchen Fehlers auch von seiner Grösse abhängig ist, bei Seite lässt. So viel Richtiges die Gründe, welche Estienne gegen die Heran- ziehung des Fehlergesetzes zur Aufstellung einer allgemein giltigen Regel für die Bestimmung des wahrscheinlichsten Wertes anführt, im Einzelnen auch enthalten, den obigen Einwand vermögen sie nicht zu widerlegen. Aus unvoll- standigen Prämissen kann ein allgemein giltiges Resultat nicht hervorgehen. Ein Punkt aus Estienne's Kritik des arithmetischen Mittels, den er für den gewichtigsten hält, möge heraus- gehoben werden. Hat man aus n für gleich gut zu achten- den Beobachtungen l^, I2 . . . In das arithmetische Mittel l, + L-\ \-l^ Jjf t= ' " n gebildet, und tritt eine weitere Beobachtung In^i hinzu, welche nicht mehr Zweifel einflösst als die vorher- gehenden, so ist auf die n-j-1 Beobachtungen Z^, Z2>---^/i+i die Regel wieder anwendbar und gibt als neues Mittel Je mehr i^+i von M abweicht, desto grösser sein Ein- fluss bei Bildung des neuen Mittels, und dies sei gegen die natürliche Vernunft: denn je mehr die neue Beobachtung Zn-j-i von M abweicht, desto mehr habe man Grund zu ver- muten, sie sei minder gut, und desto weniger sollte sie auf das Endresultat Einfluss nehmen. Hier stehen zwei Ver- mutungen einander gegenüber: die vor der Rechnung aus inneren (in der Beobachtung liegenden) Gründen aufgestellte, die neue Beobachtung sei eben so gut wie die früheren, und die nach der Rechnung aus äusseren Gründen geschöpfte, sie sei schlechter als jene. Ein stichhaltiges Argument für die Verwerfung der Regel des arithmetischen Mittels kann also in dem obigen Raisonnement nicht erblickt werden. (Vgl. Art. 91.) — 48 — § 4. Das Fehlergesetz auf Grund der Hypothese des arithmetischen Mittels. 23. Durch gleich genaue Beobachtungen, n an der Zahl, sind für eiue zu bestimmende Grösse die Werte l^, Zg . - . in gefunden worden. Bei bekanntem Gesetz der Fehler dieser Beobachtungen wäre der wahrscheinlichste Wert der Grösse auf Grund der Bedingung zu bestimmen, dass Sl = q)(x — y g)(x — ^2) • • • ^(^ — O in Bezug auf x ein Minimum werden soll, hätte also, wenn man ihn mit a bezeichnet, der Gleichung zu genügen, welche aus der logarithmischen Diflferentiation von Sl ein Min. hervorgeht. Stellt man dagegen die Hypothese auf, der wahrschein- lichste Wert der Grösse sei das arithmetische Mittel der Be- obachtungsergebnisse*), also (2) a = — --^ -— , dann führt die Forderung, dass die Gleichung (1) durch den Wert (2) befriedigt werden soll, zur Bestimmung des Fehler- gesetzes. Setzt man allgemein ^^ = H^) und schreibt die Gleichung (2) in der Form (3) (a — + (ö^ - ^2) + ••• + (« - In) = 0, so lässt sich der Inhalt der Gleichungen (1) und (3) dahin aussprechen, dass die Summe der Werte der Function ip(ß}) verschwindet, wenn die Summe der zugehörigen Werte der Variabein selbst Null ist, dass also tM + ^ (^2) H h t(^n) = 0, wenn ^ ^ ^1+ ^2 +•••+ ^n =0. *) Theoria motus corp. cool., art. 177. — 49 — Dies reicht, sofern die Anzahl der Grössen z^, 02) - - - ^^^' destens drei ist, zur Feststellung der Form von ^(^i) voll- kommen aus. Denn diflPerentiiert man die beiden Gleichungen und subtrahiert die neuen Gleichungen *'(^l)^^l + ^'W^^S H h t\^n)dZn = von einander, nachdem man die zweite mit einer unbe- stimmten Eonstanten multipliziert hat, so ist in der so erhaltenen Gleichung die ursprüngliche Abhängigkeit der n Differentiale dz^ , dz^y-'dZn aufgehoben; daraus schliesst man, dass allgemein daher ^(^) = ^ = ^-' weil die Integrationskonstante vermöge der Gleichungen (4) verschwindet; weiter l.^(z) = ~z' + l' C: Yor dem Übergange zu q){z) selbst kann man bemerken, dass, weil diese Funktion für ein unendliches z verschwindet, k die Eonstante — notwendig negativ sein muss; schreibt man sie demgemäss in der Form — Ji?, so wird Die Eonstante C kann mittelst der Bemerkung, dass / — 00 O = 1/ /!_e *"''-'>d^. V 29r(ß — r) Dies stimmt mit dem gefundenen Fehlei^esetze in der Form vollkommen übereiu, kann aber aus den oben ange- gebenen Gründen nicht als Bestätigung, muss vielmehr als Zeichen für die UnToUkommenheit der Theorie angesehen werden« 25. Wir nehmen die Gleichung (3), Art, 6, welche das Gresetz der Wahrscheinlichkeit der Werte der beobachteten Grosse x darstellt, wieder auf und stallen sie für das obige Fehlergesetz her. Zunächst wird, wenn man für H(-^\ kurz H* schreibt, setzt man femer x = a -f" ^? unter a das arithmetische Mittel, somit unter u den ihm anhaftenden Fehler yerstanden, weiter zur Abkürzung Terbindet den konstanten, d. L von n unabhängigen Teil + -r' (0^^ + • • •, und seine Wahrscheinlichkeit, da er mit zugleich begangen ward, ist wieder proportional g)(^)f also nicht mehr eine Funktion von Z allein. Beschränkt man sich auf Glieder der ersten Ordnung in z^ so wird z = -TTpr. und somit €p(ß) ^= g> (fif^) 7 also ausser von Z auch von l abhängig. 28. Bertrand*) hat sich mit der Untersuchung der Frage beschäftigt, welche allgemeine Form die Funktion, die den wahrscheinlichsten Wert der beobachteten Grösse durch die einzelnen Beobachtungsergebnisse darstellt, haben müsse, um mit der Annahme vereinbar zu .sein, dass die Wahrscheinlichkeit eines Beobachtungsfehlers von diesem allein abhänge, eine Annahme, die man mit dem Begriff des Fehlergesetzes a priori verbindet. Es sei also der wahrscheinlichste Wert der beobachteten Grösse x, ab- geleitet auf Grund der n unabhängigen Resultate l^l^y-lny und die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in der einzelnen Beobachtung proportional der Funktion (p{z). Setzt man wie früher ^-— y = ^ (^), so muss die Gleichung ^{x - \) + ^{X'-l^)-\ h ^(ä; — ?n) = durch die Substitution x = a befriedigt werden, welches auch die speziellen Werte von l^, l^, . . ,ln sein mögen. Die n Grössen welche sämtlich Funktionen der n Variabein ?i, Zg, . . . ?« vorstellen, sind also nicht unabhängig von einander; daraus folgt, dass ihre Funktionaldeterminante verschwinden müsse. Man hat also zur Bestimmung von a die Gleichung *) Calcul des Probab., art. 144, und Compt. rend., CVJ, pag. 153 sq. 60 — da da — 1 da dh da dl, da • ••••••- — < da — ^— I • • • — — dl da dh da dk da ^ 8K ^ = 0, welche sich leicht auf die lineare Differentialgleichung da dl. da j, da , + — = 1 reduciert*). Die Lagrange'schen Hilfsgleichungen d?i = dZg = • • • = dln == da geben die n von einander unabhängigen Integrale oder die ihnen äquivalenten a n ^1 > '2 ^1 ^2? ^S ^1 ^S > •••^n — 'i=C7n 7 demnach ist das allgemeine Integral der obigen Differential- gleichung h + h + '" + h a = n I ^(^2 ^17 ^3 ^O • • • ^» ^l)> wobei ^ eine willkürliche Funktion der eingeschlossenen Argumente bezeichnet; jeder Wahl von

(^) = 5 — 7 es haben also auch alle Werte von x denselben Grad der Leichtigkeit. Wenn dieses Gesetz platzgriflfe, gäbe es keinen wahrscheinlichsten Wert der Unbekannten, weil die hierzu erforderliche Gleichung (4), 7, oder (1), 23 illusorisch würde. b) Alle Werte von S zwischen den Grenzen — — und + — seien gleich wahrscheinlich und x proportional dem Sinus von S**), also *) B es sei, untersuch, über die Wahrsch. der Beobachtungsfehler, Astron. Nachr., Bd. 16, Nr. 368—369. **) Ein dieser Annahme entsprechender Fall tritt ein, wenn mit einem Kreise, der nnr einfache Ablesung gestattet und dessen Alhidade eine bekannte Exzentrizität aufweist, an beliebigen nicht angegebenen Stellen der Teilung ein Winkel gemessen wird. C Silber, Theorie der Beohachtangsfehler. 5 n man findet dann - 66 — ^>{x) Gleich grosse positive und negative Fehler sind gleich wahr- scheinlich; ihre relative Häufigkeit wächst aber mit dem absoluten Betrage und erreicht an der Grenze a; = -j- a einen unendlichen Wert. Bei diesem Fehlergesetz gäbe es ebenfalls keinen wahrscheinlichsten Wert der beobachteten Grösse im eigentlichen Sinne; im Gegenteil wäre hier der- jenige Wert derselben vorzuziehen, welchem die kleinste Wahrscheinlichkeit zukommt. c) Allen Werten von | zwischen — a und + « komme gleiche Wahrscheinlichkeit zu und x sei proportional dem Quadrat von g*), also hieraus ergibt sich ^ayax Dieses Fehlergesetz zeichnet sich vor dem vorangehenden dadurch aus, dass es Fehler nur eines Vorzeichens zulässt; mit dem Wachsen des Fehlers nimmt seine relative Häufig- keit ab und wird für unendlich kleine Fehler unendlich gross. Auch hier könnte von einem wahrscheinlichsten Werte einer wiederholt beobachteten Grösse nur insofern gesprochen werden, als dem grössten, resp. kleinsten unter den Beobachtungsergebnissen eine unendlich grosse relative Wahrscheinlichkeit zukommt, so dass er allen andern Werten vorzuziehen wäre**). •) Ein dieser Annahme entsprechender Fall ergibt sicH bei dem Messen der Länge einer Stange mit einer sphärisch gekrümmten End- fläche anf einem mikrometrischen Apparat, welcher den Fehler hat, dass der Mittelpunkt der sphärischen Endfläche nicht genau in die Gerade zwischen der Mikrometerspitze und jenem Punkte, von welchem an die Länge gezählt wird, gebracht werden, sondern innerhalb der Grenzen — a und + a willkürlich davon entfernt sein kann, wie eine einfache geometrische Betrachtung zeigt. **) Vgl. des Verf. Note in Grunert Arch., Th. IX (2) pag. 97 flg. — 67 — 31. Indem wir zu Fehlem übergehen, welche aus mehreren von einander unabhängigen Elementarfehlern zu- sammengesetzt sind, möge mit dem einfachsten Fall der Zusammensetzung zweier Elementarfehler Xi, x^ begonnen werden, deren Gesetze ^>x{x^y 9^2(^2) sind und welche zwischen den unteren Grenzen o^, a^ und den oberen h^^ \ beziehungs- weise sich bewegen. Der zusammengesetzte Fehler heisse z^ sein Gesetz g?(^). Die Wahrscheinlichkeit, dass Xy^ zwischen den Grenzen x^ und x^ + da?! enthalten sei, ist ^>i{x^dx-^\ soll bei dem Wert x^ des ersten Fehlers ein zwischen z und ;s? + c?j8f liegen- der zusammengesetzter Fehler entstehen, so muss x^ zwischen z — Xy^ und — x^ -\- de liegen, und die Wahrscheinlichkeit hiefür ist fp^{p — x^dg. Demzufolge ist wobei die Integration über jene Werte von x-^ zu erstrecken ist, welche mit dem Werte z verträglich sind. In der Fest- stellung dieser Grenzen liegt die erste Schwierigkeit der Aufgabe. Zuerst möge ein Verfahren* erläutert werden, welches Schols*) angegeben hat und das auch bei beliebig vielen Elementarfehlern benützt werden kann. Es sei g?i(a?i) durch die materielle Linie o^a^\j Fig. 1, dargestellt**), so dass wirklich mögliche Werte von x^ durch Tunkte der Strecke a^\ Fig. 1. dargestellt sind; ebenso j a, jc, 6, versinnliche die materielle '\ \ \ Linie o^a^\ das Gesetz ^, J3 — -h 9i (^2) ^6s zweiten Fehlers, ^\_ dessen möglichen Werten xa^ X a. \ Punkte der Strecke «2^2 entsprechen. Die mittlere Linie diene zunächst zur Darstellung von tp^{z — x^^ schliesslich aber auch zur Darstellung des zusammengesetzten Fehlers. Einem festgesetzten Werte z desselben entsprechen, da *) Annales de Tficole Polytechn. de Delft, II, pag. 142 flg. und ibid., m, pag. 142 flg. **) Vgl. Art. 4. 5* — 68 - ^ — x^=^ x^ und Og, ig die Grenzen von x^ sind, z — feg und z — ag als Grenzen der mit ihm verträglichen Werte von x^^ welchen die Punkte der Strecke a — ftg, z — «2 ^^f ^®^ mittleren Linie zugeordnet sind. Diese Strecke ist gleichsam das verkehrte Spiegelbild der Strecke d^b^ der dritten Linie. Da aber nur solche Werte von x^ wirklich möglich sind, welche den Punkten der Strecke aj)^ entsprechen, so können bei dem festgesetzten Werte von z nur solche Werte von x^ in Betracht kommen, welche korrespondierenden Punkten der beiden Strecken a^\ und z — 6^, z — a^, wie x^ und A, angehören, und damit sind die Grenzen der obigen Integra- tion nach x^ festgestellt; bei dem in der Figur angenommenen Werte z sind sie: Xy^ = z — i^ ^^^ ^i ==* ^i- Ändert man z^ so ändert sich nur die Lage der Strecke z — h^^ z — % ^^^ der mittleren Linie, nicht aber ihre Länge. Vier Lagen dieser Strecke sind von besonderer Bedeu- tung, diejenigen nämlich, wo einer ihrer Endpunkte mit einem Endpunkte von a^\ korrespondiert. Fällt z — Oj unter a^, so ist ^ == a^ + Og und es kor- respondiert kein weiteres Punktepaar beider Strecken. Fällt z — 62 unter a^, so ist z ^= a^-^-h^ und es haben alle Punkte der oberen Strecke von x^=a^ bis iCi= «1+62 — ^ korrespondierende Punkte auf der mittleren. Fällt z — a^ unter 6^, so ist j8f = fe^ + Oj ^^^ ^s haben alle Punkte der oberen Strecke von Xy^=^\'\- a^ — 62 ^^^ x^ = h^ korrespondierende auf der mittleren. Fällt endlich z — h^ unter \, so ist ^ = &i + 62 ^^^ die beiden Strecken haben kein weiteres Paar korrespon- dierender Punkte. Die gefundenen vier Werte von z, nämlich welche dadurch entstehen, dass man die unteren und oberen Grenzen der beiden Elementarfehler auf alle möglichen Arten kombiniert, bezeichnen ünstetigkeitsstellen der Funktion g)(z) insofern, als dieselbe bei Überschreitung dieser Stellen ihre Form ändert. Es ist also das Gesetz des Fehlers z im all- gemeinen durch drei verschiedene Funktionen dargestellt, entsprechend den drei Interyallen, welche durch die vier be- sonderen Werte von e begrenzt werden. Ein anderer Weg, um za diesen Resultaten zu gelangen, - ist der folgende. Man betrachte x^, x^ als die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes der Ebene; dann entspricht jeder WertkomhinatioD der beiden Elementarfehler ein Punkt M der Ebene und allen möglichen Kombinationen die Gesamt- heit aller Punkte in dem Rechteck CDEF, Fig. 2, wo- bei Oo, = Oj, 0\ = i„ Ooj^ög, 06g =-63 isi Der zusammengesetzte Fehler ' e = Xi -^ x^ wird durch die Strecke Oe dargestellt, welche man erhält, indem man durch den Punkt M eine zu den Axen gleich geneigte Gerade Mg führt; jedem Punkte dieser Geraden, der innerhalb oder am Rande des Rechteckes CDEF liegt, entspricht eine Kombination der Elementar- fehler, welche zu demselben e führt Macht man zs' ^ dz, XiXi' =^ äx^, zieht Ne' parallel Me uod N'Xi' parallel Nx^, 80 drückt das Produkt q^i (äJ 62*); ^^nn sind die Grenzwerte von z^ nach ihrer Grösse geordnet, und die zugehörigen Formen von q>(js), wie man durch Zu- hilfenahme der Figur leicht findet, 9i(ß) =J 9i{^i)9>Ä^ - ^i)ö!a?i G,<0ni(^) = fviMViißf — ^i)^^i G^2(^2) = 2t' g>ni{^) = 4^5, 1 das resultierende Fehlergesetz ist durch die gebrochene Linie STUV, Fig. 3, dargestellt. ♦) Bessel 1. c, pag. 379 flg. - 71 - Es sei ferner der erste Elementarfehler dem in 30, b) gefundenen, der andere dem im vorangehenden Beispiel an- genommenen Gesetz unterworfen, also Man findet dann / \ t [n , z — bJ\ 9'™(^) = 2^ Iy - ^'•<= «"1 -feT^J 5 das resultierende Fehlergesetz ist durch eine aus drei Teilen zusammengesetzte, gegen die Ordinatenaxe symmetrische Kurve STUVy Fig. 4, dargestellt und zeigt zwei Maxima und ein Minimum. Diese beiden Beispiele zeigen schon, in welch eigentüm- licher Weise die Gesetze der Elementarfehler durch das Zu- sammenwirken modifiziert werden. 32. Der behandelte Fall erfahrt eine wesentliche Ver- einfachung, wenn einer der beiden Elementarfehler, etwa X2, aller Werte zwischen — cx) und + 00 fähig ist. Dann tritt an die Stelle des Rechtecks GDEF ein Flächenstreifen in Richtung der Xg-Axe von der Breite \ — a^. und für das ganze Wertgebiet des zusammengesetzten Fehlers kommt dieselbe Darstellung (1) (p{z) = j q>iixi)g)i(g — Xi)dxi «1 - 72 - zur Geltung*). Durch Entwicklung von q)2(0 — Xi) in eine nach Potenzen von x^ fortschreitende Reibe wird 9>W = 92(^) j 9>iip^i)d^i — 92 {^) I x^(PiMdx^ öl bi + T7^j ^i^^PiMdx ; darin ist aber Ol 61 / (Pi{xi)dXi = 1 , a, ff 'l > • • • weil jeder mögliche Wert von x^ zwischen den Grenzen a^, b^ notwendig liegen muss^ und setzt man I Xi(pi{xj)dXi = Tc^j I Xi^(pi{xj)dxi = fc, «1 {0) = q>,{0) - k/q>,'ig) + ^^^ W'(^) • Diese Darstellung ist dadurch bemerkenswert, dass das Gesetz des einen Elementarfehlers darin nicht mehr als solches, sondern nur mit den von ihm abhängigen Grössen Jc^f ÄJj", . . . erscheint. 33. Um das Gesetz eines aus drei Elementarfehlem x^ x^f Xq zusammengesetzten Fehlers zu finden, hätte man zu- nächst zwei Fehler zusammenzusetzen und mit ihrer Resul- tante den dritten zu verbinden. Für z ergeben sich in diesem Falle, sofern zwischen den Grenzen der Elementar- fehler keine speziellen Beziehungen bestehen, acht besondere Werte, indem man jeden der vier Werte a^ + «2; ^1 + ^2? ^1 + ^; ^1 + ^2 einmal mit der untern Grenze o^, einmal mit der oberen Grenze 63 des dritten Fehlers verbindet; diese *) Crofton, London Philosoph. Transact., vol. 160, pag. 182. **) Eine andere Ableitung dieser Formel gab Crofton in der Encycl. Britannica, Artikel Probability, pag. 781. — 73 — acht Werte teilen das Gebiet von ^ in sieben Intervalle, welchen ebensoviele verschiedene Formen von fp(/) ent- sprechen. Auch hier kan^ noch die zweite der beiden geo- metrischen Darstellungen aus Art. 31 angewendet werden; fasst man nämlich x^y x^, x^ als die rechtwinkligen Koordi- naten eines Punktes im Räume auf, so entspricht allen Wert- kombinationen der drei Fehler die Gesamtheit der Punkte in einem gewissen Parallelepiped; gegen die Koordinaten- axen gleich geneigte Durchschnitte dieses Parallelepipeds bestimmen die Grenzen des Integrals ^(ß) = f f9>i(^i)9>2(^2)9>s{^ " ^1 ~ 3[)^)dXidx^, durch welches das Gesetz des zusammengesetzten Fehlers ausgedrückt wird, und insbesondere führen die durch die Ecken gelegten Durchschnitte zu den erwähnten acht Grenz- werten von 0. Bei mehr als drei Elementarfehlern hört die Möglich- keit einer geometrischen Versinnlichung in der letztgedachten Weise auf. Da jeder neu hinzutretende Elementarfehler die Anzahl der Grenzwerte von verdoppelt, so beträgt diese Anzahl bei n Elementarfehlern 2^* und daher die Anzahl der verschiedenen Formen von 2^ — 1. Bessel hat bis zu vier Elementarfehlern die Betrach- tung geführt und ihre weitere Verfolgung mit dem Hinweis auf die Kompliziertheit und den untergeordneten praktischen Wert aufgegeben. In jüngster Zeit haben Kummell*) und Schols**) den Gegenstand von neuem aufgenommen. Ersterer führt, um eine allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit des zusammengesetzten Fehlers zu gewinnen, den Diskontinui- tätsfaktor von Lejeune-Dirichlet ein, ohne die Schwierig- keiten, die aus der Diskontinuität von g){0) hervorgehen, ganz zu lösen. Vom allgemeinsten Standpunkte ist die Frage durch Schols behandelt worden, welcher zu einer allgemeinen Formel für die Wahrscheinlichkeit eines aus einer beliebigen *) AstroD. Nachr., Bd. 103, No. 2460—61. **) Ann. de TÄcole Polytechn. de Delft, IIT, pag. 140 flg. — 74 — Anzahl von Elementarfehlern zusammengesetzten Beobach- tungsfehlers in einem beliebigen Intervall von ß gelangt ist. Für spätere Zwecke soll die ^allgemeine Form für das Gesetz eines Fehlers aufgestellt werden, welcher durch das Zusammenwirken von n unabhängigen Fehlerquellen entsteht. • Es seien die Elementarfehler, welche einzeln dem Gesetze 9^1 (^l)> 9^2(^2); ••• 9»(^n) gemäss wirken, und zwar zwischen den bezüglichen Grenzen — «1 und + a/, — ag und + a^, ... — a„ und + an» Die Wahrscheinlichkeit, dass der ersten Fehlerquelle ein Fehler im Betrage zwischen Xy^ und x^ + dx^ entspringt, ist 9i(^i)^^i5 01^6 ähnliche Bedeutung hat das Produkt (p^{x^dx2 für die zweite, . . . (pn(pDn)dXn für die w*® Fehlerquelle. Die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen dieser Beträge, vermöge der vorausgesetzten Unabhängigkeit der Fehler- ursachen, ist 9^1(^1)9^2(^2) • • • den Wert + -^ oder — , jenachdem p"^ z oder p 1 Csin {p — z)Sd9 n J S n J S den Wert Null, wenn J3 > + d^r oder p {z)dz dargestellt ist, wobei 1 -_?!_ und Tc" den wahrscheinlichen Wert des Quadrates eines solchen Fehlers bedeutet. Die Analyse und ihr Resultat be- hält Geltung, wenn n unabhängige Fehlerursachen die Ele- mentarfehler und durch ihr Zusammenwirken den Gesamtfehler fi erzeugen. Wenn man die Grenzen der Elementarfehler wie an der citierten Stelle mit — «ci und + «© bezeichnet, so sind — naa und + naa die Grenzen von ts und der wahrschein- liche Wert seines Quadrates nao) 1 /• «1_ =— 1 Z^e 2nk"dZ] y2nn — «atü die Grenzen dieses Integrals können aber, da unter n eine sehr grosse Zahl zu denken und aa endlich ist, mit Rück- sicht auf die Natur der Funktion unter dem Integralzeichen bis — oo und + oo ausgedehnt werden und sein Wert ist dann Vergleicht man also den Gesamtfehler mit einem Ele- mentarfehler auf Grund der wahrscheinlichen Worte ihrer Quadrate, so kommt dem ersteren eine j/n mal so grosse - 80 -- Bedeutung zu als dem letzteren; und es muss, soll nh" eine endliche Grösse vorstellen, h" von der Grössenordnung — sein. 36. Ein besonderer Fall der vorstehenden ist die Hypo- these von Hagen*), welche annimmt, dass der Fehler einer Beobachtung das Ergebnis des Zusammentreffens einer sehr grossen Anzahl von einander unabhängiger gleicher, sehr kleiner Elementarfehler sei, von welchen jeder einzelne mit derselben Wahrscheinlichkeit im positiven wie im negativen Sinne auf das Beobachtungsresultat einwirken kann. Man könnte das analytische Resultat dieser Hypothese^ ohne eine neue Untersuchung anzustellen, aus dem vorigen ableiten, wenn man bemerkt, dass in dem letzteren das Ge- setz der Elementarfehler nicht als solches, sondern nur mit der von ihm bedingten Grösse Ic" auftritt. Nennt man die Anzahl der bei einer Beobachtung zusammenwirkenden Fehlerursachen 2n, die Grösse eines Elementarfehlers £, so ist der wahrscheinliche Wert seines Quadrates mithin das Gesetz des Gesamtfehlers z a» (1) 9,(;^) = -^^e *«•* yi nnh' Aber die Bedeutung der Hagen' sehen Hypothese liegt gerade darin, dass sie eine elementare Behandlung zulässt und die Entstehung eines Beobachtungsfehlers aus einer grossen Anzahl von Elementarfehlern durch einen sehr an- schaulichen Vergleich dem Verständnis nahe rückt. Daher erklärt sich auch die häufige Reproduktion der Hagen' sehen Ableitung in Schriften didaktischer Richtung. *) Gnmdzüge der Walirscheinlichkeitarechnung; 1. Aufl. 1837, 3. Aufl. 1882. Die exakte mathematisclie Darstellung rührt von Encke her, Berl. Astron. Jahrb. 1863. — Der Gedanke, die Wahrscheinlich- keiten der verschiedenen Fehler durch die Koeffizienten der Entwick- lung eines Binoms darzustellen^ findet sich schon bei Young vor: Bemarks on the probabilities of error in physical obseryations etc., London Philosoph. Transact., 1819, pag. 70 flg. - 81 — Unter den obigen Annahmen ist nämlich die Entstehung eines Fehlers vergleichbar einem Wurfe mit 2n Würfeln*), deren jeder zwei mit — s und + ^ beschriebene Seiten hat und jeder dieser Seiten die Wahrscheinlichkeit — verleiht, nach obenhin zu fallen: die algebraische Summe der zum Vorschein gekommenen Beträge entspricht dem zusammen- gesetzten Fehler. Um die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass dieser eine bestimmte Grösse 2ms**) habe, hat man den Koeffizienten von t^"^" in der Entwicklung von (^~* + ^)^'*, welcher die Anzahl der günstigen Fälle darstellt und mit U2ms bezeichnet werden soll, durch die Anzahl 2^" der möglichen Fälle zu dividieren und erhält ip(2ms)26 = 'ß^ Nun ist (2n)! W2we = (n — w)!(n + w)I und der grösste unter den Koeffizienten (2rO! folglich ^2me nlnl Wendet man auf diese Ausdrücke die Stirling'sche Formel X\ = J/2ä/ 2 g ""^Ux 360;r«"^1260*» oder ..! = 1/2^/+^ ^« (l + j|^ + ^-gi^, - ^2-„ + ■ . .) an, so ergibt sich einerseits _^/. i_t 1 , 6 \ **o ~ y^ \ 8n ' 128n« ' 1024 w» * * 7 *) Die Voraussetzung einer geraden Anzahl von Fehlerursachen bat, ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen, den Zweck, auch die Möglichkeit der Entstehung des Fehlers Null offen zu lassen. **) Die möglichen Werte des Gesamtfehlers bilden eine arith- metische Progression mit der Differenz 2s und den Endgliedern — 2ns und -\- 2ns. Czuber, Theorie der Beobachtungsfehler. 6 - 82 - und andererseits ^^2me ,1 ,11/1 n\ 1/1 n»4-Sn»j*\ , \n — mJ \nÄ-m/ Uq \n — m/ \n + Es ist aber l , ..^ . _ z . (i _ !?L\ = :!!!: + 1 ^' + £ 'iL' + y n 7/11 *'*\ 7/1 , 1 m* Im* ' • — .- = - < -^1 +„-; = — ;r + Y ■;? ~ T ^» + .1 , .1 m^ , 1 7/t» 1 m« , 1 m* \n — ml \w4-m/ folglich \ ^ ^ 2 n ' 2 n» 6 n» ' 4 n* ^W + *'^ ferner 1 w m^ m^ 1 n*+3wm* 6w^ n w* — w* w* n^ ' n* (n* — w^)* w^ daher 7/<* 1 7/i* 1 «»*+m* J_ m* Wo C Mit wachsendem w nimmt dieses Verhältnis sehr rasch ab, indem es sich der Null nähert, und verliert sein prakti- sches Interesse, sobald es sehr klein geworden ist; denn bei Ereignissen von sehr geringer relativer Wahrscheinlichkeit ist selbst in ausgedehnten Beobachtungsreihen an eine Ver- gleichung der Theorie mit der Erfahrung nicht zu denken. Man wird sich also für die Zwecke der Praxis auf jene Fälle beschränken dürfen, für welche m* o n ^ keine beträchtliche Zahl (höchstens = 3) ist. Mit dieser Abkürzung ist ""^j^i = p-P-U -L 1 ^ - 1 ^' _^ i ^' j- A ^' _ \ Wo \ ' 2 n 6 n 6 n» ' 8 w* /' und wenn man Uq durch seinen oben angeschriebenen Wert ersetzt. - 83 - daraus ergibt sich schliesslich Aber selbst für eine nur massig grosse Anzahl von Feh 1er Ursachen kann der letzte Faktor, der Einheit gleich geachtet werden, wenn man das, was oben über die Grösse von p bemerkt worden, berücksichtigt. Um so mehr darf man also für eine sehr grosse Anzahl von Fehlerquellen (p(2m6) = m* n setzen. Bezeichnet man nun allgemein die Grösse des zu- sammengesetzten Fehlers 2m s mit 0^ so wird «* in Übereinstimmung mit dem oben angegebenen Resultat (1). Man kann diesem Ausdruck eine andere Form ver- leihen, wenn man den Maximalfehler J?= 2w£ einführt, wo- durch 1 «» wird; darnach ist der wahrscheinliche Wert von z^ dar- gestellt durch das Produkt sE^ während der wahrscheinliche Wert des Quadrates des Elementarfehlers s^ ist. 37. Eine Ableitung des Fehlergesetzes, welche an dieser Stelle anzuführen ist, weil sie der Ha gen' sehen insofern ähnlich ist, als sie sich ebenfalls auf das Problem der Wahr- scheinlichkeit wiederholter Versuche stützt, hat Tait*) ge- geben; doch thut seine Untersuchung einen Schritt weiter, indem sie nicht mehr bei allen Fehlerursachen die nämliche Wirkung voraussetzt, und unterscheidet sich auch im Ge- dankengange wesentlich von jener. Sie geht nämlich nicht von der Thatsache aus, dass der Totalfehler die Summe der aus den einzelnen Ursachen entspringenden Elementarfehler ist, ihr Ziel richtet sich vielmehr nach der Wahrschein- *) On the Law of Prequency of Error, Edinburgh Transact., XXIV, p. 139 flg. 6* — 84 — lichkeit der Koexistenz eines bestimmten Totalfehlers mit den einzelnen Ursachen. Tait geht von der Annahme aus, dass der durch irgend eine Ursache veranlasste Fehler vergleichbar sei der Ab- weichung, welche das Ergebnis einer grossen Anzahl von Ziehungen aus einer weisse und schwarze Kugeln in be- stimmtem Verhältnis enthaltenden Urne gegenüber dem wahr- scheinlichsten Ziehungsergebnis aufweist. Seine Analyse ist eine Vereinfachung derjenigen, welche Laplace*) auf das Problem der wiederholten Versuche anwendet. Eine Urne enthalte weisse und schwarze Kugeln in dem Verhältnis jp : 3, wobei jp + 3' = 1 sein soll. Die Wahr- scheinlichkeit, in n = a -{- ß Ziehungen, bei welchen die ge- zogene Kugel jedesmal zurückgelegt und mit den andern ver- mengt wird, a weisse und ß schwAze Kugeln zu ziehen, ist (1) ^^"«^ sie wird um so grösser, je näher das Verhältnis a : ß dem Verhältnis p : q rückt. Sind n, a, ß sehr grosse Zahlen, so kann, bis auf eine Grösse der Ordnung — , a: ß =p: q ge- macht werden, so dass der Maximalwert von (1) gleichkommt Der Quotient (1) : (2), d. i. (3) ^J-2-^pa-pn^(i^,n wird nun als das Gesetz der Abweichung a — jpw, ß — qn des beobachteten von dem wahrscheinlichsten Erfolg angesehen. Indem a — pn als das Maass des Fehlers jenes Er- folges betrachtet wird, hat man, diesen Fehler mit x be- zeichnet, (4) a — pn = mx, also ß — qn = — mx zu setzen, wobei m eine Konstante bezeichnet; seine Wahr- scheinlichkeit y ist proportional dem Ausdruck (3), daher (pn)l(qn)\ ^^ ^^ (pw + mx)\ (^w — mxy.-^ ^ *) Thäorie aaalyt. des Probab., II, art. 16. — 85 — Da n als eine sehr grosse Zahl vorausgesetzt wird, so können die Faktoriellen mit Hilfe der Stirling'schen Formel näherungs weise dargestellt werden, und man erhält, wenn man Grössen von der Ordnung — gleich unterdrückt, nach entsprechender Reduktion (pn) ^ 2 (qnY ^ 2 y = a ^-^^ j^^^ ^ / I ^pn-\-mx-^ •— . .qn — mx -\- -— (pn + mx) 2 (qn — mx) 2 \ ' pn/ \ qn/ Die logarithmische Entwicklung gibt T y / . . l\/mx vi^x^ , m^x^ \ / . 1\/ mx m^x^ m^x^ \ — (qn — mx + ^)(— z-s-ö— ^ . . ) 2n \p '^ q) "^ Qn'^ \p'^ qV 2w\^" ~q) beschränkt man sich auf Grössen von der Ordnung -j, so i. n^ fallen, wenn mx eine Grösse der Ordnung n ist, neben dem ersten alle übrigen Glieder hinweg; wird mx von höherer Ordnung, dann wird die rechte Seite vermöge des ersten Gliedes eine sehr grosse negative Zahl und — so klein, dass man für beide Fälle setzen kann. Schreibt man für die positive Grösse m* 2npq kurz Ä^, so folgt der Fehler dem Gesetze (5) y^ae- .2 - 86 — Wenn mehrere Ursachen das Beobachtungsresultat be- einflussen, so ergibt sich für das Gesetz seines Fehlers die- selbe Form und zwar gleichgiltig, ob mit Rücksicht auf alle Fehlerquellen das wahrscheinlichste Resultat dasselbe ist oder nicht. Man denke sich ebenso viele Urnen als Fehler- ursachen, jede derselben weisse und schwarze Kugeln in be- kanntem Verhältnis enthaltend; aus jeder wird eine grosse Anzahl Kugeln gezogen; es handelt sich um die Wahrschein- lichkeit, dass die Abweichungen der einzelnen Ziehungs ergebnisse von den wahrscheinlichsten Resultaten ein und demselben Gesamtfehler entsprechen. Erzeugen die verschiedenen Ursachen, v an der Zahl, dasselbe wahrscheinlichste Resultat, so ist seine Wahrschein- lichkeit und die Wahrscheinlichkeit eines Resultats mit dem Fehler oo y = Ae-^^^, wobei H''==\^ + \^-\ h K\ Entspricht dagegen jeder Ursache ein anderer wahr- scheinlichster Wert, so tritt an die Stelle von (5) so dass X =' y den dieser Ursache zugehörigen wahrschein- lichsten Wert bedeutet, und bei dem Zusammenwirken aller Ursachen ergibt sich für einen Gesamtfehler x die Wahr- scheinlichkeit y = a^a^ ' • • a^e-V(^-yi)*-V(^-y»)* V(*-yf)*; dies kann aber, wenn man bemerkt, dass h\cc - rrf + • • • + K\x - Y^y = H\x — ry + AiVi'' H 1- Ä»V,* — H^r' mit den Abkürzungen zunächst auf die Form y = ^^i?*(^-iT gebracht werden, wobei Ä = aj^ . .. ave^(Vyi*4-- +Vyv*)+Ä*^*^ und wählt man wieder den wahrscheinlichsten Endwert x = F - 87 - als Ausgangspunkt für die Zählung der Fehler, so kommt x an die Stelle von x — F zu schreiben, so dass man wieder dieselbe Form (6) . y = Ae-^^^" hat wie vorhin. Die Deduktion wäre einfach und ungezwungen, wenn ihren Ausgangspunkt nicht eine Annahme bildete, zu deren Gunsten sich kaum etwas Gewichtiges anführen lässt, die Annahme nämlich, dass der aus einer Fehlerquelle hervor- gehende Fehler analog sei der Abweichung des Ergebnisses einer grossen Anzahl von Ziehungen weisser und schwarzer Kugeln von dem wahrscheinlichsten Resultate. . Die ün- stichhaltigkeit dieser Annahme zeigt sich darin, dass ver- möge derselben die Fehler aus jedweder Fehlerquelle dem speziellen durch die Exponentialgrösse charakterisierten Ge- setz folgen würden, und dies lässt sich mit den Thatsachen nicht vereinbaren; diesen Mangel teilt Tait's Theorie mit der ersten Hypothese, welche bei allen Elementarfehlern dasselbe Gesetz voraussetzt. Tait betrachtet den umstand, dass das Endresultat unabhängig ist von der Anzahl der Ursachen, als ein gewichtiges Argument für die Korrektheit seiner Beweisführung und übersieht gänzlich, dass dieser Umstand in der Natur der Funktion g— ^*«* und den Grund- lehren der Wahrscheinlichkeitsrechnung begründet ist; es hätte die zum Ausgangspunkt genommene Analogie ebenso gut gleich für den Gesamtfehler aufgestellt werden können statt erst für eine einzelne Fehlerursache. 38. Zweite Hypothese. Der Fehler einer Beobachtung entstehe durch das Zusammenwirken einer grossen Anzahl von unabhängigen Fehlerursachen, welche nach beliebigen Gesetzen und zwischen beliebigen Grenzen wirken, jedoch so, dass gleich grosse positive und negative Fehler gleich häufig vorkommen und die wahrscheinlichen Werte der Quadrate der einzelnen Elementarfehler Grössen von einerlei Ordnung sind. Diese Hypothese, welche der von B es sei*) entwickelten *) Untersuch, über die Wahrsch. der Beobachtungsfehler, 1838, Astron. Nachr., Bd. 15, Nr. 368-369. — 88 - Theorie zu Grunde liegt, zeichnet sich der vorigen gegen- über durch einen höheren Grad der Allgemeinheit aus in- sofern, als sie nicht gleiche Wirkungsweise, sondern nur gleiche relative Bedeutung der einzelnen Fehlerursachen voraussetzt Sie schliesst also Fälle aus, in welchen eine oder einige wenige Fehlerquellen die andern an Bedeutung derart überragen, dass sie allein bestimmend werden für das Gesetz des Gesamtfehlers. Solche Fälle werden aber ins- besondere in der feineren Beobachtungskunst zu den Aus- nahmen gehören. Es seien die Elementarfehler, n an der Zahl, + aj, + ag, . . . ^- ün ihre Grenzen, die Funktionen, welche das Gesetz ihrer relativen Häufigkeit darstellen, -^ = ^1 + ^2 H h ^« der Gesamtfehler. Dann ist (s. Gl. (2), Art. 33) das Gesetz des letzteren OB Ol Ol e@'.V=idx^ ■ ■ ■ a n j q>n{iX)n)e^^-^^^dXn\e-'^^'-^d@. ■^« Ersetzt man zum Zwecke der Entwicklung die Exponential- grossen durch die trigonometrischen Ausdrücke, so erkennt man bald, dass sich dieser Ausdruck vermöge der Voraus- setzung g?,( — Xi) = (pi{xi) reduziert auf ^(^) '^ 2^ / { / 9^1(^1) ^^^ ^^idx^ I ^^{x^ cos (s^x^dx^ . . . — 00 — ai — Oi — a n (fni^n) cos &XndXn cos zSd&. - 89 — Das Produkt der n in die Klammer eingeschlossenen Inte- grale werde Kürze halber mit U bezeichnet. Ein einzelnes dieser Integrale gibt, wenn man den Cosinus in eine Reihe entwickelt und von den üblichen Bezeichnungen / Xi^q>{Xi)dXi = Jcf\ I Xi^q)i(Xi)dXi = Ä,^^, -«< — «.• «< Xi^(pi{Xi)dx . Z-.VI t •'^t > • • • ■«< Gebrauch macht, a- J (fcixi) cos @XidXi = 1 _-i- @'^+ ^ 0*- -^ 0« +...; •«< folglich ist i i^' h" k^'^ k^^ l • j j q>i(x;) cos SXidx,\ = _ ^ 02 ^ -^ 0* _ ^ 06 + -«< 24 ' ==: ! ! -'—02 ! » l J_J @6 I 2 24 720 . ^ ^^*x^ daraus ergibt sich 2 24 TOA I 720 Hiernach ist oo — 00 30[fc"^J-16[ y'fc^]+ [fc^^] „ I 720 "f" /• — 90 Nun hat man aber*) e « coss®d& = yrp7Te «1*1 00 00 /«T ■" -c."«^«- ^g r ^ (:. - il?.* + i^,) 00 00 00 *) Aus « 1/ == I e~ "**^ cos ro; da; — « ergibt sich durch Differentiation in Bezug auf r dy dr 00 8inrxdx I xe ^811 00 r^{e~"*^8iiira;rfa;}--^ /*e"-"*^cosra;da;, » so dass 1/ der linearen Differentialgleichung genügt dy r die Integration dieser letzteren liefert zunächst r* y=^Ce ^''* und die Konstante ergibt sich durch Anwendung auf den Fall r «=0, so dass / 00 e coa rxdx=^- — e 4 a*. a 00 Durch vier- und sechsmalige Differentiation dieser Gleichung in Bezug auf r ergeben sich die weiteren Formeln Toj^c-^'^cos rxdx = ^ -D* (e""^/ 00 00 / a;«c~"'*'cos rxdx ^ -^ D^ V *^). •00 Laplace, Theorie analyt. des Probab., I, art. 26. daher ist schliesslich ^ ^'^ ~ i/2^ri r ~ 24 [^"r v"* ~ m "^ r ]'>' Das zweite und dritte Glied dieser Entwicklung erlangt seinen grössten Wert für = 0^ ihre Summe ist also für jeden anderen Wert von z kleiner als 1 s[k"y ' "^ Nun können für jeden Elementarfehler die Grössen V^? y^^, yT^ als von gleicher Ordnung angesehen werden, etwa von der Ordnung der Grösse x, und nach der in der Hypothese ausgesprochenen Voraussetzung sind auch die Grössen Äj", Äg", ... l^n von einerlei Ordnung; mithin gehört [&"J zur Grössenordnung n'^ das erste Glied des obigen Ausdruckes ist also von der Ord- nung -3 , das zweite von der Ordnung -g , und da w als eine sehr grosse Zahl vorausgesetzt worden ist, so sind diese Glieder sehr klein, so dass man unter Vernachlässigung von Gliedern der Ordnung ~ und jeder höheren setzen kann. Die Hypothese führt also wie die vorige auf die näm- liche Exponentialfunktion, welche sich aus der Hypothese des arithmetischen Mittels ergeben hat. 39. Dritte Hypothese. Der Fehler einer Beobachtung entstehe durch das Zusammenwirken einer sehr grossen An« — 92 - zahl unabhäDgiger Fehlerquellen, deren jede, wenn sie allein wirkte, Fehler von sehr geringem Betrage hervorbrächte im Vergleich zu jenen, welche aus der Kombination aller übrigen Ursachen hervorgehen. Nachdem diese Hypothese über das Gesetz der einzelnen Elementarfehler keine weitere Voraussetzung trifft, ist sie umfassender als die beiden vorigen. Sie schliesst nicht allein alle Fehler von sehr kleiner Amplitude, sondern auch Fehler mit endlichem und selbst mit unendlichem Gebiet ein, wenn sie nur in dem in Artikel 34 erörterten Sinne von geringer Bedeutung sind. Von diesem Gesichtspunkte aus kommt der folgenden von Crofton*) gegebenen Theorie ein hoher Grad von Allgemeinheit zu. Wir denken uns irgend einen der Elementarfehler als das Diminutiv eines Fehlers von endlicher Bedeutung, und es seien die wahrscheinlichen Werte der aufeinander folgenden Potenzen des letzteren •? so sind -j-JCf 'p^) Tä"^? die entsprechenden Werte für den Elementarfehler, wobei i eine sehr grosse Zahl vorstellt. Nun sind lc\ Tc'\ k"\ . . . notwendig endliche Werte, folglich kann der wahrscheinliche Wert der dritten, vierten, . . . Potenz des Elementarfehlers dem wahrscheinlichen Werte seiner zweiten Potenz gegenüber vernachlässigt werden**). *) On the Proof of the Law of Errors of Observations. 1870, London Philos. Transact., 160, pag. 175 flg. **) Dieser Schlnss darf auf den wahrscheinlichen Wert der zweiten Potenz gegenüber der ersten deshalb nicht angewendet werden, weil der Mittelwert der ersten Potenz als algebraische Summe einen sehr kleinen oder selbst den Wert Null haben kann, während der Mittel- wert der zweiten Potenz als Summe von positiven Beträgen notwendig von Null verschieden und endlich ist. Es ist wichtig zu bemerken, dass Fehler denkbar sind, welche trotz ihrer sehr geringen Bedeutung von der obigen Theorie aus- geschlossen werden müssen, weil die gedachte Vernachlässigung nicht — 93 - In Gleichung (2), Art. 32 ist gezeigt worden, dass das Gesetz eines aus zwei Fehlern x, y, welche ihrer Wirkungsweise nach durch f{x)f g{y) charakterisiert sind, zusammengesetzten Fehlers z durch q>i.^)==g{z) - ¥g{z) + ^^9"{z) - fj9"'{^) + ■■■ ausgedrückt werden kann, wobei ¥, h'\ Tc''^ ... die Mittel- werte von X, x^j x^y ... sind. Versteht man also unter x einen der zahlreichen von einander unabhängigen Elementar- fehler und unter y das Ergebnis des Zusammenwirkens aller übrigen, so kann man die rechte Seite dieser Gleichung auf die ersten Glieder beschränken und das Gesetz des Gesamt- fehlers durch die Gleichung darstellen. Man erkennt daraus, dass jeder Elementarfehler das Gesetz des Gesamtfehlers in einer Weise beeinflusst, ivelche einzig und allein von dem Mittelwert seiner ersten und zweiten Potenz wesentlich abhängig ist, dass man also für den vorliegenden Zweck an die Stelle von f{ic) irgend ein anderes Gesetz bringen kann, welches die Werte Ä', Ä" ungeändert lässt und gestattet, fc'", Ä^^, ... neben h" zu platzgreifen darf. Eine Fehlerquelle z. B., welche nur gelegentlich wirksam ist, erzeuge unter n + 1 Fällen einmal einen Fehler von be- stimmtem endlichen Betrage f\ die wahrscheinlichen Werte der ersten, zweiten, dritten Potenz dieses Fehlers f r r w + l' n+ 1 * w + l' sind, sofern n sehr gross, thatsächlich sehr klein, der Fehler an sich also von geringer Bedeutung. Und doch darf — -— , — ;-— , •• • w -f- 1 w -f- 1 neben — ^-- nicht vernachlässigt werden. Von der beschriebenen n -f- l Art sind beispielsweise die durch grobe Irrung entstehenden Fehler. Indessen bedingt dies keine wesentliche Einschränkung der Allgemein- heit, da Fehler dieser Gattung zu wenig zahlreich sein dürften im Vergleich zu der grossen Klasse von Fehlern, welche das im Texte geforderte oder behauptete Verhalten zeigen. — 94 — unterdrücken. Diesen Bedingungen entspricht aber die Funktion*) *) Denn es ist 00 * _ (x — k')^ I xt{x)ax = ^z^r. - - f xe 'dx 00 00 ^ { Ci TS 2(ifc"— *^) , X 00 00 (a;— jfc')* , w /* 2{k"—k'^)j \ w ■00 weil das erste der beiden Integrale verschwindet und das zweite den Wert >/2«(Ä" — Ä;'*) hat. Femer in ähnlicher Darstellung 00 00 {x — A;')* OD 00 , 00 _ («—*')* « jx — k'y^ + 2k I xe dx — k ^ I e dx\ =k , •00 00 weil das erste Glied rechts den Wert k" — k'\ das zweite dem vorigen zufolge den Wert 2Ä;'*, das dritte aber den Wert k'* hat. Weiter findet man au^ ähnlichem Wege QO / x''f(x)dx==k'iSk"—2k'^) •00 00 x*f{x)dx = sr'^—2k'\ 00 Werte, die im Vergleich zu k'\ das von der Ordnung -t^ ist, that- sächlich ausser Betracht kommen, weil sie von der Ordnung -g- , -.^ beziehungsweise sind. Zu bemerken ist noch, dass k" — k'^ > ist, weil der Mittelwert der Quadrate einer beliebigen Reihe von Zahlen das Quadrat ihres Mittelwerts an Grösse übertrifft; denn es ist a^ + b^ + c^-\ _ / a + b + c-\ V n \ n I _ ( a-&)» + (a-cr + -' - + (^c) ' + -- ^ (j (1) f{x) = -=^L^=e 2(*"-*'^). Man kann daher die Elementarfehler aus wjelchen sich der Beobachtungsfehler z zusammensetzt und deren mittlere Werte, respective mittlere Quadrate h' V.' Ic' sein mögen, ersetzen durch Fehler, deren Einfluss durch die Funktionen 1 /o I. " I. ''a\ -^ e 2(v-*»'*) -1/2; " " * '" ' ■■^'" " " * '•' ' charakterisiert ist. Suchen wir zunächst das Gesetz 9>i(^i) des aus den zwei ersten Elementarfehlem zusammengesetzten Fishlers. Setzt man zur Abkürzung so wird (s. Art. 31) 00 1 /»_(5i:= dxi 00 und dies gibt nach Ausführung der Integration*) *) Ordnet man den Exponenten nach Potenzen von x^^ so wird (X 00 nnd setzt man 80 ergibt sich OD nnd schliesslich - 96 - Kommt der dritte Fehler x^ hinzu, so ergibt sich für ^2 = ^1 + ^2 4" ^3 ^^s Gesetz Demnach ist das Gesetz des Gesamtfehlers z ^>{z) = -=- _L e "öx-+fc'.^+-- d. i. wenn man für die @ ihre Werte wieder einführt, Wenn positive und negative Fehler mit gleicher Wahr- scheinlichkeit hervorgebracht werden können, was in den Fällen, wo konstante und systematische Fehler beseitigt sind, wenigstens näherungsweise zutreffen wird, so ist [Ä'] = 0, und man kommt wieder auf das von Bessel gefundene Resultat q)(z) = -J:^^e 2[*"] zurück. Durch diese Analyse ist also mit den wenigsten Ein- schränkungen die Exponentialfunktion als eine Grenzform für das Gesetz der Beobachtungsfehler nachgewiesen; gegen- über den früheren Ableitungen lässt sich ihr allerdings der Vorwurf nicht ersparen, dass sie das Exponentialgesetz ge- wisserraaassen vorwegnimmt. Für den wahrscheinlichen Wert K' von z ergibt sich auf Grund der Entwicklungen der Note pag. 94 für den wahrscheinlichen Wert K" von z^ K" = [ft'T - [Ä'*J + [*']*, und diese Resultate gibt auch die direkte Rechnung. Be- zeichnet man nämlich den Mittelwert einer Grösse u mit Jf(w)*), so folgt aus *) Diese Bezeichnung soll auch in der Folge beibehalten werden. - 97 — ^ = ^1 + ^2 + ^3 H y dass Mie) = M(x,) + M(x,) + M{x,) • • • , ' d. i. und aus ^^ = ^1^ + ^2^ H 1- SrCiOJg + 2a;i% H ergibt sich M{0^) = M{x,^) + M (a:/) + . • . + [M(rcO M(x/)] {i ^ i') = [Mix")] + [M{x)r - [M\x)] , d. i. 40. Crofton hat das obige Resultat noch auf einem andern Wege*) abgeleitet, welchen wir, da er analytisch Ijemerkenswert ist und den Nachweis, dass beliebig viele J'ehler von der Form (1), Art. 39, sich zu einem Gesamtfehler ^on derselben Form vereinigen, entbehrlich macht, in Kürze andeuten wollen. Wir denken uns die sämtlichen Elementarfehler x^,X2y . . . nach und nach mit einem beliebigen Fehler rc, welchen die Funktion g(x) charakterisieren möge, verbunden; bedienen wir uns dabei für g'(x), g"(x) der Cauchy' sehen Symbole Bg{x)y D^g(x), so kann das Gesetz von 0^ = x^ -\- x sym- bolisch durch weiter das Gesetz von ;2?2 = ^i + ^2 "f" ^ durch = (1 - Ä/D + *-^ D^) (1 - V-D + ^^-D') 9{^.), U.S.W., endlich das Gesetz des Fehlers ^=^i+i»2+^3H 1"^ durch 9>(Ä)=(l-fc;2)+^|-D*)(l-Vi>+^i>^)(l-*3'^+¥i>^)"i/(^) *) Eine dritte Ableitung gab er in der Encycl. Britannica, Art. Probability, pag. 781. Csuber, Theorie der Beobachtungsfehler. 7 — 98 — dargestellt werden. Beschränkt man sich bei der Entwick- lung dieses symbolischen Ausdruckes auf Glieder von der Ordnung Ä'^ einschliesslich, so kann und daher l_;k'D + *;i).= -"'+^'"'-*'''" gesetzt werden; weil aber = 9{i>-W\) ist, so ist Es ist nun noch die Wahl von g{x) zu treffen; nimmt man x^ Qvyn SO wird Syn Die endgiltige Formulierung dieses Ausdruckes setzt nun die Auswertung eines symbolischen Ausdrucks von der all- gemeinen Form voraus. Differentiiert man einmal in Bezug auf a, dann in Bezug auf 6, so ergibt sich du |:^ = e«^'D^(6-*«'0 = e«^^(46V— 2V)e- — c/ V"**^ ^ " Vit/ ^ _ ^.'ipaD'^p—btP- und daraus durch Elimination der Glieder in v^ die lineare partielle Differentialgleichung du , . , « du c\-L da * db Ihre Hilfsgleichungen , db du 452 2bu — 99 - geben die beiden unabhängigen Integrale 4a + y = C, uyb = C', woraus das allgemeine Integral 1 M = b ^ F[4a+ l) folgt. Die willkürliche Funktion F kann hier an der Hand des besonderen Falles a = festgestellt werden, für welchen u = e""**'* ist; man hat in Folge dessen (;)= 1 6»a 1 e 406+1 und u = ^ ]/4afe + 1 Wenn man diese Formel auf den oben gefundenen Aus- ciruck für q){z) anwendet, so kommt Der willkürliche Fehler x aber, mit welchem die Ele- men tarfehler verbunden worden sind, kann so geringfügig gewählt werden, als man will; mithin kann man ® so klein sich denken, dass &^ neben den endlichen Summen [Ä"], [Jc'^] vernachlässigt werden darf, und kommt dadurch wieder auf den früheren Ausdruck zurück. Zur Zulässigkeit der Wahl voD g(x) ist allerdings erforderlich, dass die Ableitungen g"\x), 9^{x)y ... nicht unendlich werden, damit die Ent- wicklung auf die drei ersten Glieder beschränkt werden darf; dieses Erfordernis ist aber bei der oben gewählten Punktion erfüllt. § 6. Das Fehlergesetz auf Grund verschiedener Annahmen. 41. Wenn unter den bisher vorgeführten Ableitungen des Feblergesetzes die erste, von Gauss herrührende, welche auf die Hypothese des arithmetischen Mittels sich stützt, durch grosse Einfachkeit und Klarheit der Schlüsse sich - 100 - auszeichnet, so muss den andern, welche von der Annahme ausgehen, dass ein Beobachtungsfehler aus dem Zusammen- wirken einer sehr grossen Anzahl unabhängiger Ursachen hervorgehe, der Vorzug eingeräumt werden, dass sie auf die Natur der Fehler sich einlassen; ihr wissenschaftlicher Wert ist höher anzuschlagen. Die eben ausgesprochene Annahme bezeichnet ohne Zweifel die natürlichste und richtigste An- sicht über die Entstehung der Fehler und scheint, wie Glaisher bemerkt, alles einzuschliessen, was man über deren Natur mit einiger Annäherung an die Gewissheit behaupten kann. Die in zweiter Reihe erwähnten Ableitungen bieten zu- gleich einen Einblick in die Bedingungen, unter welchen man erwarten kann, dass die einer Reihe von Beobachtungen an- haftenden Fehler dem Exponentialgesetze folgen. Umgekehrt gestattet die Übereinstimmung der Fehler einer Reihe unter anscheinend gleichen Umständen angestellter Beobachtungen mit diesem Gesetze den Schluss, dass jene Bedingungen er- füllt waren. Anderer Art sind die Ableitungen, mit welchen wir uns jetzt beschäftigen werden; sie gehen von Annahmen aus, die mitunter mit dem zur Frage stehenden Gegenstande in keinem Zusammenhange stehen. Nichtsdestoweniger bieten sie mannig- faches Interesse, teils vom historischen Standpunkte aus, teils deshalb, weil sie bemerkenswerte Eigenschaften des Fehler- gesetzes aufdecken. 42. In einer kurzen Notiz*) berichtet Abbe über die Herleitung eines Fehlergesetzes, das im Wesentlichen mit dem Gauss' sehen übereinstimmt und 1808, also vor der Theoria motus corp. coel., von Adrain in Neubraunschweig (New Jersey) veröflfentlicht worden ist**). Der folgenden Darstellung des bemerkenswerten Versuchs liegen ausser der *) Historical Note on the Method of Least Squares, Americ. Journ. of Science and Arts, I, (1871), pag. 411 flg. *'*') Research concerning the probabilities of the errors which happen in making observations, in dem von Adrain selbst heraus- gegebenen amerikanischen Journal The Analyst or Matfaem. Museum, I, pag. 93 flg. — Über einen zweiten Beweis Adrain's s. Art. 155. - 101 — erwähnten Notiz die bezüglichen Ausführungen Glaisher's*) zu Grunde. Angenommen, AB sei der wahre Wert irgend einer Grösse, für welche durch Messung Ah erhalten wurde, so dass J?6 der Fehler ist; welches ist der Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Messung von AB der Fehler Bh begangen wurde? So die Fragestellung. Die Lösung geschieht wie folgt. „Es seien AB, BCy ... aufeinander folgende Entfernungen, deren durch Messung gefundene Werte Ah, hc . . . sind, so dass Cc den Gesamtfehler darstellt: werden nun die Mes- s sungen Ah, hc, ... als gegeben betrachtet, ebenso der Ge- samtfehler Cc, so wird als selbstverständliches Prinzip an- genommen, dass die wahrscheinlichsten Werte von AB, BG proportional sind den Messungen Ah, hc, und dass daher die AB, BG betreffenden Fehler proportional sind diesen Xiängen oder den Messungsergebnissen Ah, hc**)» Wenn man daher die Werte von AB, BG oder von Ah, hc bezeichnet mit a, h, den Gesamtfehler Gc mit E, und die Fehler der ^Messungen Ah, hc mit x, y, so muss man mit grösster Wahr- scheinlichkeit die Gleichung haben: — = -|-." Es sei (p{a, x) der Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit, dass in der Messung einer Entfernung a der Fehler x sich ereigne; dann ist die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens der Tehler x, y in der Messung der Entfernungen a, h das Trodukt ^>{p>jX)(p{b,yy Sollen nun die Werte von x und y Sias den Beziehungen x + y = E ^(ßyx)q)(h,y) ein Maximum *) Memoirs of the B. Astron. Soc, XXXIX, pag. 76 flg. **) Diese Annahme scheint Adrain aus der seiner Untersuchung ^ der citierten Stelle vorausgehenden Lösung einer Preisfrage ent- lebnt zu haben, welche verlangt, aus den gemessenen Seiten und Winkeln eines polygonalen Grundstückes seine Fläche zu berechnen ^iid die wahrscheinlichste Annahme über ihren Fehler zu ^^liachen. Die Preisfrage ist von Patterson gestellt, und ihre eben ^irw&hnte Lösung gab Bowditch. — 102 - bestimmt werden^ so muss dies offenbar zu der Gleichung — == i^ a h führen. Sollten, wie Adrain bemerkt, mehrere Formen von g)(a^x) und q){h,y) dieser Forderung genügen, so wird man die einfachste unter ihnen wählen als diejenige, welcher die grosste Wahrscheinlichkeit zukommt. Damit g)(a, x)(pQ), y) in Bezug auf x, y ein Maximum werde unter gleichzeitiger Erfüllung der Bedingung x-\-y=Ej muss tp{a,x) ' (p{b,y) ^ dx + dy = 0' sein, woraus man die Gleichung g>(a, x) qp(6, y) folgert. Adrain schliesst nun, dass diese Gleichung auf die ein- fachst mögliche Art mit — = ^ äquivalent werde, wenn man tp\a,x) ^_ mx (p'(by y) ^^ my tp{a,x) a ^ tpiP^y) & setzt, wobei m eine Konstante bedeutet. Hieraus ergiebt sich durch Integration c4 mx* (p{a,x) = e 2^ , wobei c eine neue Konstante bezeichnet. Adrain bemerkt noch, dass m negativ sein müsse und dass bei entsprechen- der Wahl der Konstanten y = (T^ die einfachste Form sei, welche die Natur der Wahrscheinlichkeitskurve ausdrückt. Zwei gewichtige Einwände werden von Glaisher gegen diese Deduktion erhoben. Einmal ist die Annahme, dass für die wahrscheinlichsten Beträge von o;, y die Gleichung — = Y ^ßstehen müsse, völlig willkürlich, und man kann Fälle nachweisen, wo sie nicht zutriflFt*). Zum zweiten kann aus der Forderung, dass die Gleichungen *) Bei der Winkehnessung ist der Fehler im allgemeinen un- abhängig von der Grösse des Winkels, bei Längenmessnngen ist er, sofern systematische Einflüsse nicht vorkommen, der Quadratwurzel aus der gemessenen Länge proportional. - 103 — y'(<». ^) ^ fp\^,y) ^j ^ = 1. (f (a, x) (f (&, y) ab äquivalent sein sollen, nur der Sxililuss gezogen werden, wobei i^ eine willkürliche Funktion be- zeichnet. Hieraus würde als Lösung 9'«,^)=u(-j)r n ix\ dx sich ergeben (wenn const. e ^ = X\ — ) gesetzt wird), aus welcher nur die Art und Weise, in welcher x und a in (p mit einander verbunden sind, hervorgeht. Die Ge- sinnung eines Ausdruckes für (p{a^ x) macht eine spezielle Annahme für F notwendig; um auf e~^*^ zu kommen, "braucht man aber nur für F\—j eine dem x proportionale Grösse zu nehmen, und man kommt daher zu dem von Adrain gefundenen Resultat auch dann, wenn man an die X 11 X 'U Stelle der Gleichung — = 4- setzt 77-T = -^rr . Diese Glei- chung aber, welche nur ausdrückt, dass die wahrscheinlichsten Werte der Fehler x, y irgendwie von den gemessenen Längen abhängen, kann mit den Thatsachen ganz wohl vereinbart werden; darin liegt der Grund, warum trotz der verfehlten Voraussetzung und der nicht genügend strengen Schlüsse ein im Wesen richtiges Resultat erhalten wurde. 43. Eine Ableitung des Fehlergesetzes, die nicht nur vermöge ihrer Einfachheit, sondern insbesondere deshalb einiges Literesse beansprucht, weil sie sich auf Betrachtungen stützt, welche der Natur des Gegenstandes fremd sind und mit der Raumanschauung eng zusammenhängen, hat Herschel bei Gelegenheit einer Besprechung von Quetelet's Lettres sur la Theorie des Probabilites gegeben*). Die Voraus- 1) Edinburgh Review for 1860. — Die Ableitung hat auch in einigen Xehrbüchem Aufnahme gefunden, so in Thomson und Tait's Handbuch der theor. Phys. (deutsch von Helmholtz u. Wert heim), I, 1^ pag. 863 und in Natani^s kleiner Schrift: Methode der kleinsten Quadrate, pag. 11 flg. Aus ersterer Schrift ist sie auszüglich mit- geteilt von Schlömilch, Zeitschr. f. Math. u. Pbys., 17, pag. 87, — 104 — Setzungen, auf welchen die Ableitung beruht, sind Gegen- stand mehrfacher, einander zum Teil widersprechender Kritik geworden*). Herschel hatte eine nicht ganz strenge, mehr populäre Form gewählt; die genaue Darstellung ist Ellis (s. u.) zu verdanken. Ein Stein wird aus einer Höhe geworfen in der Ab- sicht, eine gegebene Marke zu treiSfen. Die Abweichung von dieser Marke ist der begangene Fehler. Die erste Annahme besteht darin, dass die Wahrschein- lichkeit eines Fehlers nur abhängig sei von seiner Grösse und nicht auch von der Richtung; damit ist zugleich aus- gesprochen, dass positive und negative Fehler derselben Grösse in ein und der nämlichen durch die Marke gehenden Geraden gleich wahrscheinlich sind. Bezeichnet demnach r die Grösse des Fehlers, so ist seine Wahrscheinlichkeit pro- portional einer geraden Funktion von r, etwa /"(r*). Dies allein reicht aber zur Bestimmung von f nicht aus. Es wird nun die folgende zweite Annahme gemacht. Denkt man sich durch die Marke in der Ebene, auf welcher sie angebracht ist, ein rechtwinkliges Axenpaar XOY gelegt, und sind x, y die Koordinaten des Punktes, in welchem der Stein auffällt, so kann seine Abweichung r betrachtet werden als ein zusammengesetztes Ereignis, bestehend in dem Zusammentreffen der von einander unabhängigen Ab- weichungen x^y in Richtung ider Axen X, Y. Die Richtigkeit dieser Annahme zugegeben stellt f(x^)dx die Wahrscheinlichkeit einer zwischen den Grenzen x und X ■■{- dx liegenden Abweichung parallel zur X-Axe, f(j/^)dy die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung parallel zur Y-Axe im Betrage von y bis 3/ + dy, und f(x^)f{y^)dxdy die Wahr- scheinlichkeit dar, dass der Stein di& Ebene innerhalb des Rechtecks dxdy treffen werde, dessen dem Ursprung zu- nächst liegende Ecke die Koordinaten x^ y hat. Da nun alle Abweichungen gleicher Grösse dieselbe Wahrscheinlichkeit *) Ellis, London Philos. Magaz., XXXVII, pag. 321 flg. — Boole, Edinburgh Transact., XXI, pag. 627 flg. — Glaisher, Mem. of the B. Astron. Soc, XXXIX, pag. 112 flg. — Donkin, London Philos. Magaz., II (1862), pag. 66 flg. - 105 - besitzen, so bleibt dieser Ausdruck so lange unverändert, als 3(? -{- 1^ es bleibt. Denkt man sich also das Rechteck so gelegt, dass seine der Marke zunächstliegende Ecke die Koordinaten o, ^x^ + V^ l^^-t, so nimmt die darauf bezüg- liche Wahrscheinlichkeit den Ausdruck f{o)f{x^ + y^)dxdy an, und zur Bestimmung der unbekannten Funktion f ergibt sich die Gleichung Differentiiert man dieselbe partiell in Bezug auf x^j dann in Bezug auf j/^, so erhält man mit Berufung auf einen be- kannten Satz f^{x')f{f)=mf)f{x\ woraus weiter nx^ ~ f{y') ~^ ifolgt, wenn m eine Konstante bezeichnet. Die Integration gibt Da der Wert von x zwischen den Grenzen — cx) und -j- oo notwendig liegen muss, so ist OD A Ce'^^dx = 1, 00 die Konstante m muss daher negativ sein; wir setzen w == — h^ und finden A = —^ , so dass schliesslich fix') = A ,-/.«.^ . Die Annahme aber, auf welcher der Ansatz der zur Be- stimmung von f führenden Gleichung fi^')f(y') = m fix' + f) beruht, lässt sich nicht rechtfertigen. Die Wahrscheinlich- keit für das Zusammentreffen zweier Ereignisse ist nur dann dem Produkte ihrer einfachen Wahrscheinlichkeiten gleich, wenn die Ereignisse von einander unabhängig sind. Es müsste also, um die Berechtigung jener Gleichung darzuthun, der Beweis geliefert werden, dass die relative Wahrscheinlichkeit — 106 — einer Abweichung y parallel zur F-Axe dieselbe bleibt, welchen Wert auch die Abweichung x in der andern Axen- richtung haben möge; hiefür ist aber kein Anhalt vorhanden, weder bei einem rechtwinkligen noch bei einem schief- winkligen Axenkreuz; die unmittelbare Anschauung spricht vielmehr dagegen*). Aber auch dann, wenn man die Stichhaltigkeit jener Annahme zugeben wollte, bliebe immer noch die Frage oflfen, ob die Funktion f das Gesetz jeglicher Art von Beobach- tungsfehlern darstelle. Herschel erledigt diese Frage da- durch, dass er die Behauptung aufstellt, „das Gesetz müsse ein allgemeines, auf alle Fälle gleich anwendbares sein, weil die Ursachen der Fehler in allen Fällen gleich unbekannt sind^^ Hierzu bemerkt Ellis sehr treffend, dass erstens unsere Unkenntnis der Fehlerursachen nicht so gross sei, dass wir aber sehr guten Grund hätten anzunehmen, sie wirkten in verschiedenen Gattungen von Beobachtungen ver- schieden, und zweitens, dass die völlige Unkenntnis keinen Grund abgeben könne zu was immer für einer Folgerung. Aus nichts kann nichts abgeleitet werden. Ellis hat übrigens zur Widerlegung der Behauptung, das Gesetz der Fehler sei ein allgemeines, den vorliegenden besonderen Fall selbst benützt. Um die Wahrscheinlich- keit einer zwischen den Grenzen r und r -^^ dr eingeschlos- senen Totalabweichung zu erhalten, hat man den Ausdruck — er^^'^^^'^y^^dxdyy welcher die auf das Flächenelement dxdy bezügliche Wahrscheinlichkeit darstellt, auf dem Gebiete r ^ Yx^ -j- y^ ^r -\- dr zu integrieren. Dies gibt, wenn man Polarkoordinaten einführt, 27t — (T^^'^'^rdr n 27» d. i. ^WfT^^'^ rdr. Während also die Abweichung parallel *) Bertrand führt den Fall als Illustration der falschen An- wendung des im Texte angeführten Fundamentalsatzes der Wahr- scheinlichkeitsrechnung an, Calc. des Probab. pag. 29 und Comptes renduB, CVI, pag. 232. — 107 - zu einer der Axen dem Gesetz —=• e'^^*^^ unterworfen ist, befolgt die Abweichung von der Marke ein ganz anderes Ge- setz, nämlich 2h^e-^^'^r, Boole, welcher die HerscheTsche Ableitung verteidigt hat und in ihrem Resultat eine deutliche Bestätigung der harmonischen Beziehungen erblicken wollte, welche sq ganz verschiedene Gebiete unseres Denkens mit einander verbinden, führt u. a. das Folgende „als eine bemerkenswerte Be- stätigung^^ der Richtigkeit des Resultates an. Die Wahr- scheinlichkeit, dass der Stein die Ebene in dem Rechtecke dx dy, das an den Punkt x, y als Eckpunkt sich anschliesst, treffen werde, ist — er^^'^'^^-^y^^ dxdy^ die Wahrscheinlichkeit, dass er die Ebene irgendwo im Abstände x bis x -{- dx von der Y-Axe erreiche, muss sich hieraus durch Integration in Bezug auf y zwischen den Grenzen — cx) und -f- oo er- geben. Da nun diese Wahrscheinlichkeit gleich gefunden worden ist —= e~^^^ dx. so müsste oo /*(? e-**<*'+i'''(?a;) dy = ^ e-»**' dx •OC sein, und dies ist in der Tfaat der Fall. Es ist aber auch ganz selbstverständlich; denn die Funktion f ist derart be- stimmt worden, dass sie der Bedingung 00 / f{3?)dx = 1 00 Genüge leiste, und daraus folgt mit Notwendigkeit 00 J'{fix')dx}f{f)dy = f{x')dx. OD Herschel hat gelegentlich seiner in Rede stehenden Arbeit behauptet, wenn man gegen eine an einer Wa^nd be- festigte Marke Schüsse abfeuert (oder einen Stein wirft) in der Absicht, die Marke zu treffen, so ergebe sich nach Ent- fernung der Marke deren wahrscheinlichste Lage als Schwer- — 108 — punkt des Systems der Treffpunkte. Ellis, in Folge einer irrigen Sehlussweise*), widersprach erst dieser Behauptung, erkannte aber später ihre Richtigkeit an**). Eine sehr klare Darlegung dieses Satzes hat Glaisher gegeben. Es seien A^, Ä^, ... An die Treffpunkte, ri,r2,...r„ ihre Ent- fernungen von der Marke 0. Man denke sich um jeden der Punkte A eine sehr kleine Fläche a beschrieben. Alsdann ist a priori die Wahrscheinlichkeit, dass n Schüsse oder Würfe die Wand in den bezeichneten Punkten treffen. (!!:-y e-^\r,--\-r,-+.--+r^-)ccn ^ folglich die Wahrscheinlichkeit a posteriori, dass die Marke war, wenn die Wand in den Punkten A^^, A2, ... An wirklich getroffen wurde, proportional e~**0'i*+''«'H h'-»*) und am grössten, wenn /"i^ + ^2^ + • • • + rj ein Minimum; diese Beziehung charakterisiert aber thatsächlich den Schwerpunkt des Systems -4^, -ig, . . . An» 4A. In einer Abhandlung, welche gewisse Analogieen zwischen wahrscheinlichkeitstheoretischen Untersuchungen einerseits und statischen andererseits zum .Gegenstande hat, ist von Donkin***) eine Ableitung des Fehlergesetzes ge- geben worden, welche, wenn sie auf grosse Beweiskraft auch keinen Anspruch erheben kann, in mehrfacher Hinsicht der Beachtung würdig ist. Donkin's Schlussweise ist im Wesen die folgende. Wenn zwei Beobachtungen für eine unbekannte Grösse x die Werte a und h ergeben haben, und es liegt kein Grund *) Er betrachtet 2Ä*c'~**''*r(Zr als Wahrscheinlichkeit a priori einer bestimmten Lage des Trefi^unktes im Abstände r von der Marke; dann allerdings wäre die wahrscheinlichste Lage von diejenige, für welche g— A«(ri» -{-r^''-] h V) r^r^-'- r^^ ein Maximum , also verschieden vom Schwerpunkt. Aber 2Ä*c'*'**'*rdr ist, wie aus der Ableitung dieses Ausdrucks hervorgeht, nicht die Wahrscheinlich- keit einer bestimmten^ sondern die irgend einer Lage des Treff- punktes im Abstände r von 0. **) L c. pag. 462. ^) Qoarterly Jonm., I, pag. 162 flg. . U -.-w-^ - 109 — vor in den einen mehr Vertrauen zu setzen als in den andern, dann ist, so lange keine neuen Aufschlüsse vorliegen, offen- I TL bar ~T der wahrscheinlichste Wert von x, weil kein Grund vorhanden ist einen Wert als solchen anzunehmen, welcher einem der Werte a, b näher liegt als dem andern. Beide Beobachtungen werden als in jedem Betracht von gleicher Art vorausgesetzt; wenn daher (p(x — a)dx die von der ersten Beobachtung herrührende Wahrscheinlichkeit be- deutet, dass der wahre Wert von x zwischen x und x-\- dx liege, so wird g)(x — h)dx die entsprechende auf die zweite Beobachtung gegründete Wahrscheinlichkeit sein. Daraus folgt Cg){x — a)(p(x — h)dx als Ausdruck für die aus den vereinigten Beobachtungen ab- geleitete Wahrscheinlichkeit. C bedeutet eine Konstante^ deren Wert sich daraus ergibt, dass das Integral des obigen Ausdrucks, zwischen den Grenzen von x genommen, der Ein- heit gleichkommen muss. Da andererseits der wahrscheinlichste aus den vereinigten Beobachtungen abgeleitete Wert von x gleich T^ sein muss, „so erscheint es als eine natürliche und einleuchtende Annahme (ich gebe nicht vor, dass es keine Annahme sei), dass die Wahrscheinlichkeit, x liege zwischen x und X -{' dx, ausdrückbar sein müsse in der Form so dass (1) C{x — a)ip{x — l) = -k[(p(x— ^^) )'• — 110 — Durch logarithmische Differentiation und wenn man zur Ab- kürzung ^-j-r == i>is) setzt, ergibt sich daraus il,{x - a) + t(x — b) = 2v(a; -^) und mit der Annahme b == — a ^(a; — a) + t(oo + ^) = 2^(a;). Diese Gleichung erfordert aber, dass ip'\x) (und jeder höhere Differentialquotient gerader Ordnung) für alle Werte von x verschwinde; folglich ist if(x) = J. + Bx und daher Aus der Grundbedingung aber, dass (6) = Ae-*'.' enthält den einzigen Parameter ä, welcher mit der Natur der Beobachtungen, mit ihrer Genauigkeit zusammenhängt *) l^tade snr les erreurs d'observat., pag, 22. **) Aamerkg. zu Art. 7. Czuber, Theorie der Beobachtuugsfehler. 8 — 114 — und daher auch nur aus. den Ergebnissen derselben abgeleitet werden kann. Zunächst bemerkt man, dass die Wahrscheinlichkeit des. Fehlers Null oder eines fehlerfreien Beobachtungsresultats proportional ist der Grösse —= oder der Grösse Ä. Mai^ wird aber eine Beobachtungsreihe als genauer bezeichnen vax Vergleich zu einer andern, wenn bei der ersten ein fehler- freies Resultat eher zu erwarten ist als bei der zweiten. Wir betrachten ferner zwei Beobachtungsreihen, deren Fehler dasselbe Gesetz, der Form nach, befolgen; die Para- meter seien Ä' und %" , Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler einer Beobachtung in der ersten Reihe dem absoluten Betrage nach kleiner sei als a\ ist a' a'h' —a' für die zweite Reihe und die Fehlergrenze a" ist sie a"h" K V Beide Wahrscheinlichkeiten sind einander gleich, wenn alfh = a"Ä". Nun wird man, bei irgend einer Wahrschein- lichkeit, die erste Reihe für die genauere erklären, wenn ihr die engeren Fehlergrenzen entsprechen; dann aber kommt ihr der obigen Beziehung zufolge das grössere h zu. Ins- besondere nennt man diejenige Fehlergrenze r, welcher die Wahrscheinlichkeit — zukommt, den wahrscheinlichen Fehler*) der Beobachtungsreihe und hat für den Zusammen- hang desselben mit dem Parameter h die Gleichung *) Der Begriff des wahrscheinlichen Fehlers wird zum erstenmale erwähnt 1815 von Bessel: Über den Ort des Polarsterns, Berl. Astron. Jahrb. 1818, pag. 233 flg., und 1818 näher definiert in den „Untersuchungen über die Bahn des Olbers'schen Kometen", Abhandl. der Berliner Akad. für die Jahre 1812—13, pag. 117 flg. der mathem. Abteil. — 115 - rh ^^ dt = -'-- lie weiter unten besprochene Tafel I (am Ende des Buches) 1er linksseitigen Funktion mit der oberen Grenze als Argu- 3aent gestattet durch Interpolation die zugehörige obere Frenze zu finden und gibt :;3) rh = 0,476936 • • • , Vielehe Konstante wegen ihres häufigen Gebrauchs in der Folge mit q bezeichnet werden möge. Diese Betrachtungen lassen zunächst nur erkennen^ dass, unter sonst gleichen Umständen*), die Genauigkeit umso grosser ist, je grösser der Parameter Ä. Eine nähere Be- ziehung zwischen beiden ergibt sich aber erst, wenn man eine Definition der Genauigkeit aufgestellt hat 47. Ehe dies geschieht, erscheint es notwendig, über die in der vorausgehenden Betrachtung aufgetretene Funktion t (1) @(0 = ^/e-"^ dt, über ihre Berechnung und die Tabellen ihrer Specialwerte einiges anzuführen. Sie ist das Produkt des konstanten Faktors ■t mit der einfacheren Funktion i er-** dtj welch letztere ver- möge der grossen Bedeutung, die ihr in der Physik, so in der Refraktionstheorie, in der Theorie der Wärmeleitung, vor allem aber in der Fehlertheorie zukommt, von Glaisher**) *) Hierbei denken wir an die Einheit, in welcher die Fehler ausgedrückt sind. Wird diese k mal kleiner genommen, so werden alle Fehler und die bestimmten Wahrscheinlichkeiten entsprechenden Fehlergrenzen, somit auch der wahrscheinliche Fehler durch k mal grössere Zahlen ausgedrückt sein; vermöge der Beziehung rh =^ q mnss h daher k mal kleiner sein. **) In der Abhandlung: On a Class of Definite Integrals, Philos. Magaz., XLII, pag. 294 und 421 flg., in welcher eine Beihe bestimmter Integrale behandelt wird^ die sich auf die obige Funktion zurück- fahren lassen. 8* - 116 - den trigonometrischen Funktionen unmittelbar an die Seite gestellt und wie diese unter die elementaren transcendenten Funktionen gezählt wird. Glaisher hat zugleich eine be- sondere Bezeichnung für dieselbe eingeführt und in seinen Schriften angewendet; er setzt (2) fe-^ dt = Erf t t (Abkürzung für Error-function) und (S) f. e-^dt=Er{e t u (Abkürzung für Error- function-complement), so dass (4) Erf t + Erfc t = ^yn uud (5) 0(0 = -■ Erfc t. yn Die nächstliegende Darstellung für Erfc t ergibt sich durch Entwicklung der Exponentialfunktion und gliedweise Integration der Reihe; man findet so (6) Erfc<=^-^ + ^';-,-J.3^ + ..., eine Reihe, welche nur für kleine echt gebrochene Werte von t zur wirklichen Berechnung von Erfc t tauglich ist. Durch partielle Integration erhält man nach und nach /— -v/- ^-^ dt Ö t J fe-^dt=--j^ + I ft'e-^ dt t t Jt^e-<'dt='^- + ly Vc-" dt; daraus ergibt sich die Entwicklung — 117 - (7) Erfc t = ^e-'* fl + ^ + -^^^ + — ^^^— + • • ), die ebenfalls für jeden Wert t konvergent ist, wie man sich durch Untersuchung des Ausdruckes t 1 3 2 n — 1 f für ein unendlich wachsendes n überzeugt; die Konvergenz aber beginnt, wenn 2t^ einen beträchtlichen Wert erlangt, erst bei so späten Gliedern, dass für grössere Werte von t auch diese Reihe nicht verwendbar ist. Wird die aus partieller Integration hervorgehende Glei- chung 00 00 /'«£'' , _ e-'' _ 2n + l /y '^ +2 di i für w = 0, 1, 2, . . . angeschrieben, so führt die so ent- standene Reihe von Gleichungen zu und daraus ergibt sich, indem man von ^ subtrahiert, Erfc t Diese Reihe wird wohl schliesslich divergent; nichtsdesto- weniger kann sie zur Berechnung von Erf t benützt werden, wenn man bei einem Gliede abbricht, dessen Absolutwert genügend klein ist, um vernachlässigt werden zu können, weil dann die Summe der nachfolgenden Glieder, wie gleich gezeigt werden soll, kleiner ist als dieses Glied. Führt man nämlich die Reihe bis zu dem Gliede (- 1)»-^ 1 .3--.(2n— 3)6" 2n^2n-l ? 80 ist QO t das hinzuzufügende Restglied; es ist aber 118 - 00 CO t t mithin thatsächlich 00 l«8'"(2n— 1) /^e"^ -,. 1 • 3 >>> (2n — 3)e" ~^ 2** / "*^'* 2***^**"^ t Der durch die Reihe vertretene zweite Faktor der rechten Seite von (8) kann, wie Laplace*) zuerst gezeigt hat, durch einen unendlichen Eettenbruch ersetzt werden, wodurch eine neue Darstellung von Erf ^ erhalten wird. Geht man näm- lich von der Funktion QO «-«• d^ = e'' Erf « (9) (7 = c«* A t aus, so gibt einmalige Differentiation (10) ü'=2tU- 1; differentiiert man diese Gleichung aufs neue n mal, so kommt man zu der Beziehung welche, wenn man zur Abkürzung Tjir) 1 .2 .• -r setzt, 'auch in der Form (n+l)Un+l = 2tUn + 2ün-l geschrieben werden kann. Hieraus aber schliesst man, dass oder (11) u p. n n 1 u„ 2«' 2«l^n-l 1 ("+l)t^„+i uu„ *) Traitä de Mäcan. cäl., IV, pag. 253 sq. — Thöor. anal, des Probab., I, art. 27. — 119 - un ist wegen (10) 2tU= '*'' "weil U, W-^^ und üj, ebenso V und ZJi identische Symbole sind; wendet man auf den zweiten Teil des Nenners die I'ormel (11) an, abkürzungsweise ^71 = $ setzend, so wird 2tU = 1 + ^ 2 t' 1 1_ 2Ö, auf den zweiten Teil des letzten Nenners lässt sich die Formel (11) von Neuem an\«enden, und fahrt man in gleicher Weise fort, so kommt schliesslich 1 2tU = 1 + «- 1 + ^-^ 1 + ^ Im Hinblick auf Gleichung (9) hat man also (12) Erf t = e-'" 1 2t Q 1 + ^ 1 + ^ 1+^ 1 + ^« 1-1 Allgemein lässt sich der n^ Näherungsbruch eines Kettenbruchs von der Form — ^ — mittelst der beiden vorangehenden h,+ «8 5g H Näherungsbrüche nach dem Schema Z^ h„Z„ , + a„ Z^ a n n n — i ' n n — ss N^ ^«^« 1 + ««^« 9 ■*•»« n n — 1 • n n — z berechnen; auf den vorliegenden Fall angewendet lautet diese Formel — 120 - und gibt, weil — und , . die zwei ersten Näherungsbrüche sind, nach und nach die Partialwerte 1 1 l + 2g l + 6g l + 9g4-8gf* 1' 1+3' l + 3g' l+6g+3g«' l + 10q+16q^' für den Kettenbruch in (12). Obwohl diese Entwicklung für alle Werte von q anwendbar ist, so eignet sie sich für die praktische Ausrechnung erst etwa von g' = -^ abwärts. Für eine tabellarische Darstellung von Erf t sind jedoch alle die gefundenen Formeln weniger geeignet. Zu diesem Zwecke ist von dem ersten Berechner einer solchen Tafel und ebenso von späteren Berechnern die aus der Taylor- schen Entwicklung von 00 Erf {t + h)= I e-^ dt hervorgehende Gleichung (13) Erf(^+Ä)=Erf^-Äe-^(l-^Ä+^-Ä«--^^^^Ä« 4** -12**+ 3, 4 \ angewendet worden, welche gestattet, von einem Werte Erf t ausgebend für eine Reihe nach der Differenz h fortschreiten- der Werte des Arguments die zugehörigen Funktionswerte zu berechnen. Die Anwendung dieses Verfahrens bedarf jedoch einer Kontrole, welche am einfachsten durch direkte Ausrechnung des Schlusswertes geübt wird; stimmt das Resultat der direkten Rechnung mit dem durch das schritt- weise Verfahren gefundenen überein, so ist damit die Richtig- keit der ganzen Wertreihe bestätigt. Die ersten Tafeln für Erf t (log Erf t und log ^ Erf t, sämtlich für das Intervall t = 0,00 bis t = 3,00) sind von Kramp*) berechnet worden. Auf diese stützen sich teil- weise die beiden Tafeln, welche Bessel**) für log ^^ Erf ^ *) Analyse des ßäfractioDB Astron. et Terrestres, Strasbourg 1798. **) Fundam. astron., sect. IV. - 121 — (die eine geordnet nach dem Argument t, die andere nach dem Argument log t) gegeben hat. Eine Erweiterung der Kramp' sehen Tafel für Erf ^, und zwar för das Intervall ^ = 3,00 bis ^ = 4,50, hat Glaisher*) mittelst der Formel (13) l)erephnet und durch unabhängige Ausrechnung mehrerer Werte nach Gleichung (12) kontroliert. Wahrscheinlich aus Krampfs Tafel für Erf ^ ist die Tafel der Werte von e(t) = 4^ Erfc t hervorgegangen, welche Encke**) berechet hat und die in viele andere Werke übergegangen ist. Die am Schlüsse dieses Buches mitgeteilte Tafel I ist auf Grund der Tafel in Bertrand's Calcul des Probab. durch Vergleichung mit Encke's Tafel (welche bis t = 2,00 reicht) und durch Nach- rechnung einer Reihe von Werten unter Zuziehung der oben erwähnten Glaisher 'sehen Tafel festgestellt worden; Ab- weichungen, beziehungsweise Versehen haben sich nur an einigen wenigen Stellen gezeigt. 48. Wir kehren nun zu den in Art. 46 begonnenen Betrachtungen zurück. Man nennt eine Beobachtung k mal genauer als eine andere, wenn bei der ersten die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zwischen den Grenzen s und s -}- ds ebenso gross ist wie die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zwischen den Grenzen hs und lc{s + ds) bei der zweiten. Diese Definition entspricht vollkommen der üblichen Auffassung des Wortes Genauigkeit. Wenn bei der Messung einer Geraden ebenso häufig ein Fehler zwischen a und *) Philos. Magaz., XLII. Dies zugleich die Quelle zur näheren Orientierung über den Umfang und die Entstehung der einzelnen Tafeln. **) Berlin. Astron. Jahrb. 1834. Encke bemerkt zwar pag. 269, seine Tafel sei „unmittelbar aus der Tafel für das Integral f e~~**dtiiiBeB8eVB fe-^^dtii Fondamenta astronomiae hergeleitet^*; wie oben bemerkt worden, gibt aber Bessel nicht eine Tafel dieses Integrals, sonder der kompli- zierteren Funktion log t^ 1 e dt. "S .— <* — 122 — a + 1 Millimetern zu befürchten ist wie bei einer anderen Messung ein Fehler zwischen a und a + 1 Centimetem, so wird man nicht anstehen , der ersten Messung eine zehnmal so grosse Genauigkeit beizulegen als der zweiten. um die Genauigkeit einer Beobachtung, welche dem Gesetze (1) A ^*.^ yn folgt, durch eine Zahl auszudrücken, wählen wir als Ein- heit der Genauigkeit eine Beobachtung, bei welcher die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zwischen den Grenzen b und s '\- da gleich ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zwischen ks und k^e-^de) ist bei dieser Gattung von Beobachtungen gleich (2) JL^^^^cIs, yn Die Ausdrücke (1) und (2) werden für beliebige Werte von s übereinstimmen, wenn k = h] der Parameter h drückt also bei dieser Wahl der Einheit unmittelbar die Genauig- keit aus. Aus diesem Grunde und nach dem Vorschlage von Gauss*) nennt man h das Maass der Genauigkeit oder das Maass der Präzision der Beobachtungen. Aus dem, was in Art. 46 vorausgeschickt worden, folgt, dass sich die Genauigkeiten zweier Beobachtungsreihen umgekehrt verhalten wie gleich wahrscheinliche Fehlergrenzen, insbeson- dere auch umgekehrt wie die wahrscheinlichen Fehler. 49. Neben dem Begriff der Genauigkeit einer Beobach- tung ist auch der Begriff des Gewichtes gebräuchlich. Man nennt das Gewicht einer Beobachtung p mal grosser als das einer andern, wenn die Folgerungen, welche man für den Wert der beobachteten Grösse aus einer Beobachtung der ersten Art ziehen kann, gleichwertig sind mit den Folgerungen, welche sich aus p Beobachtungen der zweiten Art ziehen lassen, die sämtlich dasselbe Resultat ergeben haben. *) Theor. mot. corp. coel., art. 178. — 123 — T Ist p eine gebrochene Zahl, etwa -, so erfährt die Definition die Abänderung; dass s Beobachtungen der ersten Art gleichwertig sind mit r Beobachtungen der zweiten Art*). Um für das Gewicht einer Beobachtung, welche dem Gesetze folgt, eine Zahl zu erhalten, wählen wir wie oben eine Be- obachtung von der Art als Gewichtseinheit. Die Wahrscheinlichkeit des Zu- sammentreffens von s Fehlem irgend einer Grösse b bei s Beobachtungen der ersten Art ist proportional die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens von r Fehlern derselben Grösse bei r Beobachtungen der zweiten Art pro- portional Die Wahrscheinlichkeiten beider Fehlersysteme sind daher proportional und demzufolge gleich für alle Werte von £, wenn 5Ä^ = r, woraus das Gewicht s folgt; bei der getroffenen Wahl der Gewichtseinheit drückt also h^ das Gewicht einer Beobachtung der ersten Art aus. Hieraus, in Verbindung mit den Ergebnissen von Art. 48, ergibt sich, dass die Gewichte zweier Beobachtungen sich verhalten wie die Quadrate ihrer Präzisionsmaasse, dagegen umgekehrt wie die Quadrate gleich wahrscheinlicher Fehler- grenzen, insbesondere der wahrscheinlichen Fehler. 50. Die aufgestellten Definitionen von Genauigkeit und Gewicht haben zur wesentlichen Voraussetzung, dass die Fehler der verglichenen Beobachtungen der Form nach dem- selben, speziell dem Gauss'schen Gesetze unterliegen. Es ♦) Vgl. Donkin, Lionville J., I. sär., XV, pag. 298 und Bertrand, Calc. des Probab., art. 164. — 124 — möchte nun die Frage von Interesse sein^ ob sie auch für andere und für welche Formen des Fehlergesetzes Geltung haben*). Gesetzt, es seien zwei Reihen von Beobachtungen ge- geben. In der ersten sei die Wahrscheinlichkeit eines zwischen den Grenzen s und s -{' de enthaltenen Fehlers durch (p(s)dsj in der zweiten durch x{£)ds ausgedrückt. Damit nun die Beobachtungen der zweiten Art, verglichen mit jenen der ersten, eine k mal so grosse Genauigkeit und ein p mal so grosses Gewicht besitzen, ist es notwendig und hinreichend, dass die Verhältnisse z(g) zjs) konstant oder unabhängig von e seien. Daraus folgt, dass die Funktion (p der Relation {9(0}^ genügen müsse, wobei G eine von s unabhängige Grösse be- deutet. Durch Logarithmierung dieser Beziehung ergibt sich l ' q)Qc€) = l' G -{-pl ' q)(s) und durch Differentiation in Bezug auf s weiter , qp'(Äfi) _ qp'(j) 80 dass, wenn man ^ / > = Mii) und p =^ Ä''+^ setzt, die Funktion ^ der Gleichung zu genügen hat. Daraus schliesst man, dass wo K eine Konstante, oder 9(0 woraus durch Integration = 5^6'^, *) Bertrand, Calc. des Probab. art. 165 und Compt. rend.^ CV, pag. 1099. — 125 — l ■ q>{s) = ^ 6" + ^ + l ■ C und sich ergibt; dabei ist abkürzend , = — a gesetzt worden. Damit y( — s) = q){e) sei, muss ft + 1 eine gerade Zahl vorstellen. Das Gauss 'sehe Gesetz ist ein spezieller Fall dieses allgemeinen und entspricht der Annahme ft = 1; hier ist also p = k^, das Gewicht gleich dem Quadrat der Präzision. Ausser der obigen Form gibt es kein anderes Fehler- gesetz, bei welchem die Begriffe von Genauigkeit und Ge- wicht im Sinne der gegebenen Definition strenge Bedeutung hätten. 51. Bei der Bestimmung des Präzisionsmaasses h sind zwei Fälle zu unterscheiden, jenachdem die wahren Fehler oder die Beobachtungsfehler im eigentlichen Sinne als bekannt vorausgesetzt werden oder nur die scheinbaren Fehler, nämlich die Unterschiede zwischen den einzelnen Beobachtungen und dem aus ihnen für die beobachtete Grösse abgeleiteten Resultate. Wir werden uns zunächst mit dem ersten Fall be- schäftigen, weil der zweite, für die Praxis wichtigere, sich auf diesen gründet. Die nächstliegende Lösung der Aufgabe ist die fol- gende*). Bei n wirklich ausgeführten Beobachtungen seien die Fehler f^, ^2; • • • ^« begangen worden, und es werde an- genommen, dass dieselben einem Gesetze von der Form folgen, in welchem der Parameter h noch unbekannt ist. Vor Anstellung der Beobachtungen war die Wahrschein- lichkeit für das Zusammentreffen der Fehler s^, «2» • • • ^n bei irgend welcher Hypothese über Ä, wenn man a priori alle *) Gauss, Zeitschr. f. Astron. u. verw. Wissensch., I, pag. 186 und Encke, Berl. Astron. Jahrb. 1834, pag. 279. — 126 — Werte von h als gleich wahrscheinlich betrachten darf, pro- portional nach Ausführung der Beobachtungen ist die Wahrscheinlich- keit der über h gemachten Hypothese oder des Wertes h für das Präzisionsmaass demselben Ausdruck proportional. Die günstigste Hypothese ist diejenige, welche diesen Ausdruck zu einem Maximum macht. Sie liefert den wahrschein- lichsten Wert von Ä, nämlich (1) ^ = 1/^ und hiermit den wahrscheinlichsten Wert des wahrschein- lichen Fehlers (2) r = I- = (»l/2]/E = 0,674489 ...|/0. Diese Resultate gelten ohne Rücksicht darauf^ wie gross die Anzahl n der Beobachtungen ist. Der Grad ihrer Zu- verlässigkeit ist aber abhängig von n und umso grösser, je grösser n ist, wie die folgende auf die Voraussetzung eines an sich sehr grossen n sich stützende Betrachtung zeigen wird. Die Wahrscheinlichkeit einer andern Hypothese über das Präzisionsmaass, etwa Ä' = Ä + g), oder die Wahrschein- lichkeit, dass der wahre Wert von h von dem wahrschein- lichsten um den Betrag o verschieden sei, ist proportional (h + a>)«e-(A+")H"] oder Ä-(l + -j)V^ v"^^/ , wie man leicht findet, wenn man in den ersten Ausdruck für [ss] den Wert aus (1) substituiert. Stellt man (l -f- ~) in Form einer Exponentialgrösse dar, nämlich so geht der obige Ausdruck über in und ist, als Funktion von ao aufgefasst, proportional - 127 — Wenn nun n eine sehr grosse Zahl und -r von der Ordnung — = n yn »CO*/ Icülco* \ ist, so kann der Faktor e *» V ^ ä 4 ä» / durch die €0 Einheit ersetzt werden: wird -^ grösser, etwa von der Ord- nung' — (a < 1), so ist -r,- von der Ordnung w^"~" und da- her e ^* so klein, dass die Fortführung des strengen Aus- drucks kein Interesse mehr hat; man kann daher, je grösser n ist, umso genauer die Wahrscheinlichkeit von o proportional setzen »CO* e ^' Die Wahrscheinlichkeit, dass dasPräzisionsmaass zwischen den Grenzen Ä + g) und h -}- cd -}- d(o enthalten sei, kommt also gleich h V 7t neu* e ^* dc3] die Grösse © befolgt daher bei sehr grossem n das Gauss 'sehe Gesetz, ihr wahrscheinlichster Wert ist o = in Überein- stimmung damit, dass (1) den wahrscheinlichsten Wert von h bestimmt. Das Präzisionsmaass dieser Bestimmung ist TL folglich ihr wahrscheinlicher Fehler —:, so dass man Eins yn gegen Eins wetten kann, es liege der wahre Wert des Prä- zisionsmaasses h zwischen den Grenzen (3) »(1 + ^)- Daraus ergeben sich die wahrscheinlichen Grenzen des wahrscheinlichen Fehlers r der Beobachtungsreihe 9 H'^p.) oder bis auf Grössen von der Ordnung — = genau yn (4) ,(1+^). — 128 — Für h und r in (3) und (4) sind die Bestimmungen (1) und (2) einzutragen. 52. Neben dieser auf die wahrscheinlichste und daher günstigste Hypothese gegründeten Bestimmung von h und r lässt sich eine unbegrenzte Anzahl anderer Bestimmungen denken. Es bezeichne /'{s) irgend eine reelle einwertige Funktion des Fehlers; das Integral 00 / f{a)(p{a)d8 00 drückt den wahrscheinlichen oder mittleren oder durchschnitt- lichen Wert dieser Funktion aus, d. h. das arithmetische Mittel aller Werte, welche diese Funktion annimmt, wenn man s alle Werte in der dem Fehlergesetz entsprechenden Verteilung beilegt. Denkt man sich unter 9(5) speziell das Gauss' sehe Gesetz, so wird der Wert jenes Integrals sich als eine bestimmte Funktion von Ä, etwa F{h\ darstellen. Ist andererseits f^, a^^ ... Sn eine Reihe von n Fehlern, wie sie bei n aufeinander folgenden Beobachtungen sich er- geben haben, so wird dem Satze von BernouUi zufolge ^{/■(O + /■(«,) + ••• + /(««)} umso weniger von F{K) verschieden sein, je grösser n ist, und würde sich mit beständig wachsendem n jenem Betrage als Grenze nähern. Setzt man also näherungs weise für ein endliches n (1) ^{fih) + A*2) + •••+/■(«»)}= FQC), SO hat man in dieser Gleichung ein Mittel zur approxima- tiven Bestimmung von Ä und r. Aber abgesehen von praktischen Rücksichten wird nicht jede Form von /*(«) gleich gut geeignet sein; entscheiden muss dabei die Grösse des in der Gleichung (1) zu befürchten- den Fehlers. Die nachfolgende Untersuchung wird sich auf jene Fälle beschränken, wo f{s) der absolute Wert einer positiven ganzen Potenz von a ist; der algebraische Wert eignet sich deshalb nicht, weil für ihn vermöge des Umstandes, dass (p{a) eioe gerade Punktion ist, FQi) Null und somit die Gleichung (1) illusorisch würde, sobald f{s) eine ungerade Potenz von s be- deutet. Mit f{s) = |«| erhält man den Durchschnitt der abso- luten Fehler oder den durchschnittlichen Fehler OD 00 (2) »<= C\E\q>{s)ds = 2 i\(p{E)dE; — 00 mit f{B) = B^ ergibt sich der Durchschnitt der Fehlerquadrate oder das Quadrat des mittleren Fehlers ft 00 OD (3) ^« = j'-£*{B)ds = 2 i\"'q>{B)di gr-Ä»«» Qjj^ gleichzeitig eine neue Variable mittelst der Gleichung hH^ = t ein, so wird 00 y« m — 1 d. i. (5) S^-^^ = —^4-^ • Hiernach ist _ «'(2) = «2 =^ ÄW=#=--i-, Ä(2) = ^2_ 1 ^ ^(3)= 1 *) Hiernach sind die S^"*^ mit geradem Zeiger identisch mit den sonst mit fe^*"^ bezeichneten Grössen; hingegen die S^^^ mit ungeradem Zeiger haben eine wesentlich andere Bedeutung. Czuber, Theorie der BeobachtuTig8''ehlor. 9 - 130 — und man kann zur näherungsweisen Bestimmung von h aus einer beschränkten Anzahl von Beobachtungsfehlern eine der Gleichungen [M] _ _l_. Ji_^_] _ J_ Ol!]] 1^ Ifü ^_L_? [U'l] 1 -2 [s^ 13.6 n "^2*^*' n "^/fcBy^' w "^ 2»ä« ' benützen. Zu bemerken ist, dass die aus der zweiten dieser Glei- chungen sich ergebende Bestimmung von h zusammentut mit derjenigen, welche wir im vorigen Artikel als die wahr- scheinlichste erkannt haben. 53. Um nun den Grad der Zuverlässigkeit dieser Formeln schätzen zu können, stellen wir uns die Aufgabe: Die Wahr- scheinlichkeit zu bestimmen, dass die Summe der absoluten Werte der m*®° Potenzen der Fehler einer sehr grossen An- zahl von Beobachtungen zwischen gegebenen Grenzen ent- halten sei. Die Analyse, welcher wir uns dabei bedienen, ist eine Verallgemeinerung derjenigen, welche Laplace*) für die erste und zweite Potenz der Fehler gegeben hat und schliesst sich an jene an, die in Art. 8 entwickelt worden ist. Sie gilt für jedes Fehlergesetz, welches der Bedingung y( — s) = q)(e) genügt. Mit Beibehaltung der dort erklärten Bezeichnungen gehen wir von der Reihe aus ändern in derselben negative Exponenten, falls solche vor- kommen (bei ungeradem m) in positive um und erheben zur n*®" Potenz; alsdann ist der Koeffizient von e(C4-<^«)0|/^ in der Entwicklung dieser Potenz die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der absoluten Werte der m^^ Potenzen von n Beobachtungsfehlern enthalten sei zwischen den Grenzen *) Thöor. analyt. des Probab., II, art. 19. — Vgl. auch Gauss, Zeitscbr. f. Astron. u. verw. Wissensch., I, pag. 186 flg. - 131 - (^ -{- 6n)o"* und (J + 6n)(o^ + o"*; bezeichnen wir diese Wahrscheinlichkeit mit ^(J; + ^^wo*")©"* und setzen vor- übergehend so wird rt — Ä Nun ist, unter gleichzeitiger Entwicklung der Exponen- fialgrossen in dem Ausdrucke -f wZ« {(g)(o)c} + 2g)(o)G)-| [-2q)(aca) + z)dz = — - e ««{«(«»^O-sC».)'). - 133 — Der wahrscheinlichste Wert von ist is = 0, folglich der wahrscheinlichste Wert von [l£"*|] gleich nS^"*\ Es stellt also der obige Ausdruck die Wahrscheinlichkeit vor, dass [|«"*|] sich von seinem wahrscheinlichsten Werte nS^"^^ um den Betrag is unterscheide, und man sieht, dass dieser Unterschied für jede Form von 9 (e) unter der Voraussetzung, dass n sehr gross ist, das Gauss'sche Fehlergesetz befolgt, wenn nur («). Das Präzisionsmaass in der Bestimmung n/S^"*^ für [|£"*|] ist, wie man aus (1) unmittelbar abliest, 1 daher der wahrscheinliche Fehler dieser Bestimmung so dass man Ein% gegen Eins wetten kann, es liege [|£^|] zwischen den Grenzen (2) „Wiqzpj/l^ ^7(2m)_^(m)» ^•(«0* 54. Der Ausdruck (l) lässt eine einfache Verifikation zu. Man entnimmt demselben, dass der durchschnittliche Wert von is^ == ([|£^|] — wÄ^^ gleich ist w(Ä(2m) _ ^(m)») und dieses B^sultat wird durch direkte Rechnung bestätigt. £iS ist nämlich Xiun ist der Durchschnittswert eines jeden £^"* gleich S^^^\ der Durchschnittswert eines jeden |£"*| gleich S^"*^, daher der durchschnittliche Wert des ersten Gliedes nS^^""^ „ zweiten „ *) n(w— 1)ÄW „ dritten „ — 2n2Ä(^>% ♦) Der durchschnittliche oder wahrscheinliche Wert eines Pro- duktes vom Zufall abhängiger Grössen ist gleich dem Produkte der wahrscheinlichen Werte der einzelnen Grössen, wie sich leicht er- weisen lässt. - 134 - daher der durchschnittliche Wert von ([l£"»|] — W/S^"»))^ that- sächlich 55. Wir wenden nun die Resultate der obigen Unter- suchung auf das Gauss'sche Fehlergesetz an. Für dieses Gesetz ist zufolge (5), Art. 52 mit den Abkürzungen (3)t) ÄC»)^;^, S«^-»'- ,„ (^) „ -(^^) (3*) « -^-, /3= ^ Der wahrscheinlichste Wert des Durchschnitts ^ — — der n Absolutwerte der m*®^ Potenzen einer sehr grossen Anzahl von Beobachtungsfehlem ist hiernach gleich a und es ist Eins gegen Eins zu wetten, dass sein wahrer Wert enthalten sei zwischen den Grenzen w ii('+»yr-^) Die Bestimmung für h und r = -r- , welche sich ergibt, [U"!] wenn man - — ~ seinem wahrscheinlichsten Werte gleich- setzt, ist (5) '* = '^«fe in LI* 7« 1 (6) r.^yUpi; in f n hingegen sind die wahrscheinlichen Grenzen von h und die wahrscheinlichen Grenzen von r t) In zusammenbängenden Artikeln wird die Numerierung der Gleichungen fortgeführt. — 135 - (8) tn I — bei der Bestimmung dieser Grenzen^ welche aus (2)^ Art. 53 durch Ausziehung der m^ Wurzel hervorgehen, ist nur bis auf Grössen yon der Ordnung — = gegangen worden. yn Da die Grenzen (8) bei verschiedenen Werten von m immer auf eine und dieselbe Grösse sich beziehen, nämlich auf r, so sind sie unmittelbar vergleichbar. Gauss hat sie (1. c.) für die Fälle in = 1 bis in = 6 ausgerechnet und gefunden : Wahrscheinliche Grenzen von r: m 1, ♦»==2, (9) 0,8453473 üiü 0,6744897 ]/^ m = 3, 0,5771897 y^~ f» = 4, 0,5125017 y -^ w = 5, 0,4655532 j/EI »» = 6, 0,4294972 y^ ^ -j- 0,6096841\ y« ; ^ _ 0,476986 3\ l/ii / 1 ZT M971987\ . -p 0,6507 186\ 1 iL Q»^3550gl0 \ 0,7567764 \ Aus dieser Zusammenstellung geht hervor, dass sich die Bestimmung von r aus dem Durchschnitt der Fehlerquadrate vor den andern dadurch empfiehlt, dass sie die sicherste Beurteilung der Genauigkeit verspricht. Dazu kommt noch, dass sie zusammenfällt mit derjenigen, welche aus der günstigsten Hypothese über h hervorgegangen ist (s. Art. 51). Indessen ist der Unterschied zwischen den zwei ersten Be- stimmungsweisen ein so unbedeutender, dass man bei der vorausgesetzten sehr grossen Anzahl von Beobachtungen beide als nahe gleichwertig ansehen kann; dabei gewährt die erste den Vorteil einer sehr bequemen Rechnung. Die - 136 — • übrigen Bestimmungsweisen kämeO; selbst abgesehen von dem geringeren Grade ihrer Zuverlässigkeit, schon wegen der Be- schwerlichkeit der Rechnungen, welche sie erfordern, kaum in Betracht. Die wesentliche Voraussetzung, auf welcher diese Resultate beruhen, besteht darin, dass n eine sehr grosse Zahl sein müsse. Ist n nur klein, dann befolgt der Unterschied zwischen [|£"*|] und nS^"*\ wie die eingehenden Untersuchungen Helmert's*) gezeigt haben, nicht mehr das Gauss' sehe Gesetz, und es verlieren somit alle weitereu Schlüsse ihre strenge Geltung. Indessen ist die Annäherung an jenes Gesetz, wie aus der angezogenen Arbeit hervorgeht, eine so rasche, dass man auch für massige n die obigen Resultate wird beibehalten können, ohne eine wesentliche Abweichung von den Ergeb- nissen der strengen Analyse befürchten zu müssen; man er- langt dadurch den Vorteil einer bequemen und für jedes n gleich bleibenden Rechnung. Vom theoretischen Standpunkte kann noch die Frage interessieren, ob mit zunehmendem m die Unsicherheit in der Bestimmung von r wachse, wie dies oben bis m = 6 der Fall ist, oder ob sie nicht vielleicht für ein höheres m geringer werde als für m = 2. Bis m = 10 ist der Aus- druck (8) von Jordan**) gerechnet worden und er zeigt bis dahin das oben beobachtete Verhalten. Nun ist der in der Klammer eingeschlossene, die Unsicherheit charakteri- sierende Zahlenkoeffizient zufolge (8) dargestellt durch darin r(!=±i) r(^) /3 = -1= , « = -F- — 5 aber selbst für ein massig grosses x kann näherungsweisa r{x + 1) = l/2^r-*n;'"^^ *) Zeitschr. f. Mathem. u. Phys., XXI, pag. 192 flg. **) AstroD. Nachr., Bd. 74, Nr. 1766. gesetzt werden : w-iiir: zii- cribt sich für =10 iir Zi:.' . 1 •■. i aus welcher cle.::.i-..". i: koeffizient mit »>. .-^r.l- 56. Die eben vir*:-: eine apriorische, ■:. i dass die Beobachtui^--! nicht bekannt sine. '^:- punkt, dass die FV_".t: kannte Grosse ist. :ii: diejenige, für we.:iT beobachteten Suciiir tj chung (1), Art. 5o i-:: Potenzsumme ».? — : iI:(hS^"'^ + *)rfi = I 1 setzt man hierin nS — Werte (3), Art. 5r». -\ -t, lieit der gegebenen P::-i /• ■ t sie wird demnach eli. lCi.L.L-.: die brauchbare Losujüs: üir^trf ^ je grosser fiy dr stimmoiig ^^«^ — 138 — welche sich aus der Gleichsetzung von [\£^\] mit seinem wahr- scheinlichsten Werte nS^""^ = —- ergibt, so dass auch aus diesem Gesichtspunkte die yorhin erörterte Bestimmung von h und r für ein grosses n die beste ist. Für kleine n be- steht allerdings zwischen der besten Hypothese und der- jenigen des vorigen Artikels, welche die bequemste Rechnung gibt, ein Unterschied; doch scheinen sich beide einander^ wie Helmert*) gezeigt hat, so rasch zu nähern, dass man aus diesem Grunde und um komplizierte Rechnungen zu um- gehen, bei der letzterwähnten Hypothese und speziell bei der Rechnung mit Fehlerquadraten als der absolut günstigsten bleiben wird. 57. Die zweckmässigste Methode behufs Bestimmung der Präzision aus einer endlichen Anzahl von Beobachtungs- fehlem besteht also darin, dass man den Durchschnitt der absoluten Werte irgend einer Potenz der Fehler dem strengen Durchschnitt der betreffenden Potenz der Fehler gleich setzt. Man gelangt dadurch zu den Formeln (7), Art. 52, unter welchen diejenige, welche mit den Fehlerquadraten rechnet, die günstigste ist, einerseits weil sie dem Zusammentreffen der Fehler die grosste Wahrscheinlichkeit a priori verleiht (s. Art. 51), andererseits weil sie die kleinste Unsicherheit befürchten lässt (s. Art. 55). Um den Fehler der Gleichung V / n möglichst einzuschränken, also die Summe [\£"*\] dem Be- trage nS^^^ möglichst nahe zu bringen, hat Bertrand**) vorgeschlagen, [|f"*|] mit einem konstanten Faktor ocm zu versehen und diesen so zu bestimmen, dass der Durchschnitts- wert des Ausdrucks ein Minimum werde. Dieser Durchschnittswert ergibt sich aus der Entwicklung *) 1- c., pag. 215. **) Calc. des Probab., arb. 163-164; Compf. rend., CVI, pag. 440 flg. — 139 — Dach dem Vorgänge, welcher in Art. 54 beobachtet wurde, und ist x«(»S<«'»> + M(n — 1)5"»)*) — 2m»x„/S('")« + M»ÄW* ; er erlangt sein Minimum fflr ,„x wS<'")' Für »» = 1 ergibt sich unter Anwendung der Formeln (6). Art. 52 (3) X, = - n , » — 2 n H — n und für m = 2 (4) '^=„ + 2' so dass man statt der einfachen Formeln [|s|]_ 1 M_ 1 ZU setzen hätte (5) n + 2 [.«] 1 um den Durchschnitt des Quadrats der Differenz aus den l)eiden Teilen der Gleichung (1) so klein als möglich zu machen. Wie man bemerkt^ rückt mit wachsendem n der Faktor 7Cm der Einheit und damit die korrigierte Formel der ursprünglichen immer näher. 58. Statt bei gegebener Summe der Fehlerquadrate den wahrscheinlichsten Wert von h zu wählen, könnte man etwa dem wahrscheinlichen Wert, d. i. dem Durchschnitt aller möglichen Werte von Ä, den Vorzug geben, oder auch dem- jenigen Wert, welcher sich aus dem wahrscheinlichen Werte von Ä* ergibt. Bei gegebenem [es] ist die Wahrscheinlichkeit eines be- stimmten Wertes von h, wie in Art. 51 gezeigt worden ist, proportional — 140 - wenn n die Auzahl der Beobachtungen bezeichnet; es kann demnach die Wahrscheinlichkeit, dass das Präzisionsmaass einen zwischen h und h -{- dh gelegenen Wert habe, unter der stillschweigenden Voraussetzung, dass a priori alle Werte von h gleich wahrscheinlich sind, durch ausgedrückt werden; der Koeffizient C ist der Forderung QO gemäss zu bestimmen, welche besagt, dass h notwendig eine positive Zahl sein müsse. Setzt man h^[ss] = t, so folgt nach einfacher Rechnung Der wahrscheinliche Wert von h aber ist ausgedrückt durch 00 C fh^+'e-^'^^'^de, jener von Ji^ durch oo • C fh^-^^e-''''^''^dh, und dies führt mit der oben gebrauchten Transformation und nach Einsetzung des Wertes für C zu den Bestimmungen Man kann aber für ein massig grosses x näherungsweise r(x + 1) = y'2jte-''x 2 setzen und erhält so für MQi) den Approximativwert — 141 — welcher mit wachsendem n dem wahrscheinlichsten Wert von h, nämlich V'. n 2 [es] sich nähert, weil ( __ j gegen die Grenze er"^ konvergiert Dieselbe Bemerkung gilt bezüglich M(h^). Es fallen also für grosse Werte von n auch diese Bestimmungen mit der wahrscheinlichsten zusammen. 59. Gauss*) erwähnt eines Verfahrens zur Beurteilung der Genauigkeit einer Beobachtungsreihe, speziell zur Be- stimmung ihres wahrscheinlichen Fehlers, das insofern ein theoretisches Interesse hat, als es sich nicht wie die früheren auf sämtliche Fehler, sondern auf einen einzelnen unter ihnen und seine Stellung zu den übrigen stützt. Gauss hat nur die bezüglichen Resultate angegeben; die von Lejeune- Dirichlet herrührende Begründung hat Encke**) mitgeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei w = Ä + 1 + ' Be- obachtungen gleicher Genauigkeit, deren Fehler dem Ex- ponentialgesetz folgen, Ä Fehler zwischen und t, ein Fehler zwischen t und t + dt, und l Fehler über t + dty durch- wegs dem absoluten Werte nach und in irgend welcher Heihenfolge sich ergeben, ist dargestellt durch (1) ^u'^il-ujdu, wenn ht (2) « - ^/, er-^dt ist; in der That ist der letztere Ausdruck die Wahrschein- lichkeit, dass der absolute Wert eines Fehlers zwischen und t, und das auf t bezügliche DiflFerential hiervon AM = — =: e~"**''d^ die Wahrscheinlichkeit, dass er zwischen t und t -}•- dt liege, daher 1 — u — du die Wahrscheinlichkeit, *) Zeitschr. für Astron. ii. verw. Wissensch. I, pag. 185 ♦♦) Berliner Astron. Jahrb., 1834, pag. 294 flg. - 142 - dass er t -{- dt übersteige; damit ist die Richtigkeit des Aus- drucks (1), bis auf Grössen von der Ordnung dw, erwiesen. Man kann nun^ vor Ausführung der Beobachtungen und h als bekannt voraussetzend; die Frage nach dem wahrschein- lichsten Werte jenes Fehlers richten, welcher in der nach wachsenden Absolutwerten geordneten Reihe den h-j- V^ Rang einnimmt; es ist dies jener Wert von f, welcher (1) zu einem Maximum macht; er hängt von h, n und dem Verhältnis k : l ab. Ist umgekehrt die Fehlerreihe gegeben und in der an- gedeuteten Weise geordnet, A dagegen unbekannt, so kann man nach dem wahrscheinlichsten Werte von Ä, d. i. nach demjenigen Werte fragen, welcher dem Eintreffen des wirk- lich beobachteten (Ä + 1)*®° Fehlers die grösstmögliche Wahr- scheinlichkeit verleiht. Da diese Wahrscheinlichkeit, voraus- gesetzt, dass a priori alle Werte von h gleich wahrscheinlich sind, proportional ist dem Ausdruck (1), so gibt die Be- dingung für das Maximum dieses Ausdruckes in Bezug auf h einen Zusammenhang zwischen h und dem herausgegriffenen Fehler und damit eine Bestimmung der ersteren Grösse. Die Bedingung für das Maximum von (1) in Bezug auf t lässt sich leicht in die Form \dt) und die Bedingung für das Maximum desselben Ausdruckes in Bezug auf A in die Form k l ^^ dt dh ^ u 1 — u'^ du du Jt dh bringen; setzt man aber n, k, l als sehr grosse Zahlen gleicher Ordnung voraus, so kann in beiden Gleichungen das dritte Glied neben den beiden ersten vernachlässigt werden, so dass sie zusammenfallen in die eine k l u 1 — u k . k aus welcher u = , , . folgt, wofür näherungsweise — ge- — 143 — setzt werden kann. Es sind demnach die Lösungen der beiden oben umschriebenen Aufgaben enthalten in der Gleichung (3) hf-'"-^' welche unter Berufung auf das Bernoulli'sche Theorem unmittelbar hätte angeschrieben werden können. Von besonderem Interesse ist der Fall h = l] der Fehler t ist dann unter den w == 2Ä + 1 Fehlern der mittelste; sein wahrscheinlichster Wert folgt bei gegebenem h aus der Glei- chung ht e-''d^ = |, ist somit t = 4r = ^ oder der wahrscheinliche Fehler der Beobachtungsreihe. Umgekehrt ergibt sich bei gegebenem t der wahrscheinlichste Wert des Präzisionsmaasses Ä = -7- und hieraus der wahrscheinlichste Wert des wahrscheinlichen Fehlers -?- = ^. h Dies gäbe also eine sehr einfache Bestimmung des Prä- zisionsmaasses oder des wahrscheinlichen Fehlers. Um die Genauigkeit derselben zu prüfen^ halten wir uns an den ersten für die analytische Darstellung bequemeren der beiden oben unterschiedenen Fälle*) und suchen die Wahrscheinlichkeit, dass der mittelste Fehler t zwischen den Grenzen r — d und y + ^ eingeschlossen sei, unter S eine Grösse von der Ord- nung — =: verstanden. Diese Wahrscheinlichkeit ist vermöge (1) dargestellt durch wobei t^i, u^ die den Werten r — S und r + d von t ent- sprechenden Werte von u sind; zufolge (2) ist also *) Den zweiten Fall, selbstverständlich mit den nämlichen Resul- taten, hat Bebstein behandelt: Über die Berechnung der Präzision einer Beobachtung etc., Franenfeld, 1873. — 1« — > I z wenn man bei der Entwicklung der Integr&le nach Potenzen Ton <) mit der ersten Potenz abbricht. .Setzt man zur Abkürzung fb } * nnd führt an Stelle Ton u die neue Variable r ein mittelst der Gleichung (I = so wird 2 * S>"Jt 1 — M = — =: und es entsprechen den Grenzen — — o, — -]- a von u die Grenzen — 2a|/A* und + 2ayk von r; in Folge dessen kommt (4) gleich (2 k) k Mit Hilfe der S t ir 1 in g' sehen Formel aber ergibt sich f&r ky 2** / c*\* ■rn- *^ßr Näherungswert -p=-, für (1 jt) kann mit dem- selben Grade der Näherung e~'* gesetzt werden; und wenn man noch 2 für — ^ — setzt , so wird die Wahrscheinlichkeit, dass t zwischen den Grenzen r — d und r + Öy d. i. im Hinblick auf (5), zwischen den Grenzen 2h eingeschlossen sei. Für die wahrscheinlichen Grenzen von t wird 2a^^ = (>, folglich a=— ^^ sie lauten daher m Y 1^ - 145 - Schreibt man -5- für k (approximativ), so kann den Grenzen von t die Form gegeben werden. Umgekehrt sind bei gegebenem t, bis auf Grössen der Ordnung -^, Y n die wahrscheinlichen Grenzen von r, und nach Ausrechnung des numerischen Koeffizienten ^ ^^_ lauten sie: 1/8 (7*) t^i + 9^y Hieraus erkennt man^ dass diese Art der Bestimmung des wahrscheinlichen Fehlers den beiden gebräuchlichen aus [{£|] und [as] an Genauigkeit weit nachsteht ^ ja dass sie noch ungenauer ist als die Bestimmung aus [£^], indem sie zwischen diese und die Bestimmung durch [\s'^\] sich stellt (s. Art. 55). 60. Als Vorbereitung für die Untersuchungen des fol- genden Paragraphen lösen wir zwei Probleme, deren erstes folgendermaassen lautet: Es ist die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass die Summe von n wahren Beobachtungsfehlern, welche dem Ge- setze --=: e~**** folgen, eingeschlossen sei zwischen den y Tc Grenzen u und u ~\- du. Sind £i, S2, ... Sn die Fehler, [s] ihre Summe, so ist die Wahrscheinlichkeit des Bestehens der Relation (1) w ^ M ^ w + ^^} welche Wahrscheinlichkeit mit 7l;n{u)du bezeichnet werden möge, dargestellt durch das nfache Integral Oznber, Theorie der Beobachtungafehler. 10 - 146 (h)' ff /'"'"""""'■■ "'■■ ausgedehnt über das durch die Relation (1) bezeichnete Ge- biet. Um die Grenzen der einzelnen Integrationen unabhängig zu machen von dem Integrationsgebiet (1), führen wir den Diskontinuitätsfaktor 00 du ^ / cos (M — u)®d& ein, welcher die Eigenschaft besitzt, für alle Werte von [f], welche der Relation (1) nicht genügen, zu verschwinden, da- gegen für alle Werte, welche mit dieser Relation im Ein- klänge stehen, der Einheit gleich zu sein (s. Anmerkg. zu Art. 33). Dadurch ergibt sich, weil nun alle Integrationen über das ganze Fehlergebiet ausgedehnt werden dürfen, für ^„(te)die die Bestimmung (2) Mn)du QO 00 00 GC (w-)"^ /* f- f l'e-''^"^cos([s]—u)0de,dE^-d£„d@ 00 OO 00 und es ist somit*) 00 OO 00 00 00 OO 00 Die in Bezug auf die einzelnen s vorgeschriebenen Integra- tionen lassen sich unmittelbar ausführen, und es ist ohne Rücksicht auf den Zeiger**) *) Wie üblich^ bezeichnet das einem Ausdruck vorgesetzte 9t, dass der reelle Bestandteil dieses Ausdruckes zu nehmen ist. **) Wegen h^s' — eeV- 1 = ( Ä« - --\j^) + j^, ist QO QO ß.,-.....:y^,_,-SfA'-'-^h., ■QO 00 mit der Substitution hs ^^ — = t wird aber das Integral rechter Hand gleich 147 - f 00 0* h CO folglich geht Gleichung (3) über in OO 00 tn(u)=^l^ I e ^' d®\=^^ I e ^^ cosu&d®', führt man das Integral nach der in Anmerkung zu Art. 38 entwickelten Formel aus, so wird schliesslich (4) M«)=:;^e~'-^. y nn Der wahrscheinlichste Wert von [s] ist demnach für jedes n gleich Null. 61. Das zweite Problem geht dahin, die Wahrschein- lichkeit zu bestimmen, dass die Quadratsumme von n Be- obachtungsfehlern, welche dem Gesetze — =^~"'*'** unterworfen sind, zwischen den Grenzen u und u-^du eingeschlossen sei*). Wir beginnen mit den einfachsten Fällen und bedienen uns einer der früheren konformen Bezeichnung. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Quadrat eines Fehlers zwischen den Grenzen und u liege, ist ausgedrückt durch V^ das in Bezug auf u gebildete Differential dieses Ausdrucks CO — 00 80 dass 00 ^2 — 00 ♦) Vgl. Helmert, Zeitschr. f. Math. u. Phys., XXI, pag, 202. 10* - 148 — gibt die Wahrscheinlichkeit, dass w ^ «^ ^ ti + ^^) sie ist demnach gleich (1) h — — ^i{u)du = -—u ^ e-^^^du. y n Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Quadrate zweier Fehler f^, s^ zwischen den Grenzen und w liege, ist dargestellt durch das Doppelintegral ausgedehnt über das Gebiet ^ f^* + fg^ ^ ^5 fasst man £^, ^2 ^Is rechtwinklige Koordinaten eines Punktes auf, so ist das Integrationsgebiet eine Kreisfläche vom Halbmesser}/«*, und die Einführung von Polarkoordinaten verwandelt diesen Ausdruck in W n das Differential hiervon ist die Wahrscheinlichkeit für w ^ fj^ + «2^ ^ w + ^^ ^^^ lautet (2) il)^{u)du = h^e-^^'^^dti. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Quadratsumme dreier Beobachtungsfehler e^, «j? ^s i^ d®™ Intervall bis u liege, ist durch das Raumintegral ^A,y n Ce-^H^^^+^^+'*^)ds^dB^dB^ mit dem Integrationsgebiet O^fj^ + *2^ + f3^^** bestimmt; dieses Gebiet ist aber, wenn man e^, a^, a^ als orthogonale Raumkoordinaten eines Punktes auffasst, durch den Raum einer Kugel vom Halbmesser y~ü dargestellt, und die Ein- führung räumlicher Polarkoordinaten r, 9), -ö* gibt 7t ft T 2 2 yu sC^y Cdq> fsin &dd' re-^'^-'r^dr 2 yu - 149 — das Di£ferential hiervon gibt die Wahrscheinlichkeit, dass w ^ «1* + «2^ + V ^ w + d^} nämlich (3) t^{u)du=^u^ e-^''^du. Y n Um nun auf vier Fehler s^^ s^, «3, s^ überzugehen, setze man b^ + b^ = Xy b^ + ^ / = y und hat dann als Wahrscheinlichkeit, dass b^ + ^2* + ^3* + *4^ = ^ + y zwischen und u enthalten sei, vermöge (2) den Ausdruck h^ f fe-^'^"^- das Doppelintegral auf das Gebiet ^ ^ + 2/ ^ w erstreckt; dies gibt aber U U — X und nimmt man das Differential in Bezug auf u, so folgt (4) il;^{u)du = h^ue-^'''*du als Wahrscheinlichkeit dafür, dass w ^ «1^ + ^2^ + *3^ + ^/ ^ ^ + ^^• Die Ausdrücke (1) bis (4) können in der allgemeinen Formel (5) tn(n)du = —ff^u^ e-^'-du zusammengefasst werden. Um ihre AUgemeingiltigkeit zu erweisen, nehmen wir sie für n als bestehend an und zeigen, dass sie dann notwendig auch für n + 2 gelte. Wir setzen zu diesem Ende £1^ + \- Bn^ = x, b^.^ + b^,^ = y und haben für die Relation ^ «i^ + • • • + ^«4.2 ^ ^ ^^® Wahr- 'scheinlichkeit (vermöge (5) und (2)) U U — X x^ e-*'*(^a? / e^^'^ydy n T n 150 — daraus ergibt sich durch Differentiation in Bezug auf u und mit Hilfe der Bemerkung, dass ^ ^ ( y) '^ ^ \"~2~/ ' n Y'«-^zv j j^ / n 4- 2 \ in Übereinstimmung mit (5). Da nun letztere Formel für w = 1, 2, 3, 4 erwiesen ist, so gilt sie allgemein*.). *) Nach der im vorigen Artikel befolgten Methode wäre un- mittelbar 00 00 00 00 — CO — oe — QOÖ oder 00 QO QO Cd QO^ 00 00 die Integrationen, welche auf die € sich beziehen, können getrenn'fc werden und jede derselben gibt, mit Unterdrückung des Zeigers, 00 / 00 wodurch sich der eingeklammerte Ausdruck verwandelt in CO 00 ö die Yergleichung dieses Resultates mit (5) zeigt, dass 00 91 ( / - — ^ dj^v, - u®y- l) \ 2 / - 151 - § 8. Beurteilung der Genauigkeit einer Beobachtungsreihe auf Grund der soheinbaren Fehler. 62. Die Untersuchungen des vorigen Paragraphen haben insofern ein vorherrschend theoretisches Interesse, als die Voraussetzung der Kenntnis der wahren Fehler selten zutrifft. Der praktisch am häufigsten vorkommende Fall ist der, dass statt der wahren Fehler die Abweichungen der einzelnen Beobachtungen von dem für die Unbekannte aus den letzteren abgeleiteten Werte, also von dem arithmetischen Mittel ge- geben sind. Wir wollen diese Abweichungen im Gegensatze zu den wahren die scheinbaren Fehler nennen*). Wir werden von jetzt ab, wie es üblich ist, zur Schätzung der Genauigkeit statt des Präzision smaasses h des mittleren Fehlers (i oder des durchschnittlichen Fehlers ^ uns be- dienen, aus welchen der wahrscheinliche Fehler mit Hilfe der Formeln r = 0,6744897 ft = 0,8453473 ^ berechnet werden kann, die sich durch Verbindung der Glei- chungen (6), Art. 52 mit Gleichung (3), Art. 46 ergeben. Der wahre Wert der beobachteten Grösse sei X, die Be- obachtungsergebnisse seien l^^ l^, ... Z», ihr arithmetisches Mittel ü? = — , so dass (1) Si h+X den wahren, den scheinbaren Fehler der Beobachtung h bezeichnet; zwischen den letzteren besteht die Beziehung C3) [A] = 0. 63. Aus n wahren Fehlern s^ fg; • • • ^» ergibt sich die wahrscheinlichste Bestimmung des mittleren Fehlers f^ = ]/ [BS] n *) Bei den französischen Geometern „erreurs präsumees" oder „erreurs apparentes**, bei den englischen j^residuals", bei den ita- lienischen ,,scostamenti*^ — 152 — Sind statt dessen blos die scheinbaren Fehler A^, A^, ... A» gegeben^ so könnte in der Voraussetzung^ dass sie nur sehr wenig von den wahren sich unterscheiden, [es] durch [AA] ersetzt werden; wie sich gleich zeigen wird, gäbe dies einen zu kleinen mittleren Fehler und daher eine ÜberschätzuDg der Genauigkeit. Denn es ist allgemein €i — A,- = X — Xy folglich [s] - [A] = n(X - x) und wegen [A] = (2) X-x = iil, daher (3) l, = ., - Ü] und (4) [AA] = [£«]- ^ In der That ist also [kX\ <[««]. Um zu einer genaueren Bestimmung von fi zu gelangen, sucht man den durchschnittlichen Wert der rechten Seite von (4) und setzt [XX] diesem Mittelwerte gleich. Nun ist M([£€]) = n^^, weil der Mittelwert eines jeden s^ gleich (i^ ist, und weil der Mittelwert eines jeden s gleich Null ist. Dies gibt woraus Die Bildung von [AA] kann entweder direkt durch Be- rechnung der einzelnen A oder indirekt mit Hilfe der Be- obachtungsresultate allein erfolgen. Aus Gleichung (2), Art. 62 folgt nämlich [AA] =[ll] ^2ll]x + nx s — 153 — und wenn man für x das arithmetische Mittel einsetzt, weiter*) 64. Die eben entwickelte Ableitung der Formel (5) ist nicht einwurfsfrei. Es kann bedenklich erscheinen, die Summe [f,«»'] deshalb zu vernachlässigen, weil ihr Mittel- wert Null ist**). Zu diesem Schlüsse wäre man gewiss berechtigt, wenn es sich um eine Grösse handelte, welche beständig dasselbe Zeichen hat; ist der wahrscheinliche Wert einer solchen Grösse sehr klein, so ist es mit grosser Wahrscheinlichkeit die Grösse selbst auch; denn ein sehr kleiner Mittelwert kann in diesem Falle nur dadurch ent- stehen, dass die grösseren möglichen Werte der Grösse mit sehr kleiner Wahrscheinlichkeit begabt sind. Anders aber verhält es sich, wenn die betreflfende Grösse ihr Zeichen wechseln kann, wie es bei dem Produkt £,£,' der Fall ist; hier kann ein sehr kleiner oder auch der Mittelwert Null zu stände kommen, auch wenn grosse Beträge mit grosser Wahrscheinlichkeit zu erwarten sind, wenn nur positive und gleich grosse negative Werte gleiche Wahrscheinlichkeit haben. In diesem Zweifel wird man durch folgende Erwägungen noch bestärkt Gesetzt, die Anzahl der Fehler sei 2k, so ist die wahrscheinlichste Verteilung derart, dass k Fehler positiv und k Fehler negativ sind; und dieser Verteilung entsprechen k'^ negative und k(k — l) = k^ — Je positive Produkte, erstere also in der Überzahl, so dass eher ein negativer Wert von [f»«»'] zu vermuten wäre. Nimmt man andererseits an, dass Ä + Z Fehler positiv und k + l Fehler negativ sind, so beträgt in beiden Fällen die Anzahl der negativen Produkte ifc^ — Z^, die Anzahl der positiven Produkte hingegen und die erstere übersteigt die letztere, wenn *) Auf diese Formel hat bereits Fourier 1824 die Beurteilong der Präzision des arithmetischen Mittels gegründet, jedoch [XX'\ mit [e e] als gleichwertig angesehen. Bull, des scienc. math^m., II, pag. 88 flg. **) Bertrand, Calc. des Probab., art. 160 und 162. — 154 — ?<& — /», oder wenn d. b. beispielsweise bei 100 Fehlern, wenn die Abweichung l weniger als 5 beträgt. Die Wahrscheinlichkeit dieser Grenzen ist, sofern Je eine grosse Zahl ist, dem Bernoulli^ sehen Satze zufolge näherungsweise durch das Integral y^kpq 1 1 /^ gegeben, darin p = q= - und l = y y gesetzt, ist daher gleich n Mit dieser Wahrscheinlichkeit also ist ein Überwiegen der negativen Produkte über die positiven zu erwarten. 65. Diese Zweifel werden behoben durch die strenge Begründung, welche Helmert*) für die Formel gegeben hat. Die scheinbaren Fehler A^, Ag, ... A„ hängen unter einander durch die Gleichung (1) [A] = und mit den zugehörigen wahren Fehlern durch die Glei- chuns^en A, = «1 - n (2) K^B,- [*] n zusammen; die Wahrscheinlichkeit für ihre Koexistenz ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit *) Astron. Nachr., Bd. 88, Nr. 2096—97. — Vgl. auch ibid., Bd. 86, Nr. 2039. (3) — 155 — (-^ye-**f«]rf£ld£2-rffn für das Zusammentreffen der wahren Fehler, indem man 6^, «2, ... £„ mittels der GleichTungen (1) und (2) eliminiert und den gewonnenen Ausdruck in Bezug auf die Variable — == ti für alle zulässigen Werte derselben, d. i. zwischen den Grenzen — oo und + oo integriert; denn es kann ein System k^, A^, ... A» aus unendlich vielen verschiedenen Systemen wahrer Fehler hervorgehen. Man hat hiernach in (3) zunächst die Substitution ^1 = ^1 + ** ^2 = Ag + W ^2 — '•■ ■An_i + U durchzuführen; dieselbe ergibt [es] = [XI] + nM? und an die Stelle von ds^ äe^ . . . dsn tritt I J\ dX^ dX^ . . . dXn—i du , wenn J die Determinante obiger Substitution bezeichuet; es ist also jr= 1 0..1 1 0--1 — 1 — 1 — 1...1 = n wie man sich leicht überzeugt, indem man die w — 1 ersten Zeilen zur letzten addiert; demnach geht (3) über in n (-^y ^Ä"f^^J-^^«"*dAi '"dXn-idu und die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen der scheinbaren Fehler A^, Ag, ... Xn wird gleich QO n ("-^Y e-*'[^^i(?A, • . • dXn-i /V^'-Vm, — 00 — 156 - d. i. nach Ausfuhrung der Integration (4) Vn (^^y-'e-^nni ^^^ . . . ax„_t . Wenn nun [AA] gegeben, so ist die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese über h dem Ausdruck proportional und als wahrscheinlichste Bestimmung hat die- jenige zu gelten, welche .diesen Ausdruck zum Maximum macht, für die also (n — l)Ä*»-2 _ 2Ä«[AA] = 0; dies aber gibt für rp = fi^ die Bestimmung (5) ii'= f^^^ n — 1 in Übereinstimmung mit dem Resultate in Art. 63. 66. Eine andere Ableitung der klassischen Formel er- gibt sich aus der Beantwortung der Frage: Welches Gesetz befolgen die scheinbaren Fehler A, wenn die wahren Fehler e dem Gesetze — =6""*'** unterworfen sind?*) Die i*® der Gleichungen (2), Art. 65, nämlich n kann, wenn man [e] — £,• = i; setzt, auf die Form (1) Xi = Si gebracht werden, wornach der scheinbare Fehler A,- als Funk- tion des ihm zugeordneten wahren Fehlers £,• und der Summe v aller übrigen n — 1 wahren Fehler dargestellt ist. Da diese beiden Grössen unabhängig von einander sind, so ist, wenn q){€)d€ die Wahrscheinlichkeit eines zwischen 6 und s '\- de liegenden Wertes von «,-, tl;(v)dv die Wahrscheinlichkeit eines zwischen v und V -{• dv liegenden Wertes von v und *) Vgl. d. Verf. Note in den Monatsh. für Math. u. Phys., Bd. I. — 157 — ^{X)dl die Wahrscheinlichkeit des zwischen den zugehörigen Grenzen A und A + rfA liegenden Wertes von ki bezeichnet^ (2) m(l)dX ==: r rip{s)if(v)d€dv, das Integral über alle Wertverbindungen des Gebietes (3) X < ^^-^=^ e-^ hiernach hat man (t) r ui wobei der mit dem Zeichen ^ versehene Teil des ein- geklammerten Ausdruckes den mittleren Fehler von ^ in Einheiten von l/^Ti ^Dgibt. Für ein grosses n gibt diese Formel die früher ge- fundene Gleichung (3), Art. 67, als Näherung wieder; man hat dann nämlich mit Benützung der Stirling'schen Formel näherungsweise - 163 — r (!L] 1 \2/ - T 1 /n --^ / n— 2 \ Für den letzten Faktor folgt aus seiner logarithmischen Entwicklung _!L::i^.i(l_^_)=l + _L_ . ... 2 \ n — 2/ 2 ~ 4(n -- 2) ~ der Näherungswert wodurch weiter (i) n — 1\ \ ' 4(n — 2)/ r 2 die Einführung dieses Wertes in die Gleichung (6) gibt nach einfacher Rechnung, wenn man sich bei Entwicklung der Grösse unter dem ersten Wurzelzeichen auf Grössen von der Ordnung _ beschränkt, die eben erwähnte einfachere Be- stimmung die selbst bei massig grossem m die obige kompliziertere vollkommen ersetzt, so dass diese nur für kleine n Bedeutung liat. Man findet für das mit + bezeichnete Glied nach Formel (6) (7) bei n = 5 0,3465 0,3536 10 0,2338 0,2357 20 0,1617 0,1622 30 0,1310 0,1313 40 0,1130 0,1132. 69. Die zar Bestimmung des durchschnittlichen Fehlers & ans den scheinbaren Fehlern l dienliche Formel ist zuerst von Peters*) aufgestellt worden. Wir geben seine Deduktion •) Astron. Nachr., Bd. 44, Nr. 1034. 11* — 164 — in abgeänderter Form und mit Hervorhebung der dabei ge- machten Voraussetzung wieder. Würden die scheinbaren Fehler Ai,A2,...A„ ebenso wie die wahren Fehler s^, fg? ••• ^n dem Gauss'schen Ge- setze folgen, so bestünde zwischen dem mittleren und dem durchschnittlichen Fehler ihrer Reihe, ft' und d'\ dieselbe Beziehung, welche zwischen den auf die Reihe der wahren Fehler bezüglichen Grössen fi und'-O', um deren Bestimmung es sich handelt, stattfindet, d. h. es wäre (s. Gleichungen (6), Art. 52) _ (1) f*'=l/|^' ebenso wie (2) f* = l/y^, " und die Bestimmung von ft', -Q-' hätte den Gleichungen (3) f.' = |/[^ n n (4) & gemäss zu erfolgen. Ersetzt man in (3) die Summe [AA] durch ihren Mittel- wert (n — l)f*^ so ergibt sich das Verhältnis — und zwar -0-' und da vermöge (1) und (2) ^ = — ? so ist auch ^ Y n ^ führt man schliesslich für %'' den in (4) angegebenen Wert ein, so kommt man zu dem Resultate. (5) ^ y'n^n — 1) 70. Peters hat die an die Spitze gestellte Voraussetzung, dass die scheinbaren Fehler zugleich mit den wahren das Exponentialgesetz befolgen , weder explicü ausgesprochen, — 165 - noch ihre Richtigkeit erwiesen. Darum konnte die Be- gründung seiner Formel nicht befriedigen und veranlasste Helmert zu der im ^folgenden Artikel erörterten Neu- begründung. Durch die in Art. 66 durchgeführte Untersuchung ist indessen die Stichhaltigkeit jener Voraussetzung dargethan; übrigens lässt sich auf dem Resultate dieser Untersuchung eine sehr einfache Ableitung der Formel (5) aufbauen. Da nämlich die scheinbaren Fehler dem Gesetze r n — 1 n— 1 folgen, so ist bei bekanntem h der durchschnittliche Fehler ilirer Reihe (die durchschnittliche Abweichung einer Be- CDbachtung vom arithmetischen Mittel) h f nn ^ Ifcingegen ist der durchschnittliche Fehler der Reihe a 1 -9-== — > ^aher andererseits ist auf Grund der beobachteten A ^'=[1^11 n verbindet man diese Gleichung mit der vorangehenden, so ergibt sich wie vorhin (2) ^ = -iJ^-. ^^ l/n(n-l) 71. Helmert's*) oben erwähnte Begründung der Formel stützt sich auf die Bestimmung des Mittelwertes von [|A|]. Dieser Mittelwert ist aber das wfache des Mittelwertes eines einzelnen A. Nun ist beispielsweise *) AstroD. Nachr., Bd. 85, Nr. 2039, (1) A, = 8, — 16G — n n und der absolute Wert davon kann durch 00 (..-^)t./'- '8in(«i — !il)<9dö dargestellt werden, weil der Diskontinuitätsfaktor nj 00 (9 entweder die positive oder die negative Einheit bedeutet, jenachdem b^ — — positiv oder negativ ist. Hiernach hat man OD OD (2, 3f awi) - „ (j^)'|//- ■00 00 00 Bezeichnet ?7 den Wert des {n + l)fachen Integrals mit Weglassuug des davorstehenden Faktors, so ist 00 OD (3) i/= - y^^ --\ff- 00 00 oo oo — 00 Ersetzt man hier s^ — '^ durch die in (1) angegebene ent- wickelte Form und zerlegt die Exponentialgrösse in Faktoren, welche nur von je einem a abhängen, so können die auf die s bezüglichen Integrationen wie folgt ausgeführt werden. Die Integration in Bezug auf e^ gibt /- n — 1 n 00 00 n—1 r -Ä»*i»+V^*,ö]/-i " J ds^ 00 OD f » H h « n ihi 00 tl 1 *2 + • • • + f « n n Iflgt man hierzu den von «g abhängigen Faktor e ^ ^ de^y gibt die Integration nach £ 2 00 00 ^P re-"-'->''-'d., - BJi- Ar'""'-^"»^./, '2 — 00 OD 00 *8 + 00 ^^^oiultipliziert man diesen Ausdruck mit dem von s^ abhängigen Faktor e ' ^ ds^y so treten bei der darauf folgenden Integration nach £3 keine neuen Integralformen mehr auf lind man erhält n - 1 n FQ" - li n *^ ' n «''}; 80 fortfahrend kommt man nach Vollziehung der Integrationen in Bezug auf b^j . , , £n->i zu dem Ausdruck n — X n fn — 2 « /In— 2 p<2-« - i?|^ e»-»s + ^ e und die letzte auf Sn bezügliche lutegration führt zu — It** — »— 1 *-i«^ ^ Die fier Tom Zeiger anAbhangfgen Integrale P,Q^ H^ S haben nun folgende Werte* : P=/.. ' rf. = v-i^^.i,--* X ■■X. •X. ihre Einfohning in die Gleichung ^4) gibt er ^ Die Int^rale Q^ B folgen aus «1er in der Anmerkung so Art. 60 abgeleiteten Formel OD J r* = I #r *A» - h ans dieser aber ergibt sich dorch Differentiation in Bemng auf r die zur Bestimmung von P und 8 taogliche Formel «c a« = V — 1 - - — r» — OD ^ ~ n \h J 2h* J e a& -mW' n Dieser Wert in die Gleichung (2) an die Stelle des Integrals gesetzt^ führt zu dem Resultate ny 7t Setzt man den beobachteten Wert [\l\] diesem Mittelwert gleich und beachtet, dass — -= = d" (s. die Gleichungen (6), hy ^ Art. 52), so ergibt sich wieder C5) ^ = _i^L. yn{n— 1) 72. Um den mittleren Fehler dieser Bestimmung von -ö- zu finden*), hat man den Durchschnittswert von (1) /_ji!L^_^y=4J^_2*_lL= + ^^ ^^ \Vw(n^l) J w(n— 1) Yn^n-'l) zu bilden. Nun ist (2) M(-jm==\=» \Vn(n - \)) und wegen [\k\Y = [AAJ + \\hh\\ (wo i < h) es bleibt also der Mittelwert von [|A,Ajt|] oder, da jedes der n{n — 1) Glieder dieser Summe den nämlichen Mittelwert hat, der Mittelwert eines dieser Glieder, z. B. von IA1A2I zu bestimmen. Mit Benützung eines Diskontinuitätsfaktors ist 00 (4) KA,| = A,A,|Ji^'l^d@, *) Helmert, Astron. Nachr., Bd. 88, Nr. 2096—97. - 170 ferner hat man (5) n— 1 Aj = S, n n n n — 1 u n u A^ — "■; — r — — ^« n n wenn u die Summe der w — 2 übrigen wahren Fehler s^, ... f„ bezeichnet; hierdurch erscheinen X^, Ag als Funktionen der drei unabhängigen Grössen e^, €2, u dargestellt, für deren EintreflFen einzeln die Wahrscheinlichkeit (s. Gleichung (4), Art. 60) h yn e-'^^'^^da, , h :^ e ^h^e^^ rf«2> h 9«/9 h^i* e ""-^du besteht, deren Zusammentreffen und hiermit auch das Ein- treffen der Werte A, , Ag mit der Wahrscheinlichkeit \ynj yn- -.e 2 rf^i ds2 du zu erwarten ist. Da nun «j, £3, u aller Werte zwischen — und + 00 fähig sind, so ergibt sich mit Hilfe der Dar- stellung des absoluten Wertes von 1^X2 00 00 QO 00 (e)M„,^,)^(Ay^^i^//y7v.r"("--Ä) — CO — 00 — ao © ^^1 ^^2 "*' ^® • Die Einführung von A^A^jW an Stelle von «1,^2?** ^^^ auf Grund von (5) mittels der Gleichungen h — ^i-r ^_2 zu geschehen; die Determinante dieser Substitution ist n- 1 1 1 n — 2 n — 2 n — 2 1 n— 1 1 w — 2 w — 2 n — 2 1 n n— 2*' — 171 - ferner ist «1 i-^2 —^1 +^^2 "T- ^_2 ■T-^\"n"^ir/ + " i;e:^2~ und daraus Nach Ausführung der Substitution kann die auf u bezüg- liche Integration ausgeführt werden und gibt 00 SO dass (7)^(i,,y)=2(A)y„4:/y/,,v-''(''-^'-"-') — CO — 00 .^J^hh)^dX,dX,d@. Bezeichnet man den Wert des dreifachen Integrals vor- übergehend mit Uf so ist OD 00 00 — 00 — 00 führt man hier an Stelle von Ag eine neue Variable x mittels der Gleichung 3 _ ^1 n— 1 ein, so nimmt der zu integrierende Ausdruck die Form an und die Integration in Bezug auf x gibt (s. Anmerkung zu Art. 71) QO /(^-;^)« "-^ dx — 172 - Tollziebt man ferner in dem komplexen Teil = ( — ^^ä :; )l cos — — - — y— 1 sm -^ — - ) die Trennung des Reellen vom Imaginären^ so ergibt sich xä cos — — r H ~ sm -^ — 7 h^ n — l'n — 2 n — 1 als Koeffizient von Y— 1. Hiernach wird worin OO 00 Ve "-'' 'dA, / e »-' "'cosi^d© — 00 '- n — 2 V@^ sm * n — 1 — 00 Die auf & bezügliche Integration gibt, und zwar in Ui^ / « 1 /n — in C/2*) Ä y « l /w — 1 ^ (n-l)(n-^2) *) Das erste dieser beiden Resultate erhalt man mit Hilfe der zu Art» 38 entwickelten Formel OD fJi — a»«'» j„ V^ .""I^ Je "'*'co8 rxdx == ~r- ^ *" (« > 0); 2a integriert man beiderseits in Bezug auf den Parameter r zwischen den Grenzen und r, so wird 00 _ r ^ c dx=^^— I e ^^ dr X 2a J ü ü = ^Je *-'dy, (a>0) wenn man schUesslich unter dem Integralzeichen ry &n Stelle von r schreibt, und auf Grund dieser Formel iet das zweite der obigen Resultate zu Staude gekQnimen, - 173 - 1 „ /-. _ /,«;t,' y' /ajAr-|/«-2 / ^ (n-.)(„-2) , _ n— 1 r w — 2 / ^ Hiermit wird weiter 00 w — 1 f'.-2»i/«^/v"-=''""A=';:i/j^ und*) oo ^3 = l^-f V'^.fävfK^^-' ^^^-^äx. (n-l)}/« i/n — 1 / dl/ h^ r n — 2 (" + A)^ (n — 1)}/« -1 /n — 1 /n(w — 2) , .,--, ^ . 1 \ Werden diese Werte in den Ausdruck (8) eingeführt, so geht derselbe über in U = jT^ (n — 2 -^ \/- arc sin -) ; dies also ist in (7) an Stelle des Integrals einzusetzen und gibt m^i ^\) = OT (l/«(« - 2) + arc sin ^) • Das n(w — l)fache hiervon ist Jf([|A,Ait|]); auf Grund der Gleichungen (1), (2), (3) ergibt sich also für das Quadrat des mittleren Fehlers der Formel ■)/w(n— 1)' *) Es ißt 1 /* dx 1,1, J (1 + a-^^^)* == 2 (1 + a^) + 2-a ""'' ^^ ^ 1,1 . a + -— arc 81X1 2(1 + a^) 2a Vi+a* - 174 - wenn man durchwegs an Stelle von h, (i ihre Darstellungen durch 0" einfährt, der Ausdruck yn{n — 2) + arc sin + «- ^^^-i;»*; die Quadratwurzel daraus ist der mittlere Fehler selbst und man hat als endgiltiges Resultat die Formel Entwickelt man — , aresin und n ' n — 1 vn{n - 2) = (« - 1) yi - (^y nach Potenzen von r, und beschränkt man sich in der n — 1 ' Voraussetzung, dass n gross ist, auf Glieder von der Ordnung -, so reduziert sich der Ausdruck unter dem Wurzel- n — 1 ' zeichen auf - __ . und man hat dann näherungsweise*) 73. Der Gedanke, zur Beurteilung der Genauigkeit einer Beobachtungsreihe statt der Abweichungen der einzelnen Be- obachtungen vom arithmetischen Mittel ihre Abweichungen unter einander, mit andern Worten statt der scheinbaren Fehler die Beobachtungsdifferenzen zu verwenden, ist von Jordan**) ausgegangenund von Andrae***) und Helmertf) weiter ausgebildet worden. *) Eine andere Formel zur Berechnang von ^ ans [|X|] ist von Fe ebner angegeben (Poggendorffs Ann., Jubelbd., pag. 66 flg.) und ihre Genauigkeit von Helmert ermittelt worden (Astron. Nachr., Bd. 88, Nr. 2096—97). **) Astron. Nachr., 1869, Bd. 74, Nr. 1766—67. — Wohl un- abhängig von Jordan hat Bräget (Compt rend., XCIII, pag. 1119) die Anwendung der Beobachtuiigsdifferenzen zur Bestimmung der Präzision einer Beobachtungsreihe vorgeschlagen und die Bichtigkeit der weiter unten abgeleiteten Gleichungen (1), (2) auch experimentell geprüft. ***) Ibid., Bd. 74, Nr. 1770; Bd. 79, Nr. 1889. Vgl. weiter Bd. 80, Nr. 1901, 1908. t) Ibid., Bd. 88, Nr. 2096—97. - 175 - Sind li, I27 ' * ' ^n die Resultate von n gleich genauen Beobachtungen, «i, «2? • • • ^» d^® wahren, X^, Ag, . . . A„ die scheinbaren Fehler, so dass h + £, den wahren Wert der Unbekannten, Z,- + A,- das aus den Beobachtungen abgeleitete arithmetische Mittel bedeutet, so ist li -{- €i ==/* + «*, li -jr ^i = h + ^k j folglich h — h "= ^k — f* = ^k — A,' Jede BeobachtungsdifiFerenz ist hiernach dem Unterschied der wahren oder scheinbaren Fehler der verglichenen Be- obachtungen gleich, befolgt daher das Gauss^sche Gesetz, wenn die Beobachtungsfehler es befolgen. Denn bezeichnet man sie mit d, die Wahrscheinlichkeit, dass ihr Wert zwischen d und d -{- öd falle, mit ^(d)dd*), so ist das Integral auf dem Gebiet d^Sk — Bi<.d '\' Sd gebildet: und setzt man Bk = Si -{- u^ so geht dies über in d —00 d-{-Sd 00 == ^ / c du f e dci CO ^ e ' dd. Die Reihe der BeobachtungsdiflFerenzen verhält sich also wie eine Reihe von Beobachtuugsfehlem mit dem Präzision s- maass -=* Bezeichnet man daher mit D^ das mittlere Quadrat von d, mit 3) den mittleren Wert von |d|, dagegen *) Ansoahmsweise vfirü hier für das Differential das Zeichen d gebraacht, um für die Beobachtungsdifferenz das übliche Zeichen d beibehalten za können. - 176 - mit (i den mittleren, mit &• den durclisclinittHchen Wert von €, so ist (1) 7) = ^V2, (2) SD = '^]/2. 74. Wenn 5 unabhängige Beobachtungsdiflferenzen d^,d<^j.,,ds gegeben sind, welche durch Vergleichung gleich genauer Beobachtungen gewonnen wurden, so sind i) = |/ \dd] S die wahrscheinlichsten Bestimmungen, welche sie für D und S) liefern. Verbindet man dieselben mit den vorhin gefundenen Gleichungen (1), (2), so ergeben sich für den mittleren und durchschnittlichen Fehler einer Beobachtung die Werte (1) ^ = VHf (2) ^ = Ä. Aus n Beobachtungen Z^, Zg, • • • Z« lassen sich n(n — 1) verschiedene Paare und eben so viele Differenzen bilden; denkt man sich beispielsweise die Beobachtungen nach steigen- der Grösse geordnet, so ergeben sich die folgenden durch- wegs positiven Differenzen: (3) Z4 ?! Z4 I2 Z4 — Z3 Diese aber sind nicht unabhängig von einander; vielmehr lassen sich aus n Beobachtungen nur n — 1 unabhängige Differenzen ableiten. Sieht man aber von dieser Unabhängigkeit ab, so geben die Formeln (1) und (2) auf Grund von n Beobachtungen die Bestimmungen — 177 - w "-V^ (n-l) (5)' ^^MLi^-. ^ ^ n{n — 1) Die Richtigkeit der ersten Formel hat Andrae er- wiesen. Man kann nämlich an die Stelle des Schema (3) das folgende setzen: (6) 6^ — £4 ^2 — ^4 ^3 — -^4 und findet nun durch Summierung der Quadrate [dd] = (n - 1)[sb] - 2[a,8,] ; (i < Ic) es ist aber identisch daher (7) ' [dd]^n{es]-[€f] andererseits aber ist die Relation n[Xl] = n[ss] — [sf gefunden worden (s. Gleichung (4), Art. 63), folglich i^t [dd] = n[Xl]y so dass die beiden Formeln, (4) und fi =y _\ y völlig gleichen Inhalt haben; welcher von beiden man aus prakti- schen Gründen den Vorzug zu geben hat, kann keinen Augen- blick zweifelhaft sein, wenn man die Anzahlen n und -^— r — - der X einer- und der d andererseits ins Auge fasst. Für die zweite Formel hat Helmert einen strengen Beweis geliefert, nachdem sie vorher schon von Andrae, jedoch nicht in allgemeiner Giltigkeit, abgeleitet worden war. Auf Grund des Schema (6) ist M{[\d\] = M{[\at - B,\]) (i < h) und da jede der Differenzen \si — Sk\ denselben Mittelwert, C sab er, Theorie der Beobachtungsfehler. 12 — 178 — nämlich zufolge der Gleichung (2), Art. 73, den Mittelwert d'Y2 hat, so ist Setzt man die beobachtete Summe [\d\] diesem ihrem Mittel- wert gleich, so ergibt sich für d' thatsächlich der in (5) ge- fundene Ausdruck*). 75. um den mittleren Fehler der Formel (5) des vorigen Artikels zU bestimmen**), — die Formel (4) kommt nach dem, was über sie oben bemerkt worden ist, nicht in Be- tracht — hat man den Mittelwert des Ausdrucks \n{n — 1) / n^{n—ly n(n— 1) ' zu bilden; dieser Mittelwert reduziert sich, da H 7\ den ' ' n{n — 1) Durchschnittswert -9" hat, auf und hängt von der Bestimmung von Jlf([|d|]^) ab. Aus dem Schema (6), Art. 74, der d ergibt sich, dass das Quadrat ihrer Summe dreierlei Glieder umfasst und zwar: *) Die Ausführung dieses Ausdruckes, nämlich die Berechnung von [\d\] kann man sich nach einer Bemerkung Andrae's (l. c, Bd. 79, Nr. 1889) wesentlich erleichtern. In dem Schema (3), wo sämtliche Differenzen als positiv vorausgesetzt werden, ergibt die erste Kolonne mit der letzten Zeile (w — 1)(Z^ — l^); von den übrig bleibenden Differenzen reduzieren sich vdeder jene der ersten Kolonne und der letzten Zeile auf (n — 3)(Z^_j^ — Zj), u. s. f., so dass man erhält wobei das letzte Glied l —l oder 2 /Z . —l 2 ^ 2 ("4^ =f-0' je nachdem n eine gerade oder ungerade Zahl ist; im ersten Falle ist die Anzahl der aus den Beobachtungen zu bildenden Differenzen — , .. n — 1 im zweiten — — — • **) Helmert, Astron Nachr, Bd. 88, Nr. 2096-97. - 179 - Quadrate ütid Produkte unabhängiger und Produkte abhängiger Differenzen^ so dass [\d\f = [(«,-«*)»] + [|(«, - e,) («,. - e,.)\] + [\(e> - e,) (£.• - b,)\]. In jeder der drei Summen hat jedes Glied denselben Mittel- wert; diese drei Mittelwerte mögen der Reihe nach mit M^y Jüfg, iWj bezeichnet werden. Die erste Summe umfasst -^— r — - Glieder; in der zweiten ist jedes «,• — sjt mit den ^ ~ übrigen £,' — €k' yer- bunden, die Anzahl ihrer Glieder daher -^ ^^-7 — - ; im dritten Gliede endlich ist jedes £,• — Sk zunächst mit den n — 2 übrigen £,• — Sk' und ebenso mit den n — 2 übrigen Si' — Sk verbunden, die Anzahl seiner Bestandteile ist also n(n — l)(n — 2). Demnach hat man (2) Jf([W]')=^^(M. + ("-^)^(»-^^ Jf, + 2(n-2)lf3). Nun folgt aus (si — f*)^*= Si^ + ^*^ "~ 2£,«*, dass (3) Jlf, = 2^* = ji; ferner ist vermöge der Gleichung (2), Art. 73, (4) M, = Jf(|^, - SkDMQsi' - ^,^1) = 2^2 = ^ Für Jlfs endlich ergibt sich mit Hilfe des Diskontinuität» - faktors die Darstellung 00 00 00 00 — 00 — 00 — aoü Wenn man den Wert des vierfachen Integrals mit U be- zeichnet, so ist 00 CO 00 00 » QO 00 12* - 180 — hier kann die aaf £, bezügliche Integration nach den zu Ari 71 entwickelten Formeln vollzogen werden und gibt 00 womit 00 QC 00 "- - »^i ¥///■■ i -■(•.+ ^'i)?^ >^) — QO XO (•,-fO«6^ Zum Zwecke der weiteren Trennung der Integrationen setze man «.=1(1 + ^) dadurch wird 2 2 «2 = ir(S - '»?); 00 00 oo U--V~l ^njjjl (« + ■' + f? >^) 00 00 ''*/t* I ^»^ »7'^ 1 «+V .g 2^^-t-^) 4,. +; 2 ^»^ rf|(Zi2^®; die Integration in Bezug auf | liefert OD 00 V2 7r /. , 30 ^y t\ sät und wenn man aus dem komplexen Anteil der noch übrig bleibenden Funktion unter dem Integralzeichen den imaginären Teil ausscheidet, so wird (s. Art. 72) 181 — 00 00 00 00 I&y n'e ' ' dr)J € 00 1 00 1 6ä>/3« , 2 16 Ä* 2Ä* ■• 12 /t^ Führt man diesen Wert in den Ausdruck für M^ an Stelle des Integrals ein^ so findet sich (5) M3 = g + A,. Die Einsetzung der für M^^ Jüfg, M^ gefundenen Wert^ (3), (4), (5) in (2) gibt Mmf) = ^^ (4^ + (« - 2) *^^'^) , so dass auf Grund der Gleichung (1) das mittlere Fehler- quadrat der untersuchten Formel gleich wird n(n- l).ft' (^ « + 2(n - 2)>/3 - 4n + 6) . Man hat also, mit Hinzufügung des mittleren Fehlers, ^ ^ n(w — 1) ' w(n — 1) 76. Bei Beurteilung des praktischen Wertes der ver- schiedenen Formeln für /ti und -9" kommt neben der erforder- lichen Rechenarbeit die jeweilen erreichbare Sicherheit in Betracht. In ersterer Beziehung halten sich die beiden — 182 — Formeln für O*, deren eine die scheinbaren Fehler, die andere die Beobachtungsdifferenzen in Rechnung bringt, nahezu das Gleichgewicht und sind der Formel für fi, welche die Quadrate der scheinbaren Fehler erfordert, vorzuziehen. Was die rela- tive Genauigkeit der drei Formeln betrifft, so mag die fol- gende kleine Tabelle Aufschluss geben, aus welcher der mittlere Fehler von ^, O* in Bruchteilen dieser Grössen für verschiedene Werte von n zu entnehmen ist. n 1» » aus [ 1 ] & ans [ dj] 2 0,6858 . 0,7555 0,7555 3 0,4770 0,5249 0,5249 4 0,3967 0,4298 0,4247 5 0,3465 0,3725 0,3658 10 0,2338 0,2497 0,2411 20 0,1617 0,1728 0,1650 30 0,1310 0,1400 0,1333 40 0,1130 0,1208 0,1148 50 0,1010 0,1078 0,1024 60 0,0921 0,0981 0,0933 70 0,0851 0,0907 0,0862 80 0,0795 0,0849 0,0806 90 0,0750 0,0798 0,0759 100 0,0719 0,0759 0,0720 Der Tabelle liegen die Formeln (6), Art. 68, (9), Art. 72 und (6), Art. 75 zu Grunde. Sie bestätigt aufs Neue, dass der mittlere Fehler ^ die sicherste Beurteilung der Genauig- keit bietet, zeigt aber auch, dass mit zunehmendem n die Formeln für d^, insbesondere die mit [\d\] rechnende, sich in Rücksicht auf Genauigkeit der Formel für ft beständig nähern. 77, In Artikel 25 ist gezeigt worden, dass, sofern die h. Fehler einer Beobachtungsreihe das Gesetz — = e~*'** befolgen, der Fehler des arithmetischen Mittels aus n Beobachtungen der Reihe dem Gesetze —7=- g— »**«* unterworfen ist; es steht - 183 — also das Präzisionsmaass der einzelnen Beobachtung zu jenem des arithmetischen Mittels in dem Verhältnis liYn, und das umgekehrte Verhältnis weisen der mittlere, durchschnitt- liche und wahrscheinliche Fehler einer Beobachtung einer- seits und des arithmetischen Mittels andererseits auf. Beziehen sich also die Grossen ^, %•, r auf die einzelne Beobachtung, die Grössen M, @, E auf das arithmetische Mittel, so hat man die Bestimmungen yn y n yn Legt man einer einzelnen Beobachtung das Gewicht Eins bei, so kommt dem arithmetischen Mittel aus w Beobach- tiungen das Gewicht n zu. 78. Die vorgetragenen Theorien über die Genauigkeit des aus einer Beobachtungsreilie abgeleiteten Resultates gehen ^on der Voraussetzung aus, dass das Präzisionsmaass der Be- obachtungsreihe eine YöUig unbekannte Grosse sei, deren mögliche Werte alle die nämliche Wahrscheinlichkeit haben, und dass die Widersprüche zwischen den Beobachtungen, die sich in ihren gegenseitigen Differenzen oder in ihren Abweichungen vom arithmetischen Mittel äussern, das einzige Mittel zur Bestimmung von h darbieten. Man kann sich aber auch auf den entgegengesetzten Standpunkt stellen und % als eine von früher her so genau bekannte Grösse ansehen, dass das Ergebnis einiger weiteren Beobachtungen an ihrem Werte nichts zu, ändern vermag. Dies wäre der Fall, wenn ein Beobachter von genau be- kannter Qualität mit einem Instrument von erprobten Eigen- schaften und bekannter Leistungsfähigkeit Messungen an- stellte unter Verhältnissen, welche keinen Verdacht zulassen, dass andere Fehlerursachen einwirkten, als die bei diesem Beobachter und dem von ihm angewandten Instrument ge- wöhnlich thätigen. Es entsteht die Frage, ob der Grad der Übereinstimmung der Beobachtungen unter einander das Vertrauei^ beeinflussen kann, welches man dem aus ihnen abgeleiteten Resultat entgegenzubringen hat, und in welcher Weise dies geschieht. Mit der Lösung dieser Frage hat — 184 — Bertrand*) sich beschäftigt und ist zu dem Resultat ge- kommen, dass in solchem Falle der mittlere Fehler des arithmetischen Mittels von dem Grade der Übereinstimmung der Beobachtungen unabhängig ist. Es seien Z^, Z2; ••• '« ^^^ Beobachtungsergebnisse, «i, «2; ••• ^» ihre Fehler, h das bekannte Präzisionsmaass. Nimmt man das arithmetische Mittel für den wahren Wert, so ist n ~ Inj » der begangene Fehler (s. Gleichung (2), Art. 63). Er hängt mit der Summe der Fehlerquadrate und mit der Summe der Quadrate aller Beobachtungsdiflferenzen, welche mit 2J^ be- zeichnet werden möge, durch die in Art. 74 abgeleitete Gleichung (7) n n* zusammen; sind die Beobachtungen ausgeführt, so ist £^ eine bekannte Grösse und daher der Mittelwert von I — J oder das Quadrat des mittleren Fehlers im arithmetischen Mittel (2) M« = Mi?l)_4\ ^ ^ n n^ Nun ist die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen der Fehler s^^j s^^ ... €n gleich (3) (-^y e-'*' ["J ds.de^'- dsn und da Ä bekannt ist, so ist dies zugleich die Wahrscheinlich- keit, dass die Summe der Fehlerquadrate einen gegebenen Wert besitze. Es können aber nur solche Werte dieser Summe in Betracht kommen, welche mit den beobachteten Differenzen vereinbar sind. Aus den -^— r — - Differenzen der n Beobachtungen können nur n — 1 gewählt werden, welche unter einander unabhängig sind; als solche können beispielsweise *) Compt. rend., CVI, pag. 887 flg. und Calc. des Probab., art. 174. - 185 - genommen werden; wir führen sie nebst der Grösse (>, welche durch die Gleichung (5) 9« = [£«] definiert ist, als neue Variable ein und transformieren dem- gemäss den Ausdruck (3), indem wir ihn als Element eines ^-fachen Integrals ansehen. Die Determinante der neuen Variabein i^i, 1^2; • • • ^»—i; Q in Bezug auf die ursprünglichen ist 1 .•• 1 — 1 ••• 1 1 ••. 1 ... —1 1 ^1 Q «2 «3 *n-l 9 Q e Q isnl nftvftrf *- -* w?i« man ainli 1 moh 9 indem man die n — 1 ersten Zeilen, nachdem sie mit Q> Q> n— 1 9 multipliziert worden sind, zur n^^ Zeile addiert. Hiernach geht (3) über in ihr -*•' 1[^]| und wenn man |[f]| durch den aus (1) resultierenden Ausdruck ersetzt, in / fe Y j^^^ 9dnidnt'"drin-i d9 Dies also ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit den be- obachteten DiflFerenzen eine Fehlerquadratsumme vom Be- trage Q zusammentreffe. Zugleich erkennt man, dass q^ nur solcher Werte fähig ist, für welche w^^ > 2^^ oder q > — =• V n Auf Grund dieser Wahrscheinlichkeit kommt der mittlere Wert von p* gleich — 186 OD vi -Ä'(>» Q^dg YnQ^ Z'' 00 -/**(»« gdg J Yng^ — i:^ und auf Grund der Gleichung (2) ist das Quadrat des mittleren Fehlers im arithmetischen Mittel 00 /•-"• g^dg (6) M^ = V5 2^ 00 ^^2 n Sind die Beobachtungen widerspruchsfrei, so ist 2^ = und es wird oo M' = '- Ce-^'^^g^dg 00 2nh*' n i e-'^'^Ug d. h. genau so gross, wie es mit Hilfe des bekannten li a priori hätte angegeben werden müssen. Es hat demnach unter den gemachten Voraussetzungen der Umstand, dass die Beobachtungen keinen Widerspruch aufweisen, auf das Urteil über die Zuverlässigkeit des Resultates keinen Einfluss. Die übliche Regel hätte für M den Wert Null ergeben und somit die Beobachtungen für fehlerfrei erklärt. Es unterliegt keinem Zweifel, dass das für diesen extremen Fall gefundene Resultat auch für jeden andern Wert von Z,^ Geltung haben werde, und man konnte hieraus schon den Schluss ziehen, dass der in (6) enthaltene Ausdruck für M^ unabhängig sein müsse von E. Die Analyse bestätigt diesen 187 - Schluss. Führt man nämlich an Stelle von q die neue Variable u mittels der Gleichung ein, so nimmt das erste Glied der rechten Seite von (6) die Form 00 T» „ ^^+"'>(i + t.«)du 2^ 00 oo e » du w f< 1 + e « u*du 00 M* an und wird, da das Integral im Zähler den Wert jh-^^ ^h^Z^ j/n« und das Integral im Nenner den Wert ^,-^ hat, gleich ^ , 1 n' 2r» verbindet man dies mit dem zweiten Gliede , , so er- gibt sich M2 = 2«Ä^ thatsächlich unabhängig von £^ und genau so gross, wie CS a priori hätte angegeben werden müssen. Dieses Ergebnis der Analyse scheint im ersten Augen- blick den Eingebungen des gemeinen Verstandes zu wider- sprechen. Wenn die Beobachtungen unter einander voll- Isommen übereinstimmen, so ist man geneigt, dem Resultate ein höheres Vertrauen entgegenzubringen, als in dem Falle, 'WO sie Widersprüche zeigen. Und wenn diese Widersprüche beträchtlich werden, so wird, wenn man auch die Geschicklich- keit des Beobachters und die Güte seines Instrumentes kennt, der Verdacht rege, dass besondere störende Ursachen die Widersprüche hervorgerufen haben. Die Analyse aber ist unter der ausdrücklichen Voraus- setzung geführt worden, dass ein solcher Verdacht nicht be- gründet sei, dass die Beobachtungen vielmehr unter ganz normalen Verhältnissen seien durchgeführt worden. Dann \ - 188 — muss sowohl die Übereinstimmung im ersten wie das Vor- handensein von Widersprüchen im zweiten Falle lediglieh dem Zufall zugeschrieben werden. In der That ist es nicht ausgeschlossen y dass der Zufall in mehreren aufeinander folgenden Beobachtungen denselben Fehler hervorruft und es liegt auch kein Grund fär die Annahme vor^ dass dieser Fehler klein sein müsste. In einem solchen Falle geht zu- gleich der Vorteil des arithmetischen Mittels verloren, welcher in der gegenseitigen Ausgleichung entgegengesetzter Fehler begründet ist. § 9. Vergleiohung des Fehlergesetzes mit der Erfahrrmg. 79. Eine wesentliche Stütze des Gauss' sehen Fehler- gesetzes bildet die Übereinstimmung, welche zwischen seinen Folgerungen und den Ergebnissen wirklich ausgeführter Be- obachtungen besteht. Sie hat dem Gesetze trotz der Be- denken, welche gegen die verschiedenen Begründungen vom theoretischen Standpunkte erhoben werden können, allgemeine Annahme von Seite der Beobachter eingebracht Der Mittel und Wege, solche Vergleiche zwischen Theorie und Erfahrung anzustellen, bietet sich eine grosse Zahl. Wir beginnen mit dem am häufigsten benützten Vorgange. Es seien £,, ^g? • • • ^n die wahren Fehler von n aus- geführten, gleich guten Beobachtungen. Dieselben werden zum Teil positiv, zum Teil negativ sein und die wahrschein- lichste Verteilung, welche a priori zu erwarten wäre, bestünde darin, dass beiderlei Fehler in gleicher — bei einem ge- raden n — oder in möglichst gleicher Anzahl — bei einem ungeraden n — auftreten. Die Wahrscheinlichkeit einer zwischen den Grenzen — a und + a liegenden Abweichung einer der beiden Anzahlen von ihrem wahrscheinlichsten Werte ist nach dem Bernoulli' sehen Theorem für ein hin- länglich grosses n dargestellt durch V ' n - 189 — die wahrscheinliche Grenze dieser Abweichung ist somit a= 4=1/^ = 0,3372... l/w, so dass man bei n Beobachtungen Eins gegen Eins wetten darf, die Anzahl der positiven (und die der negativen) Fehler werde nicht ausserhalb der Grenzen n — - + 0,3372 Yn fallen, werde also beispielsweise bei 100 Beobachtungeji zwischen 46 und 54 eingeschlossen sein. Denkt man sich ferner die Fehler ohne Rücksicht auf das Vorzeichen in steigender Grösse geordnet und durch die Zahlwerte 0, «', a", . . . a^^^ = oo in Gruppen abgeteilt, so mögen diese Gruppen der Reihe nach n\ n\ . . . w^*") Fehler umfassen. Ist das Präzisionsmaass h der Beobachtungsreihe bekannt, so hat man a priori unter n Fehlern solche zu erwarten, deren Absolutwert zwischen und a^^^ gelegen ist, somit w(*) = w{0(Äa(*)) — 0(Äa(*-i))} Fehler, welche in die h^ Gruppe fallen. Führt man diese Rechnung für alle Gruppen durch, so gibt die Vergleichung der a priori zu erwartenden mit den wirklich beobachteten Anzahlen eine durchgreifende Prüfung der ganzen Fehlerreihe. Kennt man an Stelle von h eine der Grössen ^, O", r, so tritt an die Stelle von ®(ha^^^) beziehungsweise die entsprechenden Grenzen. Nun ergaben die Messungen, verglichen mit einem vorher bestimmten Näherungswert des Winkels, folgende Abweichuugen und in nachstehender Anzahl: Abweichung: -5—4-3-2—1 1 2 3 4 5 6 7 8 Beobachtete Anzahl: 4 16 26 53 103 247 343 294 208 85 26 22 11 6 Zu den hieraus berechneten Werten von — wurden n nach der obigen Formel die Grenzen ?« bestimmt, sodaun die unteren sowohl als die oberen Grenzen der Wahr- scheinlichkeit lg und (- ?, graphisch aufgetragen und zwischen die so erhaltenen Punkte eine Kurve mit möglichster Einhaltung der Symmetrie gegen die Ordinate im arithmetischen Mittel aus sämtlichen Fehlern, d. i. 1,33, und von möglichst regelmässigem Verlauf eingelegt. Das Ergebnis dieser graphischen Ausgleichung, bezogen auf jenes arithmetische Mittel als Nullpunkt, wurde mit dem Gauss- schen Gesetz verglichen, welchem zufolge die Wahrscheinlich- keit eines Fehlers zwischen den Grenzen € — und £ -| gegeben ist durch da die Erfahrung für € = die Wahrscheinlichkeit 0,241 ergab, so war h aus der Gleichung @(|-) = 0,241 - 199 - zu rechnen und es fand sich h = 0,434. Das Resultat ist nun folgendes: Wahrscheinlichkeit. Fehler. Beob. Theorie. unterschied. 0,241 0,241 0,000 + 1 0,189 0,201 + 0,012 + 2 0,090 0,116 + 0,026 + 3 0,045 0,046 + 0,001 + 4 0,019 0,013 0,006 Wenn Laurent aus der auffällig grossen Abweichung 0,026 bei dem Fehler 2 Anlass nimmt, die Genauigkeit des Gau SS 'sehen Gesetzes in Zweifel zu ziehen, so ist dies weder durch die Art der Messungen noch durch den zur Gewinnung der Resultate eingeschlagenen Weg gerechtfertigt. Diese Abweichung sollte eher ein Anlass gewesen sein, ihre Ursache in den Beobachtungen zu suchen. 84. Man kann aus dem Gauss' sehen Gesetze die mannig- fachsten Konsequenzen in BetreflF der Beobachtungsfehler und ihrer verschiedenen Kombinationen ziehen und, indem man dieselben mit der Erfahrung vergleicht, weitere Bestätigungen jenes Gesetzes gewinnen. Einige Beispiele dieser Art mögen noch angeführt werden. Wenn man die Absolutwerte der Fehler einer Beobach- tungsreihe in willkürlicher Weise paart, so ist der Durch- schnittswert der grösseren Fehler in den Paaren gleich dem allgemeinen Durchschnittsfehler multipliziert mit y2. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fehler im Betrage |£| mit einem kleineren Fehler sich verbinde^ ist Vit J Vit demnach ist der Durchschnittswert von |£| 00 e J Vn J Vn Durch partielle Integration, indem man — 200 — ü setzt, ergibt sich leicht, dass der Wert dieses Ausdrucks gleichkommt QO CO O l.i »4 1 jo ; und da der erste Teil an beiden Grenzen verschwindet, so wird dies, wie behauptet worden, gleich Ausser diesem hat Bertrand*) noch einen elementaren Beweis gegeben, der einer Berichtigung bedarf. Sind l^, \ zwei Beobachtungen^ a^y a^ ihre Fehler, so kann ^ "t * wie eine Beobachtung mit. dem Fehler ^"T ^' und vom Prä- zisionsmaass %y2 angesehen werden^ wenn h das Präzisions- maass der einfachen Beobachtung ist. Demzufolge ist — ;= der durchschnittliche Wert von ^^"T^' den Absolutwert des grosseren, K den Absolutwert des kleineren von den beiden Fehlern «j, a^y so ist entweder Bezeichnet aber Q «i + «s C -4- JC oder «i + «s 9. 7 2 jenachdem £^ und £2 gleich oder ungleich bezeichnet sind; jede dieser Annahmen hat die Wahrscheinlichkeit — , mit- hin ist t/2 woraus sich unmittelbar ergibt M{Gf) = -^--= wie oben. 'T ) notwendig gleich sein müsse dem allgemeinen Durchschnitt — -=, so folgt^ dass Äy TT der durchschnittliche Wert der kleineren Fehler *) Calc. des Probab,, art. 166—167. — 201 — dass sich somit M(G) zu M{K), oder was dasselbe ist, die Summe der absoluten Werte der grösseren zur entsprechen- den Summe der kleineren Fehler verhalte wie (l + "/2) : 1 . Dieses Verhältnis ist in der Tbat durch die Erfahrung bestätigt worden. So erhielt Delaunay*) aus 33 Reihen von Schiessversuchen für dasselbe den Wert 2,41. Bertrand**) teilt die Ergebnisse von vier Beobachtungsreihen mit, welche im internationalen Bureau für Maasse und Gewichte aus- geführt worden sind, und von einer Reihe Bradley' scher Beobachtungen. Es ergab die erste Reihe (von 58 Beob.' „ zweite „ ( „ 90 „ dritte „ ( „ 54 „ vierte „ ( „ 77 „ fünfte „ ( „ 100 7) 2,28 2,33 2,40 2,49 2,47 Mittel 2,39 Man kann ebenso nach dem mittleren Quadrate des grosseren von den beiden Fehlem eines Paares fragen und findet, dass er dem allgemeinen Durchschnitt der Fehler- 2 quadrate multipliziert mit 1 -j gleichkommt. Denn es ist das mittlere Quadrat des grosseren Fehlers ausgedrückt durch 00 c J V^ J Vit integriert man partiell in der Weise, dass man ■J Yn Yn setzt, so kommt man zu dem Resultate *) Compt. rend., CVI, pag. 615. *♦) ibid., CV, pag. 1043. — 202 — OD £ OO hier hat der erste Teil den Wert*) 00 i\J^"''\'-W' der zweite Teil den Wert —r-^x mithin ist das mittler Quadrat des grösseren Fehlers thatsächlich gleich fi.('+i)=<-'(i+i)- Vier mit den 40 Fehlerquadraten der Beobachtungsreihe des Artikels 82 ausgeführte derartige Versuche ergaben mir für das Verhältnis die Werte 1,523, 1,564, 1,671, 1,722, deren Durchschnitt 1,620 mit dem theoretischen Werte 1 -| — = 1,636 • • • gut übereinstimmt. § 10. Der kleinste und der grösste Fehler einer Beobaohtungsreihe. 85. Denkt man sich die Fehler einer Beobachtungsreihe ohne Rücksicht auf das Vorzeichen in steigender Grösse ge- ordnet, so bietet sich die zunächst vom theoretischen, aber auch vom praktischen Standpunkte interessante Frage dar nach dem mutmaasslichen Werte des kleinsten und des grössten unter ihnen. Die einfache Überlegung führt zunächst zu der Er- kenntnis, dass fliese Werte von dem Grade der Genauigkeit, aber auch von dem Umfang der Beobachtungsreihe abhängen werden. Je mehr Beobachtungen man ausführt, desto näher *) Man beachte, dass e ^^^' de das Diflferential ist von i e '***'df. Ü - 203 - wird einerseits der kleinste Fehler an die Null heranrücken, desto weiter wird andererseits der grösste Fehler sich von ihr entfernen: das Intervall der Fehler wird sich nach beiden Seiten hin ausdehnen. Der wahrscheinliche Wert des kleinsten Fehlers lässt sich unter Voraussetzung einer grossen Anzahl von Beobach- tungen näherungs weise leicht bestimmen*); schwieriger ge- staltet sich die Frage nach dem Maximalfehler. 86. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer bestimmten unter n Beobachtungen ein Fehler vom absoluten Betrage 6 an- hafte und dass dieser unter allen der kleinste sei, kommt gleich V« l VnJ J folglich stellt sich die Wahrscheinlichkeit, dass s der Absolut- wert des kleinsten unter den n Beobachtungsfehlern über- haupt sei, unter die Form n{l -0(£)}«-i(Z{0(£)}, wenn zur Abkürzung gesetzt wird. Hiernach ist der wahrscheinliche Wert des kleinsten Fehlers 00 l'n€{l —0(£)}'*-it? {©(£)}; partielle Integration gibt 00 — j«(l -'e(a)yr+ ni — @{a)]^de und dies reduziert sich auf den zweiten Teil *) Bertrand, Calc. des Probab., art. 167—169, und Gompt. rend., CVI, pag. 786 flg. - 204 - 00 (1) J'{l-@(s)]''de, weil der erste Teil an beiden Grenzen verschwindet*). Wenn s klein ist, so unterscheidet sich ©(s) nur wenig von he**)y während für grössere Werte von s der Ausdruck {1 — ©(f)}" so klein wird, dass er von da an nur sehr wenig zu dem Werte des Integrals beiträgt; man kann also an die Stelle des Integrationsgebietes bis oo ein endliches bis X setzen, wo x einen beliebigen endlichen Wert be- zeichnet, und hat dann statt (1) näherungsweise Wird n als gross vorausgesetzt, so kann x immer so ge- wählt werden, dass (1 — Äx)'*+^ neben der Einheit ver- schwindet, so dass der wahrscheinliche Wert des kleinsten Fehlers näherungsweise gleichkommt (^) (n + l)h oder durch den mittleren Fehler einer Beobachtung ausgedrückt Durch dasselbe Näherungsverfahren kann auch der wahr- scheinliche Wert des zweitkleinsten Fehlers ermittelt werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweitkleinste unter n Be- *) Um dies für die obere Grenze zu erkennen, beachte man, dass 00 c 00 ^f*} ) Denn 0(f) = -^ / ß-'^dt = Ä€ (-4i e"*''^*V wo 0-'(ir+3(ir-(ir). welche genau M=3fi gibt. Vergleichungen dieser beiden Formeln mit der Erfahrung, wie sie von Jordan angestellt wurden, gaben zwar eine im allgemeinen genügende Dber- einstimmung, werden jedoch von dem Exponentialgesetz hierin entschieden übertroffen. Jordan zog nun den Schluss, dass man 3ft als Maximalfehler schlechtweg festsetzen könne*). unsere Tabelle zeigt, dass diese Angabe für Fehlerreihen von etwa 400 Beobachtungen zutrifft. Dass dieser Weg zur Lösung der obschwebenden Frage vom theoretischen Standpunkte nicht geeignet ist, hat Helmert**) hervorgehoben, indem er zeigte, dass jene algebraischen Funktionen „nur Glieder in einer Reihe von Näherungs- formeln sind, die sich dem Gauss'schen Gesetze mehr und mehr anschliessen, aber den Maximalfehler gleich einem immer grösseren Vielfachen des mittleren Fehlers ergeben*'. Er hat auch den richtigen Standpunkt gekennzeichnet, dass die Frage des Maximalfehlers nur mit Rücksicht auf die Anzahl der Beobachtungen behandelt werden dürfe. 89. Schwieriger gestaltet sich die Frage nach dem Maximalfehler einer einzelnen Beobachtung. Zu einer theo- retisch begründeten Festsetzung desselben bietet das Fehler- gesetz keinen Anhalt, so dass es hier ohne Willkür nicht abgeht. Die obige Tabelle zeigt, dass etwa unter 400 Beobach- tungen eine vorkommt, welche den Fehler 3ft aufweist; wird also aus 400 derlei Beobachtungen eine willkürlich heraus- gegriffen, so ist — - die Wahrscheinlichkeit, dass ihr der Fehler 3ft anhafte. Erachtet man eine numerische Wahr- scheinlichkeit im Betrage von .-- für genügend klein, um *) Der Betrag Sfi ist als grösster im arithmetischeii Mittel zu befürchtender Fehler bezeichnet worden von Fourier mit der Be- gründung, dass man mehr als 50 000 gegen 1 wetten könne, er werde nicht überschritten. Bull, des scienc. math^m., II, pag. 88 flg. **) 1. c. pag. 131 flg. — 211 — das Eintreffen des Ereignisses, welchem sie zukommt, als an der Grenze des Gewöhnlichen zu erklären, so kann man — und dies thut Helmert — 3ft als den Maximalfehler einer Beobachtung ansehen. Aber es liegt ein wesentlicher Unter- schied zwischen dieser Auffassung und der früheren: wenn eine Reihe von 400 Beobachtungen ausgeführt worden ist, so hat man unter normalen Verhältnissen zu erwarten, dass in der steigend geordneten Fehlerreihe der grösste Fehler etwa 3fi sein werde; ist dagegen nur eine Beobachtung ge- macht worden, so wird ihr Fehler nur bei dem Zusammen- treffen sehr ungünstiger, wenn auch nicht ungewöhnlicher, Umstände den Betrag 3ft erreichen. § 11. Anssoheidnng widersprechender Beobaohtungen. 90. Mit der Frage des Maximalfehlers hängt die weit schwierigere der Ausscheidung widersprechender oder zweifel- liafter Beobachtungen zusammen. Wenn ein Beobachter eine Reihe von Messungen, die er ausgeführt, für gleichmässig gut erklärt, so drückt er damit nur aus, dass er sich während der Beobachtungen keines Umstandes bewusst geworden ist, welcher ihn veranlassen könnte eine Beobachtung der andern vorzuziehen; der objektive Sachverhalt aber wird diesem subjektiven Dafürhalten nie ganz entsprechen. Es werden bei einzelnen Beobachtungen Ursachen zur Wirkung kommen, welche verschieden sind von denjenigen, denen die Entstehung der Beobachtungsfehler im allgemeinen bei dem betreffenden Vorgange zugeschrieben wird. In der That zeigt fast jede grössere Beobachtungsreihe einzelne Resultate, welche durch ihre auffällige Abweichung von den andern den gegründeten Verdacht erwecken, dass sie unter aussergewöhnlichen Verhältnissen zu Stande gekommen sind. In manchen Fällen wird dies mit einer an Gewissheit streifen- den Wahrscheinlichkeit angenommen werden dürfen. Alle Versuche jedoch, ein allgemein giltiges, auf wahrscheinlichkeits- theoretischen Grundlagen ruhendes Merkmal dafür anzugeben, ob eine Beobachtung von störenden Fehlerursachen beeinflusst war und daher auszuschliessen ist, sind bisher ohne befrie- digendes Resultat geblieben. 14* — 212 — Aber auch diejenigen Fehlerursachen, welche als die gewöhnlich wirkenden anzusehen sind, werden es in der Regel nicht beständig in gleichem Grade sein^ so dass auch von diesem Gesichtspunkte nicht alle Beobachtungen dasselbe Vertrauen verdienen. Es wird nicht ohne Nutzen und Interesse sein, einige der auf Verschärfung der Resultate durch Ausscheidung zweifelhafter Beobachtungen gerichteten Versuche kennen zu lernen und in ihren theoretischen Grundlagen zu verfolgen. 91. Es unterliegt keinem Zweifel, dass die Ausscheidung solcher Beobachtungen, deren Abweichung vom arithmetischen Mittel dem absoluten Betrage nach eine gewisse Grenze über- schreitet und die vermutlich oder sogar höchst wahrschein- lich minder gut sind, die Genauigkeit des Resultates erhöhen müsste, und zwar in um so höherem Grade, je enger man jene Grenze zöge. Eine von Bertrand*) ausgeführte Unter- suchung bestätigt dies und gestattet den Grad der Ver- schärfung zu schätzen. Eine Grösse ist n mal gemessen worden; man hat aus den Beobachtungsergebnissen 2^, ^2? -•• ^n das arithmetische Mittel Xy aus ihren Abweichungen A^, A2, . . . A„ von x das Präzisionsmaass h und den mittleren Fehler des arithmetischen Mittels, dessen Quadrat (annähernd) gleich ist *^, abgeleitet; in der Voraussetzung, dass n gross und die Beobachtungen sorgfältig ausgeführt sind, darf man erwarten, dass x nur sehr wenig sich von dem wahren Werte der gemessenen Grösse unterscheiden werde, und die X wie wahre Fehler ansehen. Die Wahrscheinlichkeit eines Betrages X kann, weil kein Grund für die Annahme störender Ursachen vor- liegt, mit angesetzt werden. Man stelle nun die Fehlergrenze ^ derart fest, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Fehler sei absolut genommen kleiner als ST, einem bestimmten, willkürlich festgesetzten Werte p *) Calc. des Probab., art. 166 und Compt. rend., CYI, pag. 701 flg. - 213 - gleichkommt — df ergibt sich dann durch Auflösung der Gleichung (1) @(mh) = 4- fe-^dt ==i) — und unterdrücke alle Beobachtungen, deren Fehler ST übersteigt*). Die Anzahl m der übrig bleibenden Beobach- tungen Z/, V> • • • ^m wird dem B er noulli' sehen Satze zu- folge nur wenig von np verschieden sein^ und wir setzen im Folgenden geradezu m = np. Mit diesen Beobachtungen möge nun ebenso verfahren werden wie mit den ursprünglichen; man bestimmt ihr arith- metisches Mittel fl?', bildet ihre Abweichungen A' von diesem und benützt sie zur Bestimmung des mittleren Fehlers von x\ dessen Quadrat gleichkommt - — ^• Hätte man alle Beobachtungen beibehalten, so wäre ^j-^ das Quadrat des mittleren Fehlers einer Beobachtung und somit das Quadrat des mittleren Fehlers von x. Hat man jedoch nur die m ausgewählten Beobachtungen herangezogen, so ist das Quadrat des mittleren Fehlers einer Beobachtung dargestellt durch a 2h pV *) Man denke sich, sagt Bertrand, eine Person von seltener Gescliicklichkeit, welche ohne selbst zu beobachten alle Vorgänge der Messong aufmerksam überwacht und, auf das genaueste vertraut mit der Beobachtungsmethode, den ünvollkommenheiten des Instruments und den Schwächen des Beobachters, ihr Urteil über jede einzelne Beobachtung mit dem einzigen Worte „gut** oder „schlecht** aus- drückt. Es ist klar, dass die Unterdrückung der als schlecht be- zeichneten Beobachtungen die Zuverlässigkeit der Besultate um so mehr erhöhen wird, je mehr Beobachtungen beseitigt worden sind, oder besser gesagt, je rigoroser die überwachende Person zu Werke ging. — 214 — denn die Anzahl der einem Fehler zwischen X und X -^ dX günstigen Fälle ist dieselbe geblieben, dagegen die Anzahl der möglichen Fälle durch die Auswahl mit p multipliziert worden; darum erscheint jp im Nenner. Durch faktoren weise Integration erhält man 2h ' ^ und dies gibt mit Rücksicht auf (1) ± (h __ 2/Kge-^ 'Q'\ 2Ä*V py-n / Durch Division mit m = np erhält man hieraus das Quadrat des mittleren Fehlers in x\ und dasselbe kann, wenn man für p den aus (1) ersichtlichen Ausdruck einsetzt, in der Form (3) 2nh' S{mh) — - e y n •A'^ffiM geschrieben werden. Die Vergleichung von (2) mit (3) zeigt nun, dass der mittlere Fehler in x' kleiner ist als der in o;, so lange der eingeklammerte Ausdruck in (3) ein echter Bruch ist. Dies ist aber immer der Fall; denn jener Ausdruck, welcher mit mh= t y « lautet, verschwindet für ^ = 0, wächst mit t beständig und nähert sich der Grenze 1, wenn t unendlich wird. Einige Werte genügen, um seinen Verlauf anzudeuten. i= 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Warb des Ausdrucks =0,091 0,133 0,198 0,246 0,293 0,339 0,379 0,416 Es darf nicht übersehen werden, dass die Anwendung der Formel voraussetzen würde, dass n und np grosse Zahlen seien, weil nur dann zu erwarten ist, dass die DiflFerenz m — np klein sein werde. - 215 - Die untere Grenze W für die Fehler der auszuscheiden- den Beobachtungen wäre hier dem Ermessen des Beobachters anheimgegeben; zur Ausschliessung würde er aber gewiss nur dann schreiten, wenn innere Gründe mit grosser Wahrscheinlich- keit für die Minderwertigkeit der zweifelhaften Beobachtungen sich zeigten. 92. B. Peirce*) hat die Grenze S? durch wahrschein- lichkeitstheoretische Betrachtungen festzustellen versucht und ein Kriterium aufgestellt, mittels dessen darüber entschieden werden soll, ob eine zweifelhafte Beobachtung der Wirkung störender Ursachen zuzuschreiben und daher auszuscheiden ist oder nicht. Seine Schlüsse sind im Wesentlichen die folgenden. Für eine Reihe von n Beobachtungen ist die Fehler- grenze W der auszuscheidenden Beobachtungen zu bestimmen, vorausgesetzt dass es solcher Beobachtungen gerade v gebe. Das Prinzip zur Lösung dieses Problems soll darin be- stehen, dass die zweifelhaften Beobachtungen dann aus- geschlossen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit des Fehler- systems, welches sich ergibt, wenn man sie beibehält, kleiner ist als die Wahrscheinlichkeit des Fehlersystems, welches aus ihrer Verwerfung hervorgeht, multipliziert mit der Wahr- scheinlichkeit, gerade so viele und nicht mehr abnormale Seobachtungen zu machen. Es seien also, in Ausführung dieses Gedankens, liyl^y*" In die Beobachtungen, n an der Zahl, v die Anzahl der zur Ausscheidung proponierten, daher m=n — v die Anzahl der im Talle der erfolgten Ausscheidung zurückbleibenden; A^, Ag, ... A„ das System der Fehler, wenn keine Beobachtung ausgeschlossen wird, Aj', A2', . . . Aot das Fehlersystem im Falle der Ausschei- dung; fi der mittlere Fehler einer Beobachtung im ersten, — iL fi' im zweiten Falle; 9?(A) = — 7-^ e ^^"^ das Gesetz der __ ^ Fehler im ersten, 9)'(A) = — — e ^'"'* das analoge Gesetz *) G ul d's Astronomical Journal, IJ, Nr. 45. Vgl. auch Chauvenet, Manual of spheric. and pract. Astronomy, IL, pag. 558 flg. — 216 - im zweiten Falle; — = x das Verhältnis der Fehlergrenze zum mittleren Fehler; endlich y die als unbekannt anzusehende Wahrscheinlichkeit, dass solch eine zweifelhafte Beobachtung , auf Rechnung ihrer Grösse ausgeschieden werde, y'=l— y die Wahrscheinlichkeit, dass sie nicht von abnormalem Cha- rakter sei, welcher ihre Ausscheidung begründen würde. Die Wahrscheinlichkeit, der numerische Wert des Fehlers einer Beobachtung überschreite die Grenze Wi, ist oo SS oder wenn man ^ = <« setzt, 00 (1) ^(x) = ^JV'-^<=l-0(^). X Zur Aufstellung der Wahrscheinlichkeit des ersten Fehler- systems bemerkt Peirce, dass sie mit Berücksichtigung der Bedingung, dass v Beobachtungen die Fehlergrenze x^i über- schreiten, und daher so geschehen müsse, dass diese Be- obachtungen, weil sie im zweiten System ausgeschieden sind, nicht nach ihrem wirklichen Betrage, sondern nur insoweit sie die Grenze x^i überschreiten, in Rechnung kommen. Hiemach sei diese Wahrscheinlichkeit (proportional) und dies kann vermöge [XX] = (n — l)f*^ auf die Form (2) P= ^(Hr^^^-^(n-l-vx>) gebracht werden. Das Produkt der Wahrscheinlichkeit des zweiten Fehl Systems mit der Wahrscheinlichkeit, dass gerade v Beoba tungen ausgeschieden werden, ist (proportional) V 'in L^ ^ J y y oder wegen [k' X'] «= (w — l)f*'^ (3) P'=-ivi_r^^"-^ Zur Ausscheidung der v proponierten Beobachtungen ist man dem aufgestellten Prinzip zufolge berechtigt, wenn d. i. wenn (4) (ffe^'"'-''i,{^y • • • proportional den Grössen jPi, i?2> • • •; ^^^ man hat als zweite Näherung für den Wert der beobachteten Grösse (s. Art. 23 und 49) X = i r Daraus, dass die Wahrscheinlichkeit, es sei x' der wahre Wert der beobachteten Grösse, nunmehr proportional ist ergeben sich durch Anwendung ähnlicher Schlüsse neue Ge- "wichte i>i',jP2', • • • der Beobachtungen, mit deren Benützung ein neuer Näherungswert x' der Unbekannten zu rechnen ist, und dieser Prozess ist so lange fortzusetzen, bis die Gleichungen jp^^^+^J =1>/'*^ 2>2^""^^^ ^ä^'*^ • • • ^^^ genug er- füllt sind {pxfPx', ••• können jeweilen als Einheit der Ge- \7ichte angenommen werden). Dann sind die wahrschein- lichsten Gewichte der Beobachtungen und der wahrscheinlichste Wert der beobachteten Grösse mit zureichender Schärfe be- stimmt*). *) Ein Verfahren, welches an das hier vorgeführte erinnert, ist schon 1821 von Syanberg angegeben worden: Dissertation snr la recherche du milieu le plus probable entre les r^sultats de plusieurs observations ou expäriences, Gergonne Ann. de Math^m., ü, pag. 181 flg. Als Gewichte der Beobachtungen werden die reciproken Werte ihrer Abweichungen von dem vorangehenden Mittelwert oder deren Quadrate benutzt 16* — 228 - Die einzige Annahme^ die dabei gemacht worden ist, besteht darin, dass irgend ein Fehler einem* Gesetz von der Form -=6r-**«* folge. Y n Die Berechnung von i?i,i>2;«?-> ^^^ Data für die zweite Näherung und ebenso für jede folgende lässt sich verein- fachen. Da nämlich a? = ~ , so ist {x—lj + (^ - ?2)' + ••• + (^ - ^nf = — na? + [«] und daher setzt man irgend einen andern Wert z an die Stelle von x^ so wird (^ - \y + (^ - y' H 1- (^ - lny = n^ - 2nxz + [11], somit El a— g— 2nÄ»(a:— «)» Px ' SO dass sich, wenn p^ als Einheit gewählt vnrd, für z=\, l^,.,. ergibt oder auch, wenn man an Stelle von h den mittleren Fehler ^ einer Beobachtung und für x — l^, x — I27 '" ^^® gebräuch- lichen Zeichen einführt, <= p. Vi«'. «„ = fi Vi"/. ... i>i = e ^^s i?2 = « Je grosser also der scheinbare Fehler einer Beobachtung, desto tiefer wird ihr Gewicht und somit ihr Einfluss auf die Bestimmung des zweiten Näherungswertes herabgedrückt. Ferner ist wegen x' = 4^ und daher setzt man an Stelle von x' einen andern Wert und be- merkt, dass '^\p]e'-2[p]gx+[pm, — 229 - so findet man Px' und wenn wieder Px' als Einheit gewählt wird, 97. Wenn auch bei Befolgung dieser Methode theoretisch alle Beobachtungen zur Bildung der aufeinander folgenden Näherungswerte x^ x\ , . . verwendet werden, so ist die praktische Ausführung doch mit der Ausscheidung derjenigen Beobachtungen, welche von dem einfachen arithmetischen Mittel beträchtlich abweichen, gleichbedeutend, indem sich für diese Beobachtungen so kleine Gewichte ergeben, dass sie so gut wie einflusslos werden. Dies zeigt schon folgende Überlegung. Der scheinbare Fehler der dem arithmetischen Mittel zunächstliegenden Beobachtung kann (s. Art. 86) an- nähernd gleich ^^^ gesetzt werden; ihr Gewicht für die Ab- leitung von x' wird hiernach näherungsweise — iL p =e ~ und daher, wenn n eine (massig) grosse Zahl ist, der Ein- heit nahe sein. Die Abweichung X der vom arithmetischen Mittel am weitesten abliegenden Beobachtung dagegen ist ocfty WO X eine mit n wachsende Zahl bedeutet, ihr Gewicht p = e-«x» Selbst für ein massig grosses n von Null kaum zu unter- Bcheiden. Um dies besser ersichtlich zu machen, möge das Ver- fahren — wenigstens in seinem ersten Schritt — auf die Beobachtungsreihe des Art. 82 angewandt werden. Bestimmt man mit Hilfe von x = 3,93 die Gewichte der einzelnen Beobachtungen und legt die Rechnung auf vier Bezimalen an^ alle Beobachtungen bei Seite lassend, deren Gewicht kleiner wird als eine Einheit der fünften Dezimal- stelle, so bleiben blos 12 von den 40 Beobachtungen übrig and zwar die folgenden mit den angesetzten Gewichten: — 230 - l p 3,68 0,0496 3,76 . 0,2486 3,78 0,3383 3,78 0,3383 3,91 0,9802 3,95 0,9802 3,98 0,8870 4,08 0,3383 4,10 0,2486 4,15 0,0975 4,18 0,0496 4,21 0,0230 Von dieser Reihe an nehmen die Gewichte nach beiden Seiten hin sehr rasch ab. Das aus der reduzierten Reihe resultierende arithmetische Mittel «'=3,89 scheint allerdings der Wahrheit besser zu entsprechen als X = 3,93. Ordnet man nämlich die 40 Beobachtungen, die grösste neben die kleinste, die zweitgrosste neben die zweit- kleinste stellend u. s. f., und nimmt aus jedem Paare das arithmetische Mittel, so ergibt sich folgende Zasammen- stellung*): Mittel. 6,35 2,28 4,315 5,48 2,48 3,98 5,23 2,64 3,935 5,21 2,66 3,935 5,08 2,75 3,915 4,84 2,81 3,825 4,76 2,95 3,855 4,65 2,98 3,815 4,59 3,11 3,85 4,51 3,22 3,865 4,49 3,26 3,875 *) Vgl. Faye, Compt. rend., CVI, pag. 783 flg. — 231 — Mittel. 4,45 3,27 3,86 4,43 3,28 3,855 4,43 3,43 3,93 4,21 3,68 3,945 4,18 3,76 3,97 4,15 3,78 3,965 4,10 3,78 3,94 4,08 3,91 3,995 3,98 3,95 3,965 Die Ziffer 3 der Einer ist jedenfalls sicher bestimmt, sie ist allen Partialmitteln bis auf eines gemeinschaftlich; die Stelle der Zehntel liegt augenscheinlich zwischen 8 und 9, jedenfalls näher an 9, so dass der Wert 3,89 mehr Vertrauen erweckt als 3,93, welches zu gross zu sein scheint Schliesst man die Beobachtung 6,35 vermöge ihrer auf- fallig grossen Abweichung von x aus (vgl. Art. 92 und Faye, 1. c), so geben die übrigen 3,87 als arithmetisches Mittel. Zweiter Teil. Die Methode der kleinsten Quadrate. § 1. Stellung der Aufgabe. 08. Eine der unmittelbaren Beobachtung zugäng- liche Grösse L sei lineare Funktion von m unbekannten Elementen Xy y, 0j ' • -. In einem gegebenen Falle sei a,a; + 6,j/ + c,-;8i + ••• ihr wahrer Wert, Z| der durch Be- obachtung gefundene Wert, Si sein wahrer unbekannter Fehler; aus der Gleichsetzung der beiden Ausdrücke 0,3? -{-6,y + c,;ef -rf- • • • und Z,- + £,• ergibt sich die Gleichung (1) Si = — Z,. + aiX + hy + Ci0 -| . Jede Beobachtung führt zu einer solchen Fehler gl ei- chung, in welcher die Koeffizienten a,-, 6,-, c,-, . . . bekannt sind, eventuell a priori, d. i. vor Ausführung der Beobach- tung angegeben werden können. Sind n Beobachtungen Z^, Zg; • • • ^n gegeben, so führen sie zu einem System von n Fehlergleichungen, als deren Typus die obige Gleichung (1) gelten kann; man hat darin der Reihe nach i = 1, 2, • • • n zu setzen. 99. Auf diesen Typus kann aber auch der Fall, wenigstens näherungsweise, zurückgeführt werden, wo die der Beobach- tung unterworfene Grösse L keine lineare Funktion der Elemente ist. Sind nämlich Näherungswerte der letzteren bekannt und beziehungsweise x, y^ z^ • , . die an diesen Näherungswerten anzubringenden Korrektionen, so wird, wenn der in einem gegebenen Falle mit den Näherungs- werten gerechnete Wert von L gleich U^ ist, der wahre Wert mit um so grösserer Annäherung durch einen Aus- - 233 — druck von der Form L^*^ + a,a; + hy + c welche die linken Seiten der Fehlergleichungen ausmachen, bestimmte Werte beilegt. Sie wird zu einer bestimmten Aufgabe der Algebra, wenn m = n und wenn den Fehlern e^ , ^g , . . . « n bestimmte Werte erteilt werden, z. B. durchweg der Wert Null, was so viel ausdrückt, als dass die Beobachtungen als fehlerfrei angesehen werden. Wenn aber m kleiner als n ist, so ist die Aufgabe öberbestimmt, wenn den Fehlern ^i, ^2? • •• ^» bestimmte Werte beigelegt werden. Sie ist aber völlig unbestimmt, wenn man die Fehler, was sie auch in der That sind, als unbekannt auffasst. In rein mathematischer Formulierung lautet die Auf- gabe, welche in dem letztgedachten Falle vorliegt, folgender- maassen: Zwischen m unbekannten Elementen x, y, z, . . und den bekannten Grössen Z,-, a,-, 6,-, c», ... (i= 1, 2...w) bestehen n{>m) lineare Gleichungen £j = — Zf + üiX + hy + CiZ + • • • ; die linke Seite einer jeden solchen Gleichung, «,-, ist - 234 - zwar unbekannt, aber nicht aller Werte mit dem- selben Grade der Wahrscheinlichkeit fähig. Man soll ein Wertsystem der Si bestimmen, welches das System der Gleichungen zu einem widerspruchs- losen macht und die vorteilhaftesten Werte der Ele- mente Xy ify Zj . , . zur Folge hat. Diese Formulierung der Aufgabe zeigt, dass ihre Lösung die Aufstellung eines Prinzips darüber erfordert, welche Werte der Elemente man als die vorteilhaftesten aufzufassen habe. Das gefundene Wertsystem der £/ wird, wenn nicht ein ausserordentlicher Zufall es anders fügt, von dem System der wirklich begangenen Fehler verschieden sein und soll als das System der scheinbaren Fehler bezeichnet werden (vgl. Art. 62). Ebenso wird sich das vorteilhafteste Wertsystem der Elemente von ihrem wahren Wertsystem unterscheiden. Hiermit ist die typische Form desjenigen Problems ge- kennzeichnet, welches man als Ausgleichung vermitteln- der Beobachtungen zu bezeichnen pflegt. § 2. Die Vorläufer von G-auss. 101. Die Lösung der Aufgabe ward zuerst von Legendre*) veröffentlicht. Ihr Inhalt spricht sich in dem Satze aus, dass unter allen Wertsystemen der Elemente dasjenige das vorteilhafteste sei, welches dem System der scheinbaren Fehler die kleinstmögliche Quadrat- summe verleiht. Legendre hat dem hierdurch vor- geschriebenen Verfahren den kurzen Namen „Methode der kleinsten Quadrate"**) beigelegt. Eine eigentliche Begrün- ^) In eiDem Anhange der Nouvelles M^thodes pour la d^termi- nation des orbites des comätes, datiert vom 6. März 1805 (das Titel- blatt trägt die Jahreszahl 1806). Von der mitgeteilten Anwendung anf die Bestimmung der Gestalt des Meridians aus Breitengradmessnngen abgesehen umfasst die Darstellung blos vier Seiten. Den wesentlichen Teil hat Legendre 1814 in den M^m. Inst. France p. a. 1810 republiziert, um auf seine Priorität in der Yeröffentlichang aufmerksam zu machen. **) Die treffendere Bezeichnung „Methode der kleinsten Qaadrat- sum'men'* ist schon 1841 von Hülsse gebraucht worden: Über die — 235 - düng des Verfahrens zu geben hat er nicht unternommen. Er führt es nur ein und sucht es zu rechtfertigen mit den Worten: „De tous les principes qu'on peut proposer pour cet objet, je pense qu'il n'en est pas de plus general, de plus exact, ni d'une application plus facile que celui . . . qui consiste ä rendre minimum la somme des quarres des erreurs. Par ce moyen, il s'etablit entre les erreurs une Sorte d'equilibre qui empechant les extremes de prevaloir, est tres-propre ä faire connoitre Fetat du Systeme le plus proche de la verite." Um die Funktion 2J ( — h -j- aiX -{■ hy + CiZ + • • 0^ dieser Vorschrift gemäss in Bezug auf die Grössen x^y^z .,, zu einem Minimum zu machen ^ hat man diese Grössen aus den Gleichungen*) \aa\x + \alf\y + [ac\z + • • • = [aZ] [ld\x + \b^y + \lc\z H = [fcZ] \cd\x + [cfc]y + [cc];2^ + • • • = [<5^] zu bestimmen, deren Anzahl mit jener der Elemente über- einstimmt. Zur Rechtfertigung führt Legendre weiter aus, dass die Regel des arithmetischen Mittels eine sehr einfache Folgerung seiner allgemeinen Methode sei. Nach Anwendung auf ein geometrisches Problem fügt Legendre nochmals er- läuternd hinzu, die Methode führe gewissermaassen zu dem Mittelpunkt, um welchen sich alle durch die Beobachtung Berechnung von Beobachtungen durch die Methode der kleinsten Quadratsumme, Leipzig. Neuerdings suchte sie Jordan wieder ein- zuführen: Handbuch der Vennessungskunde, 2. Aufl., I, 1877, wie es scheint ohne Erfolg; er hat sie bei der 3. Aufl. (1888) selbst wieder fallen lassen. *) In abgeänderter Bezeichnungsweise. Legendre bedient sich zur Bezeichnung der Summen ä^^ + a^* + • • • , «i &i + öfj &» + • • •, für welche Gauss die oben gebrauchte und jetzt allgemein übliche Be- zeichnung [aa], [a&], . . . zum eretenmale in der Disquisitio de ele- mentis eliipticis Palladis etc. 1811 zur Anwendung brachte, der Symbole la^^ /«&> •••• — 236 — gelieferten Resultate ordnen derart^ dass sie möglichst wenig von ihm abweichen. Hiermit ist der wesentliche Inhalt der ersten Publikation über die Methode der kleinsten Quadrate erschöpft. 102. Der Zeitfolge nach wäre an zweiter Stelle die in Art. 42 bereits besprochene Publikation Adrain^s aus dem Jahre 1808 zu nennen. Nach den Schlussfolgerungen Glaisher's scheint es in der That, dass Adrain unabhängig von Legendre zu der Methode der kleinsten Quadrate als einem praktischen Verfahren zur Auflösung eines Systems überzähliger, einander widersprechender linearer Gleichungen geführt worden ist und dass er nachträglich bemüht war, für dieses Verfahren eine Begründung zu geben. Das wenig befriedigende Ergebnis dieser Bemühung ist die in dem eben angezogenen Artikel erörterte Ableitung des Fehler- gesetzes. Adrain hat, nach dem Berichte Abbe's, auch (vier) Anwendungen der Methode gegeben, und eine derselben führt Glaisher'^) an. Sie besteht in folgendem. Hat man eine Tafel der Längen des Sekundenpendels unter verschie- denen Breiten, so sollte, dem Clairaut'schen Theorem zu- folge, durch dieselben eine Gleichung r = a; -|- y sin^ X streng erfüllt werden, in welcher r die Pendellänge, A die Breite und X, y gewisse Konstante bedeuten. Nachdem dies nicht der Fall ist, bestimmt Adrain x und y derart, dass {x + y sin* A^ — r^)* + (o? + y sin^ k^ "~ ^2)^ H ®^^ Minimum werde. Nach Vorführung dieser vornehmlich vom historischen Standpunkte bemerkenswerten Arbeiten gehen wir daran, die wissenschaftliche Begründung der Methode der kleinsten Quadrate darzulegen. *) Auf Grund einer zweiten Veröffentlichung Adrain's aas dem Jabre 1818, betitelt Investigation of the Fignre of the Earth and of the Gravity in dijQferent Latitudes, und in den Transact. of the Americ. Philos. Soc, I, pag. 119 flg. erschienen, deren Entstehung jedoch Abbe gleichfalls in das Jahr 1808 verlegt. - 237 — § 3. Erster Beweis von G-auss. 103. Der erste Beweiss, welchen Gauss*) für die Methode der kleinsten Quadrate gegeben, zugleich der erste, der diese Methode auf wahrscheinlichkeitstheoretische Grund- lagen zu stellen sucht, beruht auf dem Fehlergesetz, welches er aus der Hypothese des arithmetischen Mittels abgeleitet hat (s. Art 23). Es sei Si = — Z» + aiX + hly + c,-^ + • • • (i «= 1, 2, • • • w) das System der Fehlergleichuugen; zunächst werde voraus- gesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit, der Fehler irgend einer Beobachtung liege zwischen den Grenzen s und £ -f" ^^; TL gegeben ist durch q>{s)ds = -j=z€r^'^^*de. Dann ist, vor Anstellung der Beobachtungen, die Wahrscheinlichkeit, dass den w Beobachtungen die t^ehler a^, «g? •••^n anhaften werden, proportional dem Produkte Nachdem die Beobachtungen ausgeführt worden und ge- geben sind, ist die Wahrscheinlichkeit eines Wertsystems der Unbekannten x^y^nf,.. demselben Ausdruck proportional, wenn man annimmt, d^ss ausser den Beobachtungen keine andern Data zur Bestimmung der Unbekannten vorliegen, so dass alle Wertsysteme derselben a priori gleich wahr- scheinlich sind. . Es ist demnach dasjenige Wertsystem der Unbekannten a:, j/, ig?, ... das wahrscheinlichste, für welches das Pro- dukt il oder der Ausdruck ein Maximum, also die Summe *) Im dritten Abschnitte des zweiten Buches der 1809 erschienenen Theoria motas corporam coelestiam etc., welcher betitelt ist: Determi- natio orbitae observationibus quotcnnque maxime satisfacientis. Art. 186 bemerkt Gaass^ dass er sich des Prinzips, welches der Methode der kleinsten Qoadrate zu Grunde liegt, schon seit dem Jahre 1795 be- dient habe. Hiemach gebührt ihm die Priorität der Erfindung, Legendre die Priorität der Veröffentlichung. ~ 238 — ^1^ + ^2^ + ••• 4" ^n^ ein Minimum wird, und dies führt wieder auf das System der Gleichungen [aa]x + [ab]y + [ac]^ + . . . = [al] [ha]x + [66]y + [hc]^ + ... = [&?] [ca\x + [d]y -}- [cc]0 -}-'*- ==[cH welche man als Normalgleichungen zu bezeichnen pflegt. 104. Wenn dagegen die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler zwischen die Grenzen € und s -{- ds falle, nicht für jede Beobachtung dieselbe ist, wohl aber für jede durch eine Funktion der oben gedachten Form dargestellt und ins- besondere für die i*® Beobachtung —^ e^h^^^da ist, so wird Sl y n proportional dem Ausdruck für das wahrscheinlichste Wertsystem der Unbekannten muss also ÄlV + ÄgV + '-' + Än'^«' ein Minimum werden. Führt man eine Beobachtung, welcher das Präzisionsmaass h zukommt, als Gewichtseinheit ein und bezeichnet die auf dieselbe bezogenen Gewichte der Beobach- tungen l^j I2, ... In niit jPi, JP2? • • • Pnj so zwar, dass so ergeben sich die wahrscheinlichsten Werte der Unbekannten aus der Bedingung Pih^ + P2h^ -i bPn^n^ ein Minimum oder aus dem Gleichungssystem [paa]x + [pab]y + \pac]0 -( = [pal] [pba]x + [pbb]y + [pbc]0 + ... = [pbl] . [pca]x + [pcb]y + [pcc]0 -] = [pcl] Dies kommt auf dasselbe hinaus, wie wenn man die Fehlergleichungen der Reihe nach mit den Zahlen Vp^7 VP2^ '" VPn ^ 239 — multipliziert und dann so kombiniert hätte wie im ersten Falle, d. h. so, als ob alle Beobachtungen von gleicher Ge- nauigkeit wären. 105. Das Prinzip, welches der vorstehenden Lösung der Aufgabe zu Grunde liegt, besteht also darin, dass diejenigen Werte der Unbekannten für die vorteilhaftesten erklärt wer- den, welche den Beobachtungen ein System von Fehlern zu- schreiben, deren Koexistenz unter allen möglichen Systemen die grösste Wahrscheinlichkeit hat. Zu diesem Prinzip gesellt sich als weitere Grundlage das spezielle Fehlergesetz — 3=e~*'**, welches von Gauss y n aus der Hypothese des arithmetischen Mittels abgeleitet worden ist. Infolgedessen können alle Untersuchungen, deren Ziel die Ableitung jenes Fehlergesetzes aus anderen Annahmen ist, und ebenso alle Untersuchungen, welche die Zurückführung der Hypothese des arithmetischen Mittels auf einfachere Voraussetzungen anstreben, als eben so viele Be- weise oder Beweisversuche der Methode der kleinsten Quadrate angesehen werden. Mit diesem Gesetze steht aber und fällt die Bedeutung der Resultate als der wahrscheinlichsten Werte der unbekannten Elemente. § 4. Der Beweis von Laplaee. 106. Die Untersuchungen, welche Laplaee über die aus Beobachtungen abgeleiteten Resultate, insbesondere über die Methode der kleinsten Quadrate angestellt hat, gehören unstreitig zu den schwierigsten Teilen seiner Theorie analyt. desProbab.*), ihre Resultate aber auch zu den merkwürdigsten und wichtigsten. Sie bilden den Inhalt des vierten Kapitels des zweiten Buches und insbesondere sind es die Artikel 20 und 21, welche hier zunächst in Betracht kommen, weil sie die Begründung unserer Methode enthalten. *) Zum erstenmale erschienen 1809, in dritter Auflage (mit der berühmten Einleitung und drei Supplementen) 1820, in vierter Auf- lage (VII der Oeuvres de Laplaee, nation. (§dit.) 1847. — 240 — Laplace's Untersuchungen sind vielfach kommentiert, aher auch verallgemeinert und weiter geführt worden. Man kann jedoch diese von späteren Geometern geleisteten sehr bedeutenden Arbeiten nicht würdigen, ohne die von Laplace gegebene Grundlage kennen gelernt und erfasst zu haben. Wir werden daher zuvörderst Laplace's eigene Analyse, unter Anwendung jetzt üblicher Bezeichnungen, darlegen, um dann auf neuere Untersuchungen seiner Methode überzugehen. 107. Aus einer sehr grossen Anzahl n von Pehler- gleichungen der allgemeinen Form (1) €i = — üi + ««^ (i = 1, 2, • • • w) ist der vorteilhafteste Wert des unbekannten Elementes x zu bestimmen*). Man multipliziere, um eine hierzu geeignete Gleichung zu erhalten, jede der Fehlergleichungen mit einer positiven oder negativen ganzen Zahl a,- und bilde die Summe (2) [as] [aT\ + [ad]x, aus welcher Gleichung sich (3) a; = f^. + f^ '') Laplace hatte nrsprÜDglich (1792) zur Lösung dieser Aufgabe ein anderes Verfahren in Anwendung gebracht und zwar gelegentlich der Frage, zu entscheiden, ob die vorhandenen Gradmessungen sich mit einem elliptischen Meridian vereinbaren lassen. Das ohne Be- gründung aufgestellte Prinzip besteht darin, 1) dass die Summe der Fehler Null sei; 2) dass die Summe der Absolutwerte der Fehler ein Minimum sei — und Laplace bezeichnet die auf Grund dieses Prinzips abgeleitete Ellipse als die „wahrscheinlichste^^ Hist. Acad. Paris p. a. 1789, zum grössten Teil wiedergegeben in der Mäcanique Celeste, 11, art. 39 — 42. — Estienne ist auf dieses Verfahren, welches er Methode der kleinsten arithmetischen Summe nennt und empfiehlt, wieder zurückgekommen. Die von ihm angegebene Regel zur Be- stimmung des wahrscheinlichsten Wertes einer direkt beobachteten Grösse (s. Art. 22) liefert nämlich ein Resultat, welchem die kleinste Summe der Absolutwerte der Fehler entspricht, wie man sich leicht überzeugt^ wenn man bemerkt^ dass für jeden Funkt ausserhalb einer Strecke die Summe seiner absoluten Entfernungen Ton den Endpunkten dieselbe und kleiner ist als für irgend einen Funkt innerhalb der Strecke. (Vgl. hierzu die Bemerkungen in Art. 22.) l^tude sur les erreurs d'observat., pag. 9 und 23 flg. — 241 - ergibt. Setzt man das aus den Fehlern s^, $2^ . . . Sn zu- sammengesetzte Aggregat E = [as] gleich Null, so erhält man für x die Bestimmung und ihr Fehler ist (5) u = )^' Es ist nun die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass dieser Fehler zwischen gegebenen Grenzen eingeschlossen sei. Angenommen, der Fehler einer jeden Beobachtung sei nur solcher Werte fähig, welche Vielfache eines sehr kleinen als Einheit angenommenen Betrages sind; die Wahrscheinlich- keit, dass der Fehler gleich ti ist, sei für jede Beobachtung dieselbe und dargestellt durch 9>(— )> wenn g die in der- selben Einheit ausgedrückte obere Grenze der Fehler be- zeichnet, während — g die untere Grenze ist, wenn man weiter annimmt, dass positive und negative Fehler gleichen Betrages gleich wahrscheinlich sind. Hiernach bedeuten ti^g sehr grosse ganze Zahlen, deren erste positiv sowohl als negativ sein kann. Setzt man wobei die Summierung über alle möglichen Werte von % d. i. von 12 == — g bis '^1==^ g auszudehnen ist, so stellt in der Entwicklung des Produktes der Koef6zient von e^®V^— i die Wahrscheinlichkeit dar, dass £=»A sei, X in derselben Einheit ausgedrückt wie die einzelnen Fehler. Multipliziert man daher jenes Produkt mit ß— ^0V~i^ so wird das von einer Potenz der Zahl e freie Glied seiner Entwicklung dieselbe Wahrscheinlichkeit dar- stellen. Integriert man behufs Gewinnung dieses Gliedes, nachdem man mit d0 multipliziert hat, in Bezug auf @ Cinber, Theorie der Beobnchtnnggfehler. 16 — 242 — i f iünerhalb der Grenzen — tc und ä, so ergibt sich, wenn maia beachtet^ dass das Integral » verschwindet, für jeden positiven und negativen ganzzahligem^ Wert von r, während es für r = gleich 2ä ist, n — TT als Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit, dass E = k ist. Vermöge der Voraussetzung, dass g? / — j eine gerade Funktion von ri ist, kann man in Qi die Glieder, welche zu gleichen und entgegengesetzten Werten von ri gehören, paar- weise zusammenfassen und erhält Q, = S^p (^) (c"' " "^-^ + e-"'- '"'^-') = 2I1^> /— \ cos a,-i^@, wo die Summierung sich jetzt auf die positiven Werte von k{ allein erstreckt. Durch Entwicklung des Cosinus in eine Reihe wird weiter + Ä«.V«'^(i)V(f).- Setzt man — = r( und bemerkt, dass die kleinste Änderung von K\ Eins beträgt, dass also dri = — ist, so kommt 1 ^^> (y) = 9j'V'^^ in der erwähnten Bestimmung von x. So lange nun diese Wahrscheinlichkeit dieselbe bleibt, bleibt es auch die obere Grenze t und das Fehlerintervall wird um so enger, je kleiner gy— r -. wird. Bleibt dagegen das Intervall unverändert, so wird die Wahrschein- lichkeit, dass der Fehler von x in dasselbe fällt^ um so grosser, je grosser ty je kleiner also der eben genannte Ausdruck ist. Man hat also dasjenige System von Faktoren a,- zu wählen, für welches dieser Ausdruck, oder da g^ x, %" konstant sind, für welches (10) r ""•* ein Minimum ^ ^ [aa] wird. Nach dieser Auffassung ist jener Wert der Unbekannten der vorteilhafteste, für welchen die Wahrscheinlichkeit, dass sein Fehler innerhalb bezeichneter Grenzen liegt, am grössten ist. 108. Laplace fasst aber den Gegenstand noch aus einem zweiten Gesichtspunkte auf und erklärt denjenigen Wert der Unbekannten für den vorteilhaftesten, für welchen sich der kleinste durchschnittliche Fehler ergibt, worunter in seinem Sinne der durchschnittliche Wert aller positiven — 246 - . Werte von u zu verstehen ist*). Man erhält ihn, indem man das Element des Ausdrucks (9) mit u multipliziert und hierauf zwischen den Grenzen und cx) integriert; hiernach kommt er gleich CO und die Bedingung für sein Minimum ist dieselbe (10), wie oben, so dass beide Methoden zu dem nämlichen Resultate führen. Indem man, um zu dem vorteilhaftesten Faktorensystem a» zu gelangen, den Differentialquotienten von -p— =j- in Bezug auf «i gleich Null setzt, ergibt sich [aa] oder weil der erste Faktor l -J sich mit i nicht ändert, [aa] ' « . == Mai . Man kann nun M immer so wählen, dass alle Faktoren «< ganze Zahlen werden, wie es die Analyse vorausgesetzt hat. Hiermit wird die vorteilhafteste Bestimmung von x [al] laaj dieselbe^ wie sie sich aus der Bedingung [es] ein Mini lu um oder nach der Methode der kleinsten Quadrate ergeben hätte. 109. Aus einer sehr grossen Anzahl von Fehlergleichungen der allgemeinen Form (1) Bi = — li + aiX + hy (l = 1, 2, • • . n) sind die vorteilhaftesten Werte der unbekannten Elemente X, y zu bestimmen. *) Ygl. Art. 21. — Der hier gerechnete Betrag ist die Hälfte des durchschDittlichen Fehlers im üblichen Siune und heisst bei Laplace „la valeur moyenne de Terreur ä craindre en plub". - 247 — Man multipliziere, um hierzu geeignete Gleichungen zu erhalten, jede der Fehlergleichungen mit einer positiven oder uegativen ganzen Zahl «/ und bilde die Summe [ae] = — [«q + [aa]x + [ab]y, verfahre dann ebenso mit einem zweiten System ganzzahliger Paktoren /3,-, wodurch man die Gleichung [ß^l=- - [m + [M^ + [ßh-\y erhält. Macht man die Annah me jEJ« = [««]= und E^ = [j3 a] = 0, so ergeben die beiden Gleichungen Werte für x und 2/; diese aber sind Fehlern unterworfen entsprechend denjenigen, mit welchen die gemachte Annahme selbst verbunden ist. Wären die Aggregate Eay J5J^, statt zu verschwinden, beziehungs- weise gleich A, ft, so wären die den eben besprochenen Be- stimmungen von X und y anhaftenden Fehler u und v mit einander durch die Gleichungen verbunden k = [ad\u+\ah\v ^ 11 = [ßa\u + [ßh]v. Dem Prinzipe gemäss, welches im vorigen Artikel auf- gestellt worden ist, sind die Systeme der Faktoren «,-, ßi derart zu bestimmen^ dass die durchschnittlichen Fehler von X und y möglichst klein werden. Mit den im vorigen Artikel gebrauchten Bezeichnungen uijd unter den nämlichen Voraussetzungen sei die Summierung über alle möglichen Werte von iq aus- gedehnt; dann stellt in der Entwicklung des Produktes Vi V2 • • • V» der Koeffizient von e^^^^+A^ViV"^ die Wahrscheinlichkeit vor, dass gleichzeitig Ea = A und E^i = ^i sei. Um diesen Koef- fizienten zu erhalten, hat man jenes Produkt mit zu multiplizieren und hierauf in Bezug auf S sowohl als in Bezug auf ^ zwischen den Grenzen — % und + ^ zu - 248 - integrieren. Dadurch ergibt sieh für die erwähnte Wahr- scheinlichkeit der Ausdruck (3) hfh' ^' '" e-«"''*''""^'^'^®'^*- — Ä— TT Fasst man in Qi die mit entgegengesetzt-gleichen ij behafteten Glieder paarweise zusammen, so wird mit den in Art. 107 eingeführten Bezeichnungen Qi = 2£

, = — --' g\i^i'S' + 2aiß,S^ + ßi^r) + . . .. Hiermit verwandelt sich der Ausdruck (3) in 7t 7t 1 /*/*~A0i/:^ X" — TT —7t Hier lassen sich diejenigen Glieder des Exponenten, welche S enthalten, zusammenfassen zu — [aa] X flr[«(J]_, , xllZ-l 1 ö'® + 7r:fr^ + [aa] ^ "^ 2x"^[aa] 2 xX» 4x"<;''[aa] ' hierauf vereinigen sich diejenigen Glieder, welche nur ^ ent- halten, zu _ x;- MW« -i«a' f„w, ?_ [«ffl^-[««> 1/ T» « x^ [a«y 1^*' 2x"j,[«a]"[pp]-[a/}]«l^- -^1 « ([«p]X-[«a]ft)' 4x'>'[««]([««][?ffl-[«m' — 249 — Macht man also die Substitution ^ ^^ ^ [aa] ^ ^ 2x"^[aa] deren Determinante g^ ist, so verwandelt sich, da man aus ähnlichen Gründen, wie sie 'in Art. 107 entwickelt worden sind, die Grenzen der Integrationen in Bezug auf die neuen Variabein t, t' bis — oo und + oo erstrecken kann, der frühere Ausdruck in 1 -i,v.(c.«-«t«^^^.+t«<.3.., r r-"^.-^^.^^^^^, (4) JJ' 00 00 X \ßß]X^-naß]Xn-\-[adlfi^ Q 4x"i7^ R wenn abkürzungsweise (5) [cca][ßß] - [aßf = R gesetzt wird. Wie man bemerkt, ist B die Determinante der quadratischen Form in A, fi, welche im Exponenten des letzten Ausdruckes als Zähler auftritt. In den mit dXdii multiplizierten Ausdruck (4) hat man mittelst der Gleichungen (2) u^v an die Stelle von A, ft zu bringen, um die Wahrscheinlichkeit einer Wertverbindung m, v der Fehler in den Bestimmungen für a;, y zu erhalten. Die Determinante der Substitution (2) ist (6) J = [aa\ [/36] — [« h] [ßa] und der Zähler des Exponenten von e verwandelt sich durch diese Substitution in Fu^ + 2Guv + Hv\ wobei F= [aaflßß] - 2[aa][ßa][aß] + [ßaflaa] (7) G = [aa][ab][ßß] - ([aa][ßb] + [ab][ßa])[aß] + [ßa][ßb][aa] H=[abf[ßß] - 2[ab][ßb][aß] + [^6p[«a]. - 250 — Mithin ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fehler in x, y zwischen den bezüglichen Grenzen u und u '\- du, v und V -\- dv eingeschlossen sind, (8) -^o-,4-e *^"^^ dudv. Integriert man dieselbe in Bezug auf v zwischen den Grenzen — und + cx), so ergibt sich die Wahrscheinlich- keit eines Betrages u unabhängig von dem Werte des v. Zum Zwecke der Ausführung dieser Integration bemerke man^ dass und setze es wird dann die zuletzt erwähnte Wahrscheinlichkeit gleich 'O — OD X FH—G^ r 4«% gyjff Dies vereinfacht sich noch infolge der Bemerkung, dass zwischen den Determinanten 2? und FH — G^ der beiden quadratischen Formen in A, ft, beziehungsweise u, v und der Determinante ^ der Substitution (2), durch welche die erste dieser Formen in die zweite übergeführt worden ist, die Relation j. — - = z/^ besteht*); der Ausdruck lautet da- her schliesslich _x^_ ^ e "^^"^''^'' du. g V 47rx' H Multipliziert man u mit dieser Wahrscheinlichkeit und integriert das Produkt zwischen den Grenzen und oo, so ergibt sich *) Baltzer, Det, 5. Aufl., pag. 175. - 251 — (9) -^; als durchschnittlicher Fehler in der Bestimmung des ersten Elementes, und es sind die Faktoren «»-, j3, derart zu be- stimmen, dass dieser Fehler oder, was dasselbe ist, dass ^--r- ein Minimum werde. Nun ist K'-'^) und man überzeugt sich leicht, dass dieser Ausdruck durch die Substitutionen (10) tti = Mai, ßi = Mbi auf Null gebracht wird, wo M eine willkürliche von i un- abhängige Zahl ist, die man immer so wählen kann, dass alle «,- und alle ßi ganze Zahlen werden, wie es die Analyse voraussetzt. Denn bei dieser Bestimmung der Faktoren ver- wandelt sich ^ in M^[[aa]\hb] — [abf] =3P^\ H in 2lf*{[aa][&6] - \abY\\bb^ = M'J'[bb], mithin der erste Teil des Dijä'erentialquotienten in und der zweite Teil in womit die Behauptung erwiesen ist*). Unter denselben Bedingungen verschwindet auch der Dififerentialquotient in Bezug auf 6,- und auf dieselbe Weise erkennt man, dass dann auch der durchschnittliche Fehler *) Der obige Dififerentialquotient verschwindet auch für die An- nahme «j. == Mb-, ß- = Ma^, dtren weitere Verfolgung aber zu den nämlichen Resultaten führt. — 252 — des zweiten Elements ein Minimum wird, welcher aus dem Ausdrucke (9) durch Vertauschung von H mit F hervorgeht, wie man aus der quadratischen Form F%i^ + 2Guv + Hv^ unmittelbar ersieht. Die Gleichungen also, welche die vorteilhaftesten Werte der beiden Elemente ergeben, sind \aa\x + [ah\y = [al] [6a]^ + [66]y = [6q, dieselben, zu welchen die Bedingungen [ss\ ein Minimum oder die Methode der kleinsten Quadrate führt. 110. Durch diese Untersuchungen ist also erwiesen, dass unter allen linearen Kombinationen, welche man mit den Fehlergleichungen vornehmen kann, diejenige, welche man als Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet, die vorteil- hafteste ist in dem Sinne, als sie für die Elemente Werte liefert, bei denen die kleinstmöglichen durchschnittlichen Fehler zu befürchten sind, und zwar ohne Rücksicht auf die Form des Gesetzes, welchem der Fehler der einzelnen Be- obachtung unterworfen ist. Dieses Resultat ist jedoch unter mehrfachen Einschrän- kungen zu Stande gekommen. Zunächst wird es nur für den Fall eines und zweier Elemente nachgewiesen, und wenn auch Laplace am Schlüsse bemerkt, es folge aus seinen Darlegungen, dass die Methode der kleinsten Quadrate all- gemein gelte, welches auch die Anzahl der zu bestimmenden Elemente sei: „car il est visible que Tanaljse precedente peut s'etendre ä un nombre quelconque d'elements", so wird man diesem Ausspruche bei der Kompliziertheit der Analyse und dem Mangel an Symmetrie nur wenig Vertrauen ent- gegenbringen. Desgleichen bedeuten die Voraussetzungen, dass das Fehlergesetz für alle Beobachtungen das nämliche sei und der Bedingung q>{ — x) = q){pc) genüge, eine Einschränkung, welche eine Verallgemeinerung der Analyse erheischt. Hierzu kommt noch das Bedürfnis, über die Zulässigkeit der an- gewandten Approximationen Klarheit zu gewinnen. - 253 — In zwei wertvollen Abhandlungen „Sur la Probabilite des resultats moyens des Observations«, welche Poisson*) nach den einleitenden Bemerkungen gewissermaassen als Kommentar zu den Untersuchungen von Laplace gegeben, ist die Methode des letzteren wesentlich verallgemeinert^ so- weit es die über das Fehlergesetz getroffenen Annahmen an- langt: Poisson macht weder die Voraussetzung^ dass dieses Gesetz für alle Beobachtungen eins und dasselbe sei, noch dass es die Eigenschaft einer geraden Funktion besitze. Er beschränkt sich aber blos auf den Fall eines zu bestimmen- den Elementes. Seine Analyse lehnt sich an die Laplace'sche an; insbesondere macht er ebenfalls die Annahme^ dass alle Werte, deren ein Fehler fähig ist, Vielfache eines sehr kleinen Betrages seien; dadurch wird der kombinatorische Charakter der Analyse aufrecht erhalten. Einen wesentlichen Fortschritt und gewissermaassen einen Abschluss in der Entwicklung der Laplace'schen Methode bedeuten die sehr wertvollen Arbeiten von Ellis**) und Glaisher***). Während der erstere durch eine neue Auf- fassung die Methode auf beliebig viele Elemente ausgedehnt und den wahrscheinlichkeitstheoretischen Teil der Analyse auf moderne Hilfsmittel, nämlich auf das Doppelintegral des Fourier' sehen Theorems gestellt hat, ist dieser Teil durch Glaisher weiter vereinfacht worden, indem an die Stelle jenes Doppelintegrals ein von Lejeune-Dirichlet in Form eines einfachen bestimmten Integrals dargestellter Diskonti- nuitätsfaktor getreten ist. Ellis hält noch an der Voraus- setzung fest, dass die Funktion q) gerade sei; Glaisher hat auch sie fallen lassen, so dass seinem Resultat die Allgemein- heit des Foisson'schen zukommt. Überdies haben die drei *) Connaissance des Tema ponr Fan 1827 et pour Tan 1832. — In deutscher Übertragung finden sich diese Abhandlungen im dritten Anbang von Dr. Schnuse^s Übersetzung von Poisson's „Becherches 8Qr la Probab. des jugemens en matiere criminelle et en matiere ciyile etc.". Paris 1887. — Vgl. auch Todhunter, History of the Mathem. Theory of Probab., Cambridge and London 1865, pag. 561 flg. **) Cambridge Philos. Transact., VIII, pag. 204—219. ^ Mem. of the R. Astron. Soc, XXXIX, pag. 92-107. — 254 — genannten Geometer der Zulässigkeit der Approximationen ihne Aufmerksamkeit zugewendet. Die hier genannten Arbeiten sind bei Abfassung der folgenden Artikel benutzt worden*). 111. Aus einer sehr grossen Anzahl n von Fehlerglei- chungen der allgemeinen Form (1) £t = — li + ««^ + % + Ci^ -] (} = h 2,"- w) sind die vorteilhaftesten Werte der m( 1. Ein solcher bietet- sich in dem von Lejeune- Dirichlet eingeführten Integral sin G cos rjS T^ dar. Soll im Besonderen die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass (5) g — X£[as]£g + X oder dass ist, so tritt -• — an die Stelle von i] und wenn man X Kürze halber y durch ersetzt, so wird oo 2^ /' ginX6>C08 ( [«f]-g) 6>^^ & der diesem Fall entsprechende Diskontinuitätsfaktor, somit oo 00 00 (6) -00 -00 sin X& C08 (Fael — g)S 7^ , , -|— J ^- dS ds^ '"dsn — 25G - die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Bedingung (5) er- füllt sei. Bringt man an die Stelle von cos ([««] — g)® die Exponentialgrosse e^f"*^""^^®^^"^, deren reellen Anteil jener Cosinus darstellt^ so kommt oo (7) P=3i{|-Jftft-Ö«^^-«-''*^^0), worin 00 (8) Qi=j9i{s:)e"'''^^UB, ■00 Setzt man OD / 9>»(^») cos aiBi®dsi = Qi cos v» (9) — 00 00 I q>i{Bi) sin UiBiSäSi = Qi sin v,, 00 so wird und wenn zu weiterer Abkürzung gesetzt wird. Hiermit verwandelt sich die rechte Seite von (7) in 00 jA/V^,(--^®)i^d@j 91 1 und man bekommt die wesentlich vereinfachte Darstellung 00 sin XB j^ d® P=l- rYcos{6—g&) — 257 — oder*) (10) P = ^ r Cycos (a^gS + tlf&)d®dil>. —X 113. Bis hierher war die Analyse exakt und unabhängig von der Anzahl n der Beobachtungen. Nun handelt es sich darum, einen Näherungswert für P zu bestimmen unter der Voraussetzung^ dass n eine sehr grosse Zahl ist. Zunächst lässt sich zeigen, dass alle Qi, welche für = auf die Einheit sich reduzieren, für jeden von Null verschiedenen Wert von ® echte Brüche sind. Denn aus den Gleichungen (9) folgt OO OD Q? = ( f 9>i(ßd ^08 aiBiSdaA + ( / ^>i{ßi) sin aiSi&dsA 00 00 00 00 = / 1 (Pi{£i)g>i{€i) cos aiSi@ cos ais{@d€idei — OO — OO 00 00 + / / 9t(«i)9»(«/) sin UiSi® sin ais/Gdsids/ -00 00 00 OD = / / 9i(«i)9i(^/) COS «,(£,- — B{)®dSid£i' — 00 — OO und dies ist kleiner als 00 00 / I (Pi(£i)(Pi{s/)d€id€{=l, -00 — 00 X *) Es ist nämlich -^--=ir I ^oa rpSdij} , daher ^ 2 J X X X COS (ff— ^Ö) — ß ~=~^ f <^OB{a—g@)coBilj&dip=^— j cos {a^g&-\'if>0)dipt —X —X X dl i sin (ff — weil I sin (ff — g&)BmijfGd'tff ^^0 ist. — Dieses Resultat (10) findet —X sich bei Poisson, 1. c, 1827, pag. 286. Cxuber, Theorie der Beobachtungsfehler. 17 — 258 - Bezeichnet demnach q den grössten unter den Werten, welche die verschiedenen 9, für einen gegebenen Wert von annehmen, so ist Trf6>; / — A die Integration in Bezug auf S gibt (s. Anmerkg. zu Art. 38) y« e *f«*^'i , demnach ist X (13) P ;== / e *[«^^'3 rf^ — ;i die Wahrscheinlichkeit, dass das Aggregat [aa] zwischen den Grenzen g — A und 5^ + A eingeschlossen sei. Für einen festgesetzten Wert von A wird P am grössten, wenn g = [ai'] genommen wird. Denn es ist \I>=X und dies verschwindet, wenn g = [«Ä'] wird. 17* - 260 - 114. Wir kehren nun zu der uns vorliegenden Aufgabe (s. Art. 111) zurück und führen sie erst unter der Annahme zu Ende^ dass positive und negative Fehler gleichen Betrages gleich wahrscheinlich seien. Dann ist und nimmt man g = [eck'] = an, so wird X e-'' dt die Wahrscheinlichkeit, dass — A < [as] < A. Wenn man demnach in der Gleichung (4), Art. 111, für [as] Null nimmt, so wird (15) X = [aT] und der Fehler w in dieser Bestimmung ist unmittelbar durch [as] bezeichnet, so dass (14) auch die Wahrscheinlich- keit angibt, es sei \u\ < A. BbI konstant bleibendem Intervall 2A wird P am grössten, wenn [a^Ä"] am kleinsten wird; umgekehrt fallt bei gegebenem P das Intervall 2A um so kleiner aus, je kleiner [a^Ä;"] ist. Nach der ersten Laplace'schen Methode ist also jenes System von Faktoren «»• das vorteilhafteste, für welches [a^Ä"] ein Minimum. Andererseits folgt aus der Gleichung (14) für die Wahr- scheinlichkeit eines zwischen u und u-^-du liegenden Fehlers in der Bestimmung (15) der Ausdruck tt* y2«[a*Ä J daraus ergibt sich der durchschnittliche Fehler jener Be- stimmung OD J W9)(w)dw = j/f"^3; derselbe wird zugleich mit [a^Ä"] ein Kleinstes. Also auch — 261 — nach der zweiten Laplace'sehen Methode ist das vorteil- hafteste Fehlersystem aus der Bedingung (16) [a^¥'] ein Minimum zu bestimmen. Zu dieser Forderung treten die anfangs aufgestellten Bedingungen (3) [c^a\ = l, [ah] = 0, [ac] = 0, ... hinzu. Es ist also die mittels der unbestimmten Multiplika- toren q^, q^, q^y ... gebildete Funktion [«2*"] - 2gi([aa] — 1) — 2g2[a&] - 2q^iac\ durch Wahl der «,- zu einem absoluten Minimum zu machen. Dies führt auf die Gleichungen *i"«i = 3i»i + aA + ^3^1 H — (17) V'«2 = Q'l«2 + «2*2 + ^3^2 H K^^ = ^1% + ^2^3 + ^3^3 H multipliziert man diese der Reihe nach zuerst mit «1 «a «8 I. " 1 1. " > I. A/J ll/g A/g dann mit 6i &a fe» dann mit C/<| Co C/Q x^ ' ir^' f v^' 7 ' ' ' ^- s. w. A/j /6g A»3 und bildet jedesmal die Summe, so ergibt sich wegen (3) das Gleichungssystem 1= IP]ä> + [S?^ + B^]33 + • • • (18) ö = E'^] 9i + [r] ffs! + [w] 2a + • • • Die Koeffizienten mögen abgekürzt mit Ol a« fls • • • bi b. b» • • • • • • • • • • - 262 - bezeichnet werden (da = ^i, CI3 = Cj, • • •)? ^^® Determinante ihres Systems sei Ry die Adjunkten der Elemente der ersten Zeile seien Ä^, A^, Ä^\ .. .; dann ist •Rffi = A} -^^2 = ^7 -Rffs = -43, • • • und aus (17) folgt mit diesen Bestimmungen von qyy q^, ^z-*- n/j A»! wj (19) B.a^ = ^A, + ^.A^ + ^.Ä^ + --- E «s = |l> ^1 + ^ ^ + ^ ^3 + • • • iCg «'s A'a Multipliziert man diese Gleichungen der Reihe nach mit 'i7 hj hy • • -7 so wird vermöge der Gleichung (15) (20) Bx^[p]A, + \^A, + [g]Ä, + -... Man überblickt sehr leicht, dass sich die Analyse in keinem wesentlichen Punkte ändert, wenn es sich statt um x um y,0,,., handelt, und dass sich die hierzu führenden Glei- chungen ergeben, wenn man an die Stelle von Ai^A^y A^ ... die Adjunkten B^, JSg, J5g . . ., Ci, (/g? ^37 • • • ^®^ Elemente der zweiten, dritten^ ... Zeile von B setzt, so dass üj, -[!-!]£, + [|,!]B. + g]B. + ... d. h., es sind x,y,8y ... die Lösungen des Gleichungssystems- (21) b,^ + b,y + b3^ + ... = [|i] Es ergeben sich also die vorteilhaftesten Werte der Elemente aus dem Gleichungssystem — 263 — Diese Gleichungen sind aber dieselben, wie diejenigen, welche aus der Bedingung \jPt\ ein Minimum hervorgehen, womach die Summe der mit den Grössen P"' 7 iTT-' > r^' * • • multiplizierten Fehlerquadrate ein Kleinstes werden soll. Dies die Modifikation, welche die Methode der kleinsten Quadrate unter den gegenwärtigen Voraussetzungen erfahrt. 115. Um den allgemeinsten Fall zu erledigen, setzen wir in der Gleichung (13), Art. 113, Und erhalten 9 = [ah'] X C23) P _ i J ^s Wahrscheinlichkeit dafür, dass [a/c'J — A < [as] ^ [aÄ;']-{-A ist. Wenn man daher in der Gleichung (4), Art. 111, {ah'] ^n die Stelle von [ae] treten lässt und den Fehler der so gewonnenen Bestimmung (24) X = [al\ + [«&'] mit u bezeichnet, so ist (23) auch die Wahrscheinlichkeit, dass |w|^A sei. Daraus ergibt sich für einen zwischen den Grenzen u und u -]- du liegenden Betrag dieses Fehlers die Wahrscheinlichkeit M* (25) g,(ti)du= , e *c«*^'Jrfw; — 264 — mithin ist der durchschnittliche Fehler jener Bestimmung von X gleich -i/I«V]. Durch die nämlichen Schlüsse wie im vorigen Artikel erkennt man, dass das vorteilhafteste Paktorensystem «,- durch die Bedingung (26) Wx^] ein Minimum gekennzeichnet ist, und zwar sowohl in Bücksicht auf die Wahrscheinlichkeit P als auch in Rücksicht auf den durch- schnittlichen Fehler. Dieselbe Analyse, welche vorhin zur Bestimmung der Werte x, y, 0j . , , geführt hat, liefert jetzt die Werte x — lak'],. y-[ßh'], is — [y]c], .... mit dem einzigen Unterschiede, dass für die Je/' nun die Xi^ eintreten. Mithin kommt an die Stelle der Gleichung (20), Art. 114, nix - [«r]) = [^] Ä, + gg A, + [^]^3 + .... Aus den Gleichungen (19) aber ergibt sich, wenn man sie der Reihe nach mit Ä^', Ä^', h^, . . . multipliziert und dann summiert, addiert man diese Gleichung zu der vorangehenden, so wird B. = [^'-y^] A + [^+^] A, + [^] ^3 + . . . u. s. f. Mithin dienen zur Berechnung des vorteilhaftesten Wert- systems Xj y, Zj \ , . die Gleichungen P') [f] - + [7] !< + [7] ' + ■ • • - [^^ — 265 - Diese Gleichungen sind aber dieselben wie die aus der Bedingung (28) l(^~~ — ) J ®"^ Minimum hervorgehenden, welcher zufolge die Summe der Quadrate der um Tel verminderten Fehler £,-, die Quadrate mit — ^ multipliziert, ein Kleinstes werden soll. In dieser Bedingung ist der allgemeinste Ausdruck der Methode der kleinsten Quadrate enthalten. oo Gauss*) bezeichnet die Grösse h{ = 1 e,g),(«j)öf£,- als •00 den konstanten Teil des Fehlers £, ; man hat somit von jedem Beobachtungsfehler den ihm entsprechenden konstanten Teil zu subtrahieren und auf die übrig bleibenden Reste die Methode der kleinsten Quadrate in dem Sinne des vorigen Artikels anzuwenden, statt der Grössen Ä," aber die Grössen — (Ä;/' — 7^/^), oder, da es nur auf deren Verhältnisse an- kommt, die Grössen k/' — Jc/^ in Rechnung ziehend**). 116. Wenn es sich um die Entscheidung der Frage handelt, welcher von den beiden Gesichtspunkten, unter welchen Laplace den Gegenstand aufgefasst hat, den Vorzug verdient, so müsste die Vorfrage erörtert werden, ob es eine andere Art der Schätzung des Nachteils gibt, welcher mit einem Fehler verbunden ist, die zu demselben Resultate führen würde wie die von Laplace gewählte. Ist diese Frage zu bejahen, dann neigt die Entscheidung zu Gunsten des ersten, rein wahrscheinlichkeitstheoretischen Gesichts- punktes. Nehmen wir an, der Nachteil eines Fehlers u in der Bestimmung des Elementes x würde nach dem absoluten Werte von u"'- beurteilt werden, wobei m irgend eine positive, ganze oder gebrochene Zahl bedeutet, — eine negative Zahl muss ausgeschlossen werden, weil der Nachteil mit der Grösse *) Theoria combinat., art. 5. **) Vgl. ibid., art. 8. - 266 - des Fehlers wachsen mass. Dann hat man die Bestimmung von X zu beurteilen nach dem Werte des Integrals oo 1 u^(p{ii)d\ Setzt man hier für q){u)du den unter (25) des vorigen Artikels gefundenen Wert ein, so wird 00 oo und mit der Substitution ^ r „ ,-. = t weiter 4 [«2;,,«] 00 m— 1 — f* ^—^ m Die Bedingung für das Minimum dieses Wertes ist also wieder: [cc^X^] ein Minimum und bleibt es auch dann^ wenn man als Maass für den Nachteil eines Fehlers u einen Ausdruck von der Form ÄuP + Bu9 + Cu*' + • • • wählt, in welchem Ä,B,C,..., p,Q,r,.,. positive Zahlen vorstellen*). In der That also führt die Schätzung des Nachteils eines Fehlers nach irgend einer positiven ganzen oder ge- brochenen Potenz seines absoluten Wertes zu demselben Resultate wie die Benützung des einfachen Absolutwertes. 117. Der Schwerpunkt der Laplace'schen Beweisführung liegt in dem Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der mit gewissen Faktoren multiplizierten Fehler der einzelnen Beobachtungen zwischen gegebenen Grenzen ein- geschlossen sei. Die Analyse, welche zu jenem Ausdrucke führt, enthält aber einen schwierigen Punkt, welcher auch *) Glaisher, 1. c, pag. 108. . — 267 — bei Foisson und bei den späteren Geometem, die mit dieser Untersuchung sich beschäftigt haben, an der betreffenden Stelle wiederkehrt und die Frage veranlasst, ob die an- gewandten Näherungen zulässig seien, ob die durch sie ge- wonnenen Resultate nicht blosse Näherungen der Form, sondern auch Näherungen dem Werte nach sind. Mit dieser Frage hat sich Ellis*) und noch eingehender Glaisher**) beschäftigt. Wir kehren zu dem Ausdruck (6), Art. 112, zurück und indem wir g = setzen, lautet die Bestimmung der Wahr- scheinlichkeit, dass |[a«]|^A, OO 00 00 00 -P = jj ff- ■ • J9l («l)9'2(«2) • • • fPn{B„) CO OO —CO sini® cosfa«]® ,^ , ^ , Wird gC««]®]/^ an Stelle von cos \as\S geschrieben und zur Vereinfachung angenommen, dass ohne Rücksicht auf den Zeiger g),( — «,) = q>i{£i), so wird, weil dann 00 /■ 00 n «» (pi{Bi) sin aiSiSdsi = 00 ist, (1) P = I- r^ d® JJ ,[J' setzt, oo *,/ l 2n ' 24w' ) Vn ® Wäre n eine unendliche Zahl von höherer Ordnung in Bezug auf die unendliche obere Grenze des Integrals, so gäbe es keine Schwierigkeit, indem dann ll 1 } 01 auf dem ganzen Integrationsgebiete durch e ^ ersetzt werden könnte. Diese Annahme entspräche aber nicht der Wirklichkeit; n ist vielmehr eine endliche wenn auch sehr grosse Zahl. Zerlegt man den letzten Ausdruck für P in die beiden Teile 8 vi ds 1/1^-^ + -1 e OD 00 + ^ n C^iß) cos asSdsY ^^y^ d®, 8 — 00 Vn Q wobei s nur der einen Bedingung zu genügen hat, dass —=. yn eine Grösse von der Ordnung — = sei, so kann für den y n ersten Teil näherungs weise i 8 gesetzt werden; dies aber unterscheidet sich von - 270 — 00 0* . xs de * sin d. i. von (und dies ist genau der Ausdruck, in welchen sich (2) unter den gemachten vereinfachenden Annahmen verwandelt) um t/' 00 a^k" ^ 0* . X® d@ * sm V n ® ' ein Betrag, der durch entsprechende Wahl von s hinreichend klein gemacht werden kann, um neben (3) unterdrückt werden zu können. oo In dem zweiten Teil ist / q){s) cos a€&d@^ da — 00 8 während der Integration beständig grösser bleibt als , yn ein von der Einheit um einen endlichen Betrag abweichender echter Bruch; infolge dessen ist dieser Teil gleich QO 00 - I- J -g- d@<- 1- J — ^- d& = I», s Yn WO |<1, so dass er neben (3) ebenfalls vernachlässigt werden kann. Es stellt also in diesem besonderen Falle (3) thatsächlich einen Näherungswert von P dar. Als Beleg für die Zulässigkeit der Laplace'schen Approximation hat Ellis einen besonderen Fall angefahrt, in welchem P auf aüderem Wege gewonnen werden kann und das so erhaltene Resultat mit dem aus der Laplace- sehen Näherungsformel gefolgerten übereinstimmt. Glaisher hat diesen Fall wieder aufgenommen, vereinfacht und zwei weitere Fälle solcher Art hinzugefügt. Indessen liegt hierin — 271 - keine yoUkommene BestätiguDg der Analyse, da die Überein- stimmung wieder nur unter gewissen Voraussetzungen statt- findet. Wir führen nur das erste Beispiel an. Es sei nämlich 9?(«) = ö^'^*7 ^^ ^^^ obere Zeichen für ein positives, das untere für ein negatives s gilt*). Dann ist 00 00 » sin ^0 P= — / I 2 / ^"^' ^^^ as®d€ & d& OD 00 00 sin X @ , ^ dS U 00 00 ^33? ••• ^n gewisse neue Koeffizienten bezeichnen, welche hier einzeln vorläufig kein Interesse haben, und y*= 3^2 + - 'i"i-^'-^ a;, + -^11 -^22 -^12 ys = ^3 + Die Determinante der neuen quadratischen Form in den Variabein y reduziert sich auf das Hauptglied und ist -^11 -^22 C^3 * • • -^«n ; die Determinante der Substitution redu- ziert sich ebenfalls auf das Hauptglied 1, da alle Elemente zu einer Seite der Diagonale null sind; folglich ist*) (10) R = A11B22 ' • • ^nn- Durch die angegebene Transformation wird aber OD 00 00 ^—00 "^00 — QO y n yn y~7c also mit Rücksicht auf (10) n (11) X= 7C Führt man diese Bestimmung in (8) ein, so wird endgiltig n (12) f7=-^r^. 2) Mit Beibehaltung der früheren Bezeichnungen handelt es sich an zweiter Stelle um das Integral *) Baltzer, Dat., 6. Aufl., pag. 176. 18* — 276 - OO OO 00 (13) Vn= I f '" f ^n^T-" dXn clx^ " ' dXn-1 . — 00 — OO Mittels der eben benutzten Umformung von u wird, da ^n = tfn ist, 00 00 00 OO 00 V^u yB^, l/^„_l,n-l ^^nn n— 1 Es ist aber 7? Ä :^.i8_ •^11 /nr A '^is -^11-^28 -^18 '^is ^33 -^83 A A A A ^ -^11 -^11-^22 — -^12 wobei N einen von Ann unabhängigen Ausdruck bezeichnet; und da (s. (10)) dB _ JE ^Kn _ A ji T nn nn nn ^ SO bedeutet das zuletzt geschriebene Produkt die dem Ele- ment Ann adjungierte Subdeterminante von jß; bezeichnet man sie mit P»«, so wird n— 1 (14) F„ = --^^-^. Es bedarf keiner Erörterung, dass diese Formel auf jede der n Variabein x^yX^y"- Xn sinngemässe Anwendung findet. Von den Formeln (12) und (14) wird nun im folgenden Artikel und bei späteren Untersuchungen wiederholt Gebrauch gemacht werden. - 277 — 119. Aus n Fehlergleichungen der allgemeinen Form (1) f. = — ?/ + a.iC + 6.y + c,-^ + -* (i=l,2,---w) sind die vorteilhaftesten Werte der m Elemente Xjy, Zy,,. zu bestimmen; vorausgesetzt wird; dass n eine sehr grosse Zahl im Vergleich zu m sei. Man multipliziere jede der Fehlergleichungen mit einem unbestimmten Faktor «,-, dann mit j3,, mit y,-, . . . und bilde jedesmal die Summe; dadurch ergibt sich das Gleichungssjstem [as] = — \al\ + [c^d\x + {a^y + [ac\z + ••• (2) [ßs] = - \_ßl\ + [ßa-\x + [ßl^y + [ßc\z + • • • [ye] = — [yl] + \ya\x + [yh]y + [yc\z -\ welches aus ebenso vielen Gleichungen bestehen soll als es zu bestimmende Elemente gibt; die Zahl der eingeführten Faktoren ist dann mn. Legt man den linken Seiten dieser Gleichungen bestimmte .Werte bei und setzt beispielsweise (3). JE« =.[«£] = /*„, E^ = [ßa\ = iLß, i?j. = [y5]=^y, •.. so ergeben sich gewisse Werte für x, y,Zy-- ., und die Wahr- scheinlichkeit des gleichzeitigen Bestehens der Gleichungen (3) ist zugleich ein Maassstab für die Zuverlässigkeit jener Werte. Um diese Wahrscheinlichkeit zu finden, nehme man zu- nächst an, jeder Fehler Si sei nur solcher Werte fähig, welche Vielfache eines gegebenen Betrages o sind und zwischen v^cd und Vgco liegen; jeder mögliche Wert von f,- ist dann in der Form rjto enthalten, wo i] eine zwischen den ganzen Zahlen v^^ v^ liegende ganze Zahl bedeutet; um an bestimmte Vorstellungen anzuknüpfen, sei Vi'^^'^v^- Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler der i^^ Beobachtung ri(o befrage, werde mit fiiyi) bezeichnet. Der Faktor W werde so bestimmt, dass ^a,-, '^ßiy ^7^,, • • • für alle Werte des Zeigers i von 1 bis n ganze Zahlen sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass gleichzeitig (4) wEa^=ma(Oy 'üSEß = mß(o, mEy^myCn," sei, ist dargestellt durch den Koeffizienten von — 278 — in der Entwicklang des Produktes worin Gia^ijw Gfi^fjm Oy,-i?c«) 1J = Vt_ Setzt man so wird jener Koeffizient das von natürlichen Potenzen freie Glied des Produktes sein und ausgeschieden werden ^ wenn man dies Produkt, nachdem es mit dSdOdW,.. multipliziert worden, in Bezug auf diese m Variabein zwischen den Grenzen — jt und 7t integriert. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist demnach Jt 7t 1t p = ^J'jJ...Xe-^'"''^+'"ß*+'"r'^+-'^'d&d^dW.:. — 3t — 7t — Ä Wird ma(o = fta'SJ', mß(D == fifi^ y niy(o = fty« , • • • und gesetzt, so kommt, wenn man co unendlich klein werden lässt und dadurch ausspricht, dass der Fehler et aller zwischen den ihm eigentümlichen Grenzen liegenden Werte fähig sei, 00 00 00 p={^)yjf---Xe-<^''''+''fi''''+''r'^-+-"^^-'d&d^dW'.... —00 —00 —00 Weil aber m«, m^, niy^ ... als ganze Zahlen die Einheit zur kleinsten Änderung haben, so ist — = d^a = d^ß = d(iy = . . ., und unterdrückt man den Accent bei 0\ 0\ W, . . ., so wird CO 00 oo j' r j'.--Xe-^''^ + ''l>'^ + "r'''+-^^^'d&d^dW.-- -OO — oo — QO die Wahrsclieinlichkeit, dass zu gleicher Zeit f«/S ^ ^/? ^ f*/9 + d^ß [ly .< JEy < flj, + d^y Es erübrigt noch^ X in den Grössen darzustellen, welche der letzte Ausdruck für p ausser X enthält. Es sei weil die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Betrages i^gj mit CO zugleich unendlich klein wird, so sei ferner dann ist, nach Ausführung derselben Transformationen, ffl Setzt man also (6) I ^i{^) cos ti€ da = Qi cos 9", (7) yi I ]y). Mithin ist, anter gleichzeitiger Ersetzung von J.j,, ^g^^-^is durch die Werte aus (11), Art. 120, JiCf„ = [^z*][aa]« - 2\_aßx^][aa\\ßd\ + Wf][ßaf HCn = [/S*f ][««][«&] - Wß%%Wci\\m + [«&][^«]) + [a*Z*][^«][^6] SC,, = [/3*z*J[«6]« - 2[aß%^][ah-\[ßh] + Kz*][|J6]^; weiter hat man -L = CiiC22 C/jg , in = G22, und vermöge (21), Art. 120, yii_^yii^JgC^88_ [P'y^[«^>?-2 [«P; K^][«&][P&] + [«V][P&]' T z^»" ^» ([«aJLP&] -[«&][?«])* CT Dies aber stimmt mit dem bei Laplace mit — ^ ^^' zeichneten Ausdrucke (s. Artikel 109) überein, wenn man wie dort für alle Beobachtungen dasselbe Gesetz annimmt und X = 1 setzt. Die Ausführung der Bedingung: -— ein Minimum, gibt WO M eine Konstante bezeichnet, und hiermit erhält man auf Grund von (16), Art. 120, die zur Bestimmung der vor- teilhaftesten Werte der Unbekannten dienlichen Gleichungen in Übereinstimmung mit den Gleichungen (27), Art. 115. - 286 122. Das am Beginn des Art 118 angezogene Laplace'sehe Resultat, welches die obige Analyse nebenher liefert, ergibt sich in folgender Weise. Führt man die vorteilhaftesten Faktorensjsteme ein, so fallen (mit Jf = 1) die Koeffizienten der Gleichungs- systeme (14) und (17), Art. 120, in das eine System zusammen '11 T-^i A — T— 1 Ä — r^^ 66- hc-\ -^21 — -^12 y -^22 "== L"p'J ; -^23 — I "IfJ ; • * • A 31 A 13 > -^82 -^3 > -^33 = I ^J y ' ' ' und es wird somit, da die linken Seiten beider Gleichungs- systeme ebenfalls übereinstimmen, ?i==^'; i% = y'> S3 = ^S •••; infolge dessen hat man weiter ^=^11 Sl' + ^2 £2^+^33 ?3' + - + 2^12&£2+2^13ei?3 + - und vermöge (18), Art. 120, da nun ah B = J = raa-\ f^^l f^^ lfJ' lfJ' lfj' ■■■ [&a-| r^^"| r^n fJ' LfJ' lfJ' ■■ [ca-| r^^n r^^l FJ' LfJ' LFJ' '" geworden ist, drückt (23) P = 7^^^e'^\ ^i / dx'dy'dz+''* {^Y^T die Wahrscheinlichkeit aus, dass den vorteilhaftesten Be- - 287 — Stimmungen oo^y^^, 0^j ... der Elemente zu gleicher Zeit die Fehler x'y y\ z\.., anhaften*). Dies ist das von Laplace an der betreffenden Stelle**) ohne Begründung angeführte Resultat, mit dem Unterschiede, dass nach seiner Voraussetzung positive und negative Fehler gleichen Betrages gleich wahrscheinlich sind, weshalb Ä/=0 und %^ = V ^A ^^^ ^^^s ^^ Beobachtungen demselben Ge- setze unterliegen, weshalb Tel' unabhängig ist von i. Den konstanten Faktor - — ^izv— hat Laplace, als für seinen Zweck irrelevant, nicht angegeben. Wir wollen indessen zeigen, dass sich das obige Resultat bei Laplace vollständig vorfindet, wenn es dort auch nur für den Fall zweier Elemente und unter den eben angeführten Einschränkungen nachgewiesen werden kann. Dabei wird sich Gelegenheit bieten, den Zusammenhang zwischen den Formeln bei Laplace und den gegenwärtigen herzustellen, beziehungsweise ihre Übereinstimmung zu zeigen. In Gleichung (8), Art. 109, wurde als Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit gefunden, dass den beiden zu bestimmenden Elementen gleichzeitig die Fehler w, V anhaften. Für die vorteilhaftesten Faktorensysteme wird (s. die Gleichungen (10), (5), (6), (7) des citierten Artikels) mit Jf=l F = \aä\ [ \ad\ [66] — [«6]^ } , G = [al]{iad\\bh] — [ahf}, jff=[66]{[aa][66]-[a6p}, E = z/ = [aa] [66] - [a6p, mithin ■ — ^ — ' = [aa\u^ + 2[ao\uv + [66] t;* *) Vgl. den Schluss des Art. 191. **) Theorie analyt. des Probab., pag. 539 nat. edit. - 288 ~ ferner ist in Laplace'schen Zeichen gx = l, 2g^K' ^=k'\ Daher geht der obige Ausdruck über in und dies ist genau dasselbe^ was die Formel (23) für den Fall zweier Elemente und unter den erwähnten Einschrän- kungen angibt. § 5. Zweiter Beweis von Gauss. 123. Die Laplac ersehen Untersuchungen, so merkwürdig in ihren Resultaten, bauen sich auf einer Voraussetzung auf, welche in der Praxis nur in seltenen Fällen erfüllt sein wird; während nämlich hier die Anzahl der Beobachtungen zumeist nur eine massig grosse ist, setzen jene Untersuchungen eine „sehr grosse*' Anzahl von Beobachtungen voraus. Bei der Unbestimmtheit des Begriffes einer „sehr grossen" Zahl bleibt es daher zweifelhaft, ob in einem gegebenen Falle jene Voraussetzung so weit erfüllt ist, um den Resultaten die Bedeutung und die Eigenschaften beimessen zu können, welche ihnen die Theorie zuschreibt. Hierzu kommt noch die Schwierigkeit und Umständlichkeit der Analyse. Diese beiden Mängel sind von Gauss in dem zweiten Beweise, welchen er für die Methode der kleinsten Quadrate gegeben hat*), in der glücklichsten Weise vermieden worden. Durch diesen Beweis ist mittels einer von jeder Schwierig- keit freien Analyse dargethan worden, dass die Methode der kleinsten Quadrate allen andern linearen Kombinationen der Fehlergleichungen vorzuziehen ist, welches auch die Anzahl der Beobachtungen und wie auch das Gesetz beschaffen sei, welchem der Fehler der einzelnen Beobachtung unterliegt, wenn nur jeder Beobachtungsfehler von systematischen Teilen befreit ist, so dass positive und negative Beträge gleicher Grösse gleich häufig erscheinen. Der Gedankengang dieses zweiten Beweises ist im Wesen derselbe, welcher der zweiten von Laplace gewählten Methode *) Theoria combinat. observai, pars prior; 1821. - 289 - zu Grunde liegt. Aber in der Art der Beurteilung des Nach- teils, welcher mit einem Fehler verbunden ist, gehen beide Geometer auseinander. Während Laplace diesen Nachteil, oder wie Gauss ihn treffend nennt, das Moment des Fehlers seinem absoluten Betrage gleich setzt, wählt Gauss dafür das Quadrat des Fehlers (s. Artikel 8 und 9). Willkür- lich ist die eine Annahme gewiss ebenso wie die andere. Die Vernunft fordert nur, dass das Moment eines Fehlers durch eine mit ihm wachsende, mit ihm zugleich ver- schwindende und von seinem Vorzeichen unabhängige (be- standig positive) Funktion dargestellt werde. Diesen Be- dingungen entsprechen beide Annahmen; die zweite gewährt den Vorteil, dass sie das Moment durch die einfachste stetige Funktion ausdrückt, welche die verlangten Eigen- schaften beöitzt, und hierin liegt der wesentliche Grund, warum sie der analytischen Behandlung weit geringere Schwierigkeiten darbietet als die erste. Der ersten Annahme zufolge wächst das Moment ebenso wie der absolute Betrag des Fehlers, der zweiten zufolge wie sein Quadrat: wenn hiernach die zweite Annahme den Nachteil grosser Fehler weit höher anschlägt als die erste, so kann dieser Umstand, wiewohl die Entscheidung denn doch dem freien Ermessen überlassen werden muss, eher zu ihren Gunsten gedeutet werden*). *) Über diesen Punkt sowie über die Gründe, welche ihn bewogen liaben, von der ersten Begründung der Methode der kleinsten Quadrate abzugehen, spricht sich Gauss in einem vom 26. Februar 1839 datierten Briefe an Bessel (anlässlich dessen „Untersuchungen über die Wahr- scheinlichkeit der Beobachtungsfehler'*, s. Art. 38) wie folgt aus : „Dass ich übrigens die in der Theoria Motus Corp. coel. angewandte Meta- physik f^r die Methode der kleinsten Quadrate späterhin habe fallen lassen, ist vorzugsweise auch aus einem Grunde geschehen, den ich selbst öffentlich nicht erwähnt habe. Ich muss es nämlich in alle Wege für weniger wichtig halten, denjenigen Wert einer unbekannten Grösse auszumitteln, dessen Wahrscheinlichkeit die grösste ist, die ja doch immer nur unendlich klein bleibt, als vielmehr denjenigen, an welchen sich haltend man das am wenigsten nachteilige Spiel hat; oder wenn fa die Wahrscheinlichkeit des Wertes a für die Un- bekannte X bezeichnet, so ist weniger daran gelegen, dass fa ein Oxuber, Theorie der Beobaobtunggfehler. 19 — 290 — 124. Bezeichnet s den Fehler in der Bestimmung einer Grösse und (piß) da die Wahrscheinlichkeit, dass sein Wert zwischen den Grenzen s und e '\- de liege, so nennt Gauss, gleichgiltig welcher Natur die Funktion q> (a) sei, die Grosse Yk" , welche sich aus k 00 fr = I a^q)(€)di •00 ergibt, den mittleren Fehler jener Bestimmung und setzt fest, dass die Genauigkeit der Bestimmung umgekehrt proportional sei |/A", während eine dem Je" umgekehrt pro- portionale Grösse als Gewicht der Bestimmung bezeichnet wird*). Diese Begrifife sollen zurecht bestehen, ob die Bestim- mung aus einer unmittelbaren Beobachtung hervorgegangen oder aus Beobachtungen durch Rechnung abgeleitet worden ist. Liegen mehrere Bestimmungen vor und sind k^\k^'jh^\.»^ die mittleren Werte ihrer Fehlerquadrate, so hat man, um ihre relativen Gewichte j)i,|)2»P8; ••• zu erhalten, eine Be- stimmung, deren mittleres Fehlerquadrat einen bestimmten Wert i" hat, als Gewichtseinheit anzunehmen; es ist dann *" = KPi = KP2 = KPz ="' Die Annahme 1^ _ J_ _ j_ A/J K^ Ä/g insbesondere entspricht einer Gewichtseinheit, deren mittlerer Fehler die Einheit ist, in welc^ier man die Fehler ausdrückt. Maximum werde, als daran, dass ifay' F{x — a)dx ausgedehnt durch alle möglichen Werte des x ein Minimum werde, indem für F eine Funktion gewählt wird, die immer positiv und für grössere Argumente auf eine schickliche Art immer grösser wird. Dass man dafür das Qaadrat wählt, ist rein willkürlich, und diese Willkürlichkeit liegt in der Natur der Sache. Ohne die bekannten ausserordentlich grossen Vorteile, die die Wahl des Quadrats gewährt, könnte man jede andere jenen Bedingungen entsprechende Funktion wählen . . .'* Briefwechsel zw. Gauss und Bessel, 1880, pag. 623. *) Vgl. Art. 48 und 49. — 291 — 125. Aus n FehlergleichuDgen der allgemeinen Form (1) Si = — Zf + üiX + hy + Ci0 + ••• (i= 1, 2, ••• w) sind die vorteilhaftesten Werte der m (< w) Elemente x,y,z^,,, zu bestimmen. Man multipliziere jede Fehlergleichung mit einem un- bestimmten Faktor a,-^ bilde die Summe (2) [af] \al] + [aa]a; + [«6]2/ + [«c];^ + • • * und unterwerfe die w Faktoren «,- den m Bedingungen (3) [cm] = l, [a6]=0, [ac] = 0, ••.; dadurch reduziert sich die Gleichung (2) auf und gibt; wenn man [aa] = setzt ^ für das Element x die Bestimmung (4) X = [aq mit dem Fehler (5) u = [aa]. Unter allen Bestimmungen, welche auf diesem Wege er- halten werden können, verdient jene den Vorzug, für welche der mittlere Wert von u^ am kleinsten ist. Um diesen mittleren Wert JcJ' zu erhalten, hat man die Wahrscheinlichkeit jeder möglichen Wertkombination der n Fehler €]^,£2»«« ^n mit dem aus dieser Kombination ent- springenden Werte von u^ = [aa]^ zu multiplizieren und die Summe aller so gebildeten Produkte zu nehmen. Es sei ^i(jBi)äai die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler der i*®° Beobachtung zwischen f,- und £, + ^^» li^g^J ^i© Funktion (pi möge die einzige Bedingung erfüllen, dass 9,( — a) = 9),(£). Dann ist 00 OD OO (6) JcJ'= I f "* f [««] Vi (^i)9^2(«2) • • • ^n{£n)dsj^ da^" ' dan* — OD-^flO ^—00 Da aber [aaf = [a^a^] + [«.•«,•'£,£,-] , (i ^ i') so zerfallt das obige Integral in eine Summe von n Gliedern, deren erstes 19* 292 - CO OO 00 00 00 «^00 00 ist und den Wert a^^Ä/' hat, weil l q)i{£^dEi = 1 ist, und '00 in eine Summe von n{n — 1) Gliedern, deren erstes 00 00 OO 00 «1«2 / ^l9^l(0^^l / ^292(^2)^^2 / 93(^3)^*3 ••• / 9»(^n)rf«n — 00 — 00 — 00 — 00 ist und verschwindet wie alle übrigen, weil 9,(f») eine gerade Funktion ist. Mithin ist (7) TzJ' = [a^r]. Um daher die mit dem kleinsten mittleren Fehler behaftete Bestimmung von x zu erhalten, ist das System der Faktoren «,- derart zu bestimmen, dass (8) [a^Ä"] ein Minimum werde. Hiermit sind wir bei derselben Bedingung angelangt, welche sich in Art. 114 aus dem Laplace' sehen Prinzip ergab; folglich gelten auch die weiteren dort gefundenen Resultate. Das Ergebnis dieser Untersuchung kann in dem Satze zu- sammengefasst werden: Unter allen linearen Kombina- tionen der Fehlergleichungen gibt diejenige, welche die Methode der kleinsten Quadrate vorschreibt, solche Bestimmungen für die unbekannten Elemente, bei welchen die kleinsten mittleren Fehler zu be- fürchten sind oder denen die grössten Gewichte zu- kommen, gleichgiltig, welchem Gesetze der Fehler der einzelnen Beobachtung folgt, wenn er nur von systematischen Teilen frei ist, und wie gross die Anzahl der Beobachtungen ist. 126. Bei der jetzt befolgten Analyse bietet sich aber auch ein einfaches Mittel dar, die mittleren Fehler in der Bestimmung der Elemente, beziehungsweise ihre relativen — 293 — Gewichte zu berechnen. Um dies zu zeigen, nehmen wir die Gleichungen (17), (18), (22) des Artikels 114 wieder auf mit dem Unterschiede, dass wir die dort mit q^, q^^ Ö'a? ••• bezeichneten Multiplikatoren g^', q^^y Ö'is'; • • • nennen. Hiernach ergeben sich die Faktoren «,, welche der Be- dingung (8) des vorigen Artikels entsprechen, aus den Glei- chungen *r«i = ^i>i + 212' ^ + Ö'is'ci H — (9) ifc/'a2 = ^11' «2 + ^1/^2 + ^13' ^2 H wenn die Grössen g^/, g^/, g'^g', .. . aus den Gleichungen (10) o = B#],,/ + [3,,; + LA^],.3' + --- bestimmt worden sind; und die vorteilhaftesten Werte der Elemente sind aus den Gleichuugen U"J^^ U"J2'^ U"J^^ U"J ZU rechuen. Multipliziert man die Gleichungen (9) der Reihe nach mit A7, -ipij -r^, ••• und bildet die Summe, so ergibt 1 S 8 sich im Hinblick auf (4), Art. 125, (12) X = [^] q^; + [j^] q,i + [;f^] g^/ + • • • ; multipliziert man dieselben Gleichungen der Reihe n^^ch mit «1, 0^2; «3; ••• und summiert sie, so erhält man vermöge der Gleichungen (3) und (7), Art. 125, (13) Wr^ =. K' = q,l, ' - 294 — Wird derselbe Vorgang mit Bezug auf das Element y mit einem Faktorensystem ßi wiederholt^ so kommt man zu den Gleichungen K'ßi = 22i'«i + 222'^! + fts'^ H — (9*) V'ft = 221' «2 + Qiih + 223'^ -I K'ßs = 22/ «3 + 222'^ + 223'^ -I — in welchen die Grössen jg/j 222'? 228'> • • • bestimmt sind durch ^ =^ [P] ^ai' + U^] 222' + M 223'+ ••• (10*) 1 = [|^]22/+[|^]222'+H223'+- = P] «2/ + \ß] 222' + \P] 223' + • • • während sich wie vorhin (12*) y = [p] q^; + [^] 222' + [ß-] 223' + - • und (13*) [^*"] = Tcy" = g,/ ergibt. Unter Anwendung eines weiteren Faktorensjstems yi zum Zwecke der Bestimmung von e erhält man die ent- sprechenden Gleichungen KYi = «31' «1 + Ssü'^i + iiz^i H — (9**) Kn = 38i'«2 + itih + «s»'«^ H — = ß^] ?3.' + E'-] ?82' + IJ^] Sas' + • • • (10**) = [|#]s3/+[|^] ] 2s»' + p] «33' + • " (12**) , = [^]g3/ + [^]g3,' + [|*.]gV+... (13**) [y«Ä"] = Ä." = ^33'. — 295 - Die Resultate (12), (12*), (12**) würden aber notwendig auch erhalten werden, wenn man das System (11) der Normal- gleiehungen auflöste derart, dass die Unbeftannten rr, j/, ^, . . . als lineare Formen der absoluten Glieder erscheinen (die sogen, unbestimmte Auflösung der Normalgleichungen), Stellt man demnach die Lösung der Gleichungen (11) in der Form y = H fti' + [j^] i^ + H ?2s' + • • • dar, so sind die die Quadrate der mittleren in diesen Bestimmungen zu befürchtenden Fehler ^« = Sil ; J^y = 0^22'; ^« = ?3s > * • ' • Es mag bemerkt werden, dass die q' mit nicht-quadra- tischem Index paarweise gleich sind in dem Sinne, dass Qik == Qki- Es folgt dies einmal aus ihrer algebraischen Be- deutung als Subdeterminanten einer symmetrischen Determi- nante. Man erkennt es auch leicht, wenn man beispielsweise die Gleichungen (10) der Reihe nach mit q2i) Q22, ^23, "> multipliziert und hierauf unter Rücksichtnahme auf (10*) addiert; es wird 221 == 3^12 u. s. w. Aber auch aus der fehlertheoretischen Bedeutung der Grössen g' wird diese Beziehung sofort klar. Zunächst ist, wie schon gezeigt worden, q[i das Quadrat des mittleren Fehlers von X] aus den Gleichungen (9*) folgt mit Rück- sicht auf die Beziehungen (3), Art. 125, dass 221 = ^12 = [ccßV]] dies aber ist der mittlere Wert von [«£][/?£], also der Mittel- wert des Produktes der in den Bestimmungen von x und y begangenen Fehler. In gleicher Weise bedeutet qis oder q^i den Mittelwert des Produktes der Fehler in x und u. s. w. Aus diesen Bemerkungen geht hervor, dass — 296 - [a«Ä"], [aßk"], [«y/c"], ... und gu, q^, gis, .. r/5«*"], [ßßJc'W, [ßyk"], ... ^ ^21, ^22, ^23, .. [yalc''], [yßk"\, [yyh"], ... gsi, g^, ö'ss, .. zwei äquivalente Grössensysteme sind. 127. An Stelle der Quadrate der mittleren Fehler fc/', h^y Jc^'\ . . . der einzelnen Beobachtungen können aber auch ihre relativen Gewichte PijP2,p^, ..., bezogen auf eine Gewichtseinheit, deren mittlerer Fehler fc" zum Quadrat haben möge, eingeführt werden; wenn iman die auf diese selbe Gewichtseinheit bezogenen Gewichte der Elemente mit PxyPyjPzy '•' bczcichnet, so bestehen zwischen den genannten Grössen die Gleichungen (14) PiÄ/' = p^lc^' = i)3 Äg" = . . . = Ä;" = Pxkx' = Vyky' = pM' = • • • . Das System der Normalgleichungen, (11), Art. 126, wandelt sich dann um. in [paa]x + [pab]y + [pac\z -}-••. = \jpal\ (11') \_phd\x + [p^^y + [phc]^ + ••• = [phT\ \pcä\x + [pc'b']y + [pcc]0 -!-••• = [P<^^ ) setzt man ferner so gehen die Gleichungen (10), (12), (13), Art. 126, über in 1 = [paajgii + [pah]q^2 + [pac\q^^ H (10') = |>6a]gii + [pl^in + [i>6c]«i3 -\ = [pcd\q,^ + I>c6]3i2 + [i>cc]2i3 H (12') 'x = [paT\q,^ + [pU\q^2 + [pc^q^^ ^ (13-) r [^] = hj' = r^,, und eine ähnliche Umgestaltung erfahren die Gleichungen (10*), (12*), (13*); (10**), 12**), (13**) u. s. w. - 297 - Aus (14) aber folgt ,,t = — , mithin ist (14') 2u=~ Stellt man also die Lösung der Gleichungen (11') unter die Form y = [pal]q2i + [pil]q22 + [pcl]q2s H so sind die reciproken Gewichte dieser Bestimmungen 1 _ 1 _ 1 _ p Qu 7 ^ 9'22 ; ^ 233 ? • • • und die Quadrate der mittleren zu befürchtenden Fehler hx = k q^i , ky = k q^^ y kz = k q^^ ^ • • • . Vermöge dieser Bedeutung der Grössen ö'n; ^'22? ö'ss; •• • nennt man die Gleichungssysteme (10') und die analogen (nicht angeschriebenen) (10'*), (10'**) die Gewichts- gleichungen für die Unbekannten x^ y, 0^ . , . beziehungs- weise. Es bedarf kaum der Erwähnung^ dass zwischen den Grössen q ähnliche Beziehungen existieren wie sie zwischen den q sind nachgewiesen worden. Insbesondere sind nun [y]^ [y\> [j]'-' "^^ ^11' ^12, Qis7"- LyJ' LyJ' L"/J'**' ^'^1' *22; 223; ••• cfi' l~p~\> ifv ' ' * ^3u fe, ?33» • • • äquivalente Grössensysteme. Sind die Beobachtuugen von gleicher Genauigkeit und gilt eine einzelne als Gewichts- einheit, so lautet die Nebeneinanderstellung einfacher — 298 - [««], Wß], [ay], ••• ^nd Qiu 2i2, fi'is; • • • [/5a], [ßß], [/3y], ... ^21; Ö22; fcs;--- b«], [y/3], [yy], ..• &i, fo; fes;--- 128. Für die Gleichung (6), Art. 125, welche dort in zureichender Weise begründet worden ist und einen speziellen Fall des allgemeinen Satzes darstellt, den Gauss im Art. 13 der Theoria combinat. observ, aufgestellt hat, ist von Glaisher*) eine Begründung gegeben worden, welche die Beziehungen zwischen der Laplace' sehen Analyse einerseits und der Gauss'schen andererseits deutlich hervortreten lässt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von [as] zwischen den Grenzen u und ti + du eingeschlossen sei, mit il;(u)du bezeichnet, hat man (1) JcJ'= ru^t{u)d OD 00 Nun ist aber jl;(u)du= ff f 9l(^l)9^2{h)-"9^n{£n)d£id£^'"dSny wfenn die Integration über das Wertgebiet (2) u ^ [as] ^u -\- du ausgedehnt wird. Mit Hilfe des zu Artikel 33 abgeleiteten Diskontinuitätsfaktors OD "— / COS ([««] — u)&d&, welchem die Eigenschaft zukommt, der Einheit gleich zu sein oder zu verschwinden, jenachdem die Relation (2) er- füllt ist oder nicht, kann aber der Ausdruck für tl;(u)du auf die Form GO OD OO xl;{u)du=-- I ••• / I (pi{€^)'"g)n{£n)oos(las]—u)@dsi'-dend& — 00 — OO gebracht werden. Setzt man dies in die Gleichung (1) ein, so wird *) Mem. of the B. Astron. Soc, XXXIX, pag. 109 flg. — 299 — 00 00 CO 00 lix^— I ••• I (Pi(si)'"q)n{6n)dsj^'"d€n 1 1 u^ COS {[ae]—u)@d&du, 00 00 — 00 Nach Fourier's Theorem ist aber 00 . oo — 00 folglich — I l %(? cos ([«£] — u)®d®du = \aa\^y oo 00 CO (3) Äx" =//•••/ [« efVi (^i) 92 («2) • • • 9« {^r)ds^ c?£2 • • • de^ — 00 — 00 — 00 übereinstimmeud mit der ia Rede stehenden Gleichung des Artikels 125. Allgemein ist der mittlere Wert von m"* = [aa]"* 00 oo 00 (4) 'kj^'^)= 1 /••• j [a£Y9l{^l)9%{ß2)'"9n{^r)d£^d£^"'dBn -oo —00 —00 und in derselben Weise wird der Mittelwert irgend einer Funktion E der Fehler s erhalten, wenn man in dem Integral der rechten Seite von (3) E au die Stelle von [ae^ treten lässt. BeiLaplace muss, vermöge der ünstetigkeit der Funktion |[aa]|, welche ihm als Moment des Fehlers u dient' ^(t()c?w für sich bestimmt werden, ehe an die Berechnung von OD 1 Ulf; (u) du geschritten wird. 129. Die Nebeneinanderstellung der beiden Beweise, welche Gauss für die Methode der kleinsten Quadrate ge- geben^ muss auf den ersten Blick überraschen und die Frage nahe legen, wie es möglich sei, dass aus so wesentlich ver- schiedenen Voraussetzungen und Prinzipien dasselbe Resultat hervorgehen kann. Während der erste Beweis auf ein ganz ^ezielles Fehlergesetz sich gründet, macht der zweite von der Natur dieses Gesetzes sich so weit frei, dass er nur die eine Voraussetzung benötigt, das Gesetz sei durch, eine ge- rade Funktion dargestellt. — 300 - Bertrand*) hat gezeigt, dass die Annahme über die Fehler, welche Gauss im Art. 18 der Theoria combin. observ. aufgestellt hat, ausreicht, um diesen scheinbaren Widerspruch aufzuklären. Die Fehler werden an der be- rufenen Stelle als so klein vorausgesetzt, dass man ihre Quadrate und Produkte den ersten Potenzen gegenüber ver- nachlässigen darf. Gleiche Genauigkeit der Beobachtungen vorausgesetzt und die Methode der kleinsten Quadrate vorweggenommen, soll dem Prinzipe des ersten Beweises gemäss das Produkt ein Maximum werden, wenn ^1^ + h^ A 1- «n^ ein Minimum ist. Demzufolge muss jenes Produkt so lange konstant bleiben, als diese Summe denselben Wert behält, oder es muss 9'(«i)9'(«») • • -Vi^n) = F{s,' + «3« + . . . + O sein, und diese Funktionalgleichung führt zu (l) {^l)9i^i)'-'P(^n)d£idSi-dSn, — OO — OO — OO dessen Wert sich, wie man leicht erkennt, auf 00 ff (2) i'a\{E)de = Tc' — 00 reduziert. Der wirklich beobachtete Wert von kann; jenachdem der Zufall es fügt, ebenso wie der be- obachtete Wert des einzelnen Fehlerquadrates grösser oder kleiner sein als dieser Mittelwert, aber der Unterschied beider wird nach den Grundlehren der Wahrscheinlichkeits- rechnung mutmaasslich um so kleiner sein, je grösser die Anzahl der Fehler, weil man dann mit um so mehr Recht Csaber, Theorie der Beohachttingsfehler. 20 — 306 - erwarten darf, dass die Fehlerquadrate, welche unter dem mittleren Wert Tc" liegen, aufgewogen werden durch solche, welche ihn überschreiten. In Ermangelung einer weiteren Kenntnis der Sache setzt man den mittleren dem aus der Beobachtung hervorgegangenen Wert gleich und erhält so zur Bestimmung des Quadrates des mittleren Fehlers einer Beobachtung die Gleichung (3) r = M . Bezeichnet wieder n die Anzahl der Beobachtungen, a,- den unbestimmten Fehler der i*®^ Beobachtung, q>i(Bi) das Gesetz, welchem er unterworfen ist, jp,- das relative Ge- wicht dieser Beobachtung, so ist der mittlere Wert von ausgedrückt durch das Integral -CO OO 00 welches sich aber auflöst in die Summe einfacher Integrale OD (5) « FV *i*^i(*i)^*i OD 00 00 + P2J B^^(p^{E^dE^ -\ 1"^« / ^nVn(Bn)d6n^^ , • 00 — 00 TXT , 1 PlK-VP^K-^ VPnK deren Wert gleichkommt ; bezeichnet aber Ä" das Quadrat des mittleren Fehlers einer Beobach- tung vom Gewichte Eins, so ist j9ifci"=j92 V="*=|)»fcn"=Jfc", jener Mittelwert ist also gleichbedeutend mit h". Setzt man wie oben diesen Mittelwert dem aus der Beobachtung wirklich hervorgegangenen Werte der betrachteten Funktion gleich, so bekommt man -zur Bestimmung des Quadrats des mittleren Fehlers der Gewichtseinheit die Gleichung (6) r = t?^ • — 307 — 135. Wenn aber, wie es in der Praxis immer der Fall sein wird, nicht die Beobachtungsfehler a,-, sondern diejenigen Korrektionen (scheinbaren Fehler) A,- bekannt sind, welche an den Beobachtungen angebracht werden müssen, um die Fehlergleichungen vereinbar zu machen mit denjenigen Werten der Elemente, welche die Methode der kleinsten Quadrate geliefert hat, dann ist die Aufgabe einer solchen direkten Losung nicht fähig. Die Lösung, welche Gauss*) für diesen Fall gegeben, gründet sich auf das merkwürdige algebraische Theorem, dass sich die Summe der Quadrate der scheinbaren Fehler, d. i. [XX] im Falle gleich genauer Beobachtungen, oder die Summe [pkk] im Falle von Beobachtungen ungleichen Ge- wichtes als quadratische Form der Beobachtungsfehler t-i mit vollkommen bestimmten Koeffizienten darstellen lasse. Durch Anwendung des Prinzips, den mittleren Wert dieser quadratischen Form ihrem wahren und bekannten Werte [AA], beziehungsweise |j9AA], den er, jenachdem der Zufall es fügt, ebensowohl über- als unterschreiten kann, gleich zu setzen, ergibt sich eine Bestimmung für den mittleren Fehler einer Beobachtung, beziehungsweise der Gewichtseinheit. Den Beweis des erwähnten Theorems führen wir für den allgemeineren Fall ungleicher Gewichte und nach einem Verfahren durch, welches zugleich eine von der früheren ab- weichende Darstellung des ganzen Problems in sich schliesst. 136. Jedes System von Änderungen e,-, welche man an den Beobachtungen k anbringen kann, um die n zwischen den letzteren und den m (< n) unbekannten Elementen x^ y, 0, ... bestehenden Gleichungen (1) O=—{li'{-ei)-\-aiX'{-hiy-\-Ci0-] — , Gewicht jp,-, (i=l,2,---n) vereinbar zu machen, genügt n — m = v linearen Glei- chungen, deren Koeffizienten völlig bestimmt sind durch die Koeffizienten ai,hi, Ci, .., und die Beobachtungsresultate Z,-. Man erhält diese Gleichungen durch Elimination der m Grössen a?, y, je?, ... zwischen den n Gleichungen (1); sie seien *) Tbeoria combiaat. observ., pars poster., art. 38. 20* — 308 — (2) B^e^ + B^e.^ H [- 5«^« = w^ JV^ei + J^2^2 -| h ^nen = ^v . Aus dem Bau der Gleichungen (1), insbesondere aus der Art und Weise, wie Z,- und e, mit einander verbunden sind, geht hervor, dass die Grossen — w^^, — W2, ... aus den Grössen l^, ?2 7*" ebenso zusammengesetzt sind wie M^i^M^g?»- aus den Grössen €1,62,..., so dass — Wi = AJi+ A2I2 H h ÄJn u. s. w.; sie drücken die Widersprüche aus, welche zwischen den Beobachtungsergebnissen infolge der ihnen anhaftenden Fehler bestehen und sind demnach, gute Beobachtungen vorausgesetzt, kleine Grössen; sie verschwänden völlig, wenn die Beobachtungen fehlerfrei oder trotz der ihnen anhaftenden Fehler durch Zufalls Fügung widerspruchsfrei wären. Dem Gleichungssystem (2) genügen notwendig auch die Substitutionen (3) ei = ei und (4) ei = ki, unter den unendlich vielen möglichen Systemen e,- ist das besondere System ki dadurch ausgezeichnet, dass es die Summe [jpee] in Bezug auf die Grössen a?, j/, je?, ... zu einem Minimum macht; dies aber bedeutet so viel, als dass für dieses System die Summe [pee\ unter Erfüllung der v Be- dingungsgleichungen (2) zu einem Minimum wird. Das System A,- ist demnach mit demjenigen System e< identisch, welches die Funktion \jßee\ — 2\{\_Ae'\—w;)'-2'k2{{Be'\-W2) 2'kr{\Ne\--w,) zu einem absoluten Minimum macht. Daraus folgt PiAi = A^\ + BJc2 H h N^K (5) P2h = A\ + ^2*2 H h -^2ÄV PnK = An\ + Bnk^ H h NnKf — 309 — wobei die v Multiplikatoren Tc^^h^, .,.1cy mit Rücksicht auf die Gleichungen (2), (4) aus dem Gleichungssystem [f]*.+[f]^+-+[f^]^-». zu bestimmen sind. Multipliziert man die Gleichungen (5) der Reihe nach mit A^, Ag, .. . A„ und bildet die Summe, unter Beachtung der Gleichungen, welche aus (2) durch die Substitutionen (4) hervorgehen, so erhält man (7) [pXX\ = \w^ + ^2^2 + • • • hvWv- Vermöge der Gleichungen (6) sind k^,!:^, ...Ic^ als lineare Formen der w^, w^, .,. Wy darstellbar; die rechte Seite von (7) ist somit eine quadratische Form der Wi. Da femer w^yW^, ."Wy aus den Gleichungen (2) durch die Substitu- tion (3) als lineare Formen der a, hervorgehen, so ist schliesslich die rechte Seite von (7) eine quadratische Form der Bi mit bekannten Koeffizienten, womit das erwähnte Theorem von Gauss erwiesen ist. Aus (7) ergibt sich eine andere Darstellung für [pXl] wenn man an die Stelle von w^, W2y.Wv die Werte aus (2), (3) einsetzt; es wird nämlich [pn-\ = {A,\ + B,h, + . . • + N,h)B, + {An\ + Bnk^ H h Nnkv)Br, , d. i. im Hinblick auf die Gleichungen (5) Wie schon erwähnt, enthält der obige Vorgang eine neue Lösung des Problems. Hat man nämlich durch Elimi- nation der Elemente x, y, is, . , . aus dem System (1) das System (2) der Bedingungsgleichungen abgeleitet und mit Hilfe der Koeffizienten dieses letzteren das System (6) — 310 — der Normalgleichungen gebildet, hierauf die Grössen \,Tc^, , . ,Tcv — die Korrelaten — bestimmt, so ist alles gegeben, um aus den Gleichungen (5) — den Korrelaten- gleichungen — diejenigen Werte der A^, Ag, ...A„ zu be- rechnen, welche in (1) an die Stelle von ^i, ßg, ... Cn gebracht diese Gleichungen widerspruchsfrei machen, so dass m be- liebige unter ihnen geeignet sind, die Werte der Elemente a;, y, j8f, ... zu bestimmen; und diese Werte sind die nämlichen, welche die Methode der kleinsten Quadrate liefert. Indessen gibt es eine Form des Problems, bei welcher die Gleichungen (2) unmittelbar gegeben sind als eine Folge- rung der theoretischen Bedingungen, welchen die beobachteten Grössen genügen müssen. Alsdann ist mit der Berechnung der Aj,A2,...An die Aufgabe insofern abgeschlossen, als da- durch solche Änderungen an den Beobachtungen bestimmt sind, welche sie mit den theoretischen Bedingungen in Ein- klang bringen und den mittleren Fehler einer jeden Efe- obachtung möglichst klein machen. Man spricht in einem solchen Falle von der Ausgleichung bedingter Beobach- tungen. 137. Die zweite zu lösende Aufgabe ist die Bestimmung des Mittelwertes der quadratischen Form der £,-, welche die rechte Seite der Gleichung (7) oder (7*) bildet. Bezeichnet man diese Form allgemein mit ^^dijSiSj, so ist ihr mittlerer Wert 00 00 oo Co ... Cf/Cn X> X 00 QC QO 00 X) — oc — cc weil die auf Glieder von der Form aijEiSj (i^j) bezüglichen Anteile des Integrals vermöge der Natur der Funktionen 9, Null ergeben. Aus (7*) aber entnimmt man, dass der Koeffizient au - 311 — von £,* ausgedrückt ist durch pi o— , und da piJc/' = Jfc", so ist der obige Mittelwert auch Aus (5) aber folgt V » 9 » so dass zunächst (9) v^3=2'^1^+S-1- + -+2'-l^/ ^ "^ .^^ dfj .^ p^ ds^ ' .^^ p^ ds. ' ' .^ p. de.^ wobei die Summierungen sich auf i = 1, 2, • • • w erstrecken. Da nun Jc^, k2f ...Jc^, lineare Formen der WijW2,...Wv und diese wieder lineare Formen der s^y 62, ... s^, sind, so hat man weiter dkl dJCi dwi . dkl dw^ ^^ , dk^ dwv dB. dw^ ds^ "■" dw^ 'de. "■" ' dw^ ds^ woraus sich für das erste Glied der rechten Seite von (9) die Darstellung ergibt (io)V^-|^=r^i|^+r— 11^+ •••+[— ii^- ^ ^ ^Li PiOs^ L p J dwi ' L p J öw^ ' ' L jp J dw^ Andererseits folgt aus dem Gleichungssystem (6), wenn man seine Determinante mit ^ und die den Elementen der ersten Kolonne adjungierten Subdeterminanten mit -^^ , ^2; •• • ^»' bezeichnet, ^Jkj = ie;j^j + ^2 ^2 + • • • + ^v^v, während ^-[^U + [^P. + - + m^-; die erste dieser Gleichungen gibt und setzt man diese Werte in die zweite ein, so entsteht . .{rÄÄn dk, , FÄB-i dk, , , rAN-^ d\ \ — 312 - woraus in Verbindung mit (10) erhalten wird. Auf demselben Wege zeigt man^ dass auch jedes weitere Glied der rechten Seite von (9) den Wert 1 hat, und da die Anzahl der Glieder v ist, so hat man schliesslich ^ ds. Hiernach ist zufolge (8) und wegen v = w — m (n — m)¥' der Mittelwert der Form ^^ aijSiSj*). Indem man diesen Mittelwert dem wahren, aus der Be- obachtung hervorgegangenen Werte [pll] gleichsetzt, erhält man für das Quadrat des mittleren Fehlers der Gewichts- einheit die Bestimmung (11) r=-£^^. Dies ist die von Gauss aufgestellte und allgemein an- genommene Formel, welche für den Fall gleich genauer Be- obachtungen in die einfachere (11*) r=J^ für das Quadrat des, mittleren Fehlers einer Beobachtung übergeht. 138. Einen gewichtigen Einwand gegen diese Formeln hat Bertrand**) erhoben, indem er zeigte, dass man durch Anwendung desselben Prinzips, auf welchem ihre Ableitung beruht und welches darin besteht, dass der durch Beobach- tung gefundene Wert einer Funktion der Beobachtungsfehler dem mittleren Wert dieser Funktion gleich gesetzt wird, ganz verschiedene und daher einander widersprechende Be- stimmungen des mittleren Fehlers gewinnen kann. *) Der hier befolgte Gedankengang ist, in den wesentlichen Zügen, von Quyou, Gompt. rend., GVI, pag. 1282 flg., angegeben worden. **) Compt rend., CVI, pag. 1195 flg. u. 1259 flg. ^ Calc. des Probab. - 313 - Wenn man nämlich statt der Funktion der Widersprüche Wi (s. Gleichung (7), Art. 136), welche Gauss zur Grundlage genommen hat, weil ihr Wert [j?AA], d. i. dem Minimum von [pee], gleich ist, eine andere quadra- tische Form dieser Grössen wählt und ihren mittleren dem beobachteten Wert gleich setzt, so kommt man zu einer neuen Gleichung, welche an sich ebenso plausibel ist wie die Gleichung (11) oder (11*) des vorigen Artikels, welche aber eine andere Bestimmung von Je" liefert, der man durch Wahl der -^ Koeffizienten jener Form jeden beliebigen Wert verleihen kann. Um diesen Gedanken zur Klarheit zu bringen, sei (1 ) ^ üij Wi wj {ttij == aj i) die angenommene Form; drückt man mit Hilfe der Glei- chungen (2), (3), Art. 136, die Wi durch die 6i aus und be- stimmt den mittleren Wert durch Ausführung von 00 CO CO / / '" / ^ dijWjWj . ^1(^1)^2(^2) - - ' yn(g/i) ds^ de^... d€n, —00 —00 — OD SO ergibt sich für denselben, wenn man « +«.,[^]+»..[5,^+-+»..[f] + ^ri [^] +«.2 [^] + ••• + a,r [^] = G setzt, die Bestimmung iC Cr« Die Vergleichung dieses Wertes mit dem beobachteten (1) führt zu der Bestimmung (3) r=-^^-^, welche indessen, wie bemerkt, jeden beliebigen Wert vorstellen kann, da man über die Koeffizienten üij frei verfügen darf. — 314 - Unter diesen Bestimmungen verdiente nun diejenige den Vorzug vor den andern, welche die kleinste Unsicherheit befürchten lässt; und diese Unsicherheit wäre, im Sinne der vorliegenden Theorie, nach dem mittleren Werte des Aus- drucks zu beurteilen, welcher Mittelwert das Quadrat des mittleren Fehlers der Bestimmung (3) angibt und von Gauss*) für seine Formel (11*), Art. 137, ausgeführt worden ist. Wenn nun dieser Mittelwert am kleinsten ausfiele, sobald die Formel (3) mit der Gauss'schen Formel zusammenfällt, so wäre die letztere trotz der gegen ihre Ableitung geäusserten Bedenken die beste, welche man wählen kann. Dies aber ist, wie das folgende Beispiel zeigen wird, im Allgemeinen nicht der Fall. 139. Von einem Punkte seien die vier Punkte P^,P^yP^,P^ beobachtet worden; man habe die fünf Horizontal winkel (P,P,), (P1P3), (P,P,), (P,P,) und {P,FJ mit gleicher Ge- uauigkeit gemessen und dafür die Werte l^, l^, l^, l^, l^ er- halten. Bezeichnet man die drei ersten Winkel der Beihe nach mit x, y, e, so hat man die Fehlergleichungen = - dh -he,) + x (k + e,) +y = - (^3 + fe.) + « (i^^e,)-x -\-g ih + e,) -y + 0, welche durch Elimination von x, y, z ergeben worin — h + h — h = '^i Zur Bestimmung der Korrelaten dienen die Gleichungen *) Theoria combinat. obseryat. , pars poster., art. 39. sie liefern - 315 — ^1 = "8" ^1 "~ -8" '^2 7 1 I 3 Auf Grund dieser Werte erhält man - - 3 1 Aj = A4 = Y ^1 ■" "8 ^^ 1 , 3 8-^1 + -8"-^ 1 1 ^3= — -ee;, — -et' • femer ist [XX] = \w^ + Ic^tv^ = — ^-^^?= — l '—^ und somit nach Formel (11*), Art. 137, (4) l =~^-T^^ '._!. Geht man hiugegen von der allgemeinen quadratischen Form a^'V + 0^22 ^«^2^ + 2a^.^w^W2 aus, so ergibt sich auf Grund der Gleichungen (2) und (3) des vorigen Artikels /K\ 7./' ^ «11 ^^i' + 02 2 ^^8' + 2ai2 t ^2? ^s ^^s recht- winklige Koordinaten eines Punktes im Räume angesehen — und einer mit ihr konzentrischen Kugel vom Radius q + ^q. Dementsprechend würde sich die Wahrscheinlichkeit, dass gleichzeitig ist, darstellen als Produkt aus — — c^^^'Q'^ und dem Volumen ny n jenes Anteils der Kugelschale, welcher zwischen der Ebene (1) und der dazu parallelen Ebene f i + f 2 + ^3 = ^^ + ^^^? ^^ Abstände —= von der ersten, enthalten ist, d. 1. — ^^rr — -, /3 ' ys wäre also gleich wenn bei gegebenem w die Grösse q aller Werte fähig wäre. Da aber q nur solche Werte annehmen kann, welche -=, nämlich den senkrechten Abstand der Ebene (1) 1/3 ^ ^ vom Mittelpunkt der Kugel (2) überschreiten, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei gegebenem w die Summe der Fehlerquadrate zwischen q^ und q^ -j- d(p^) liege. -- 319 — (3) -^ ^ = 2h^e ' gdQ. dw I e~ odQ V^ J W Hiernach ist der mittlere Wert von £,^ + ^2^ + ^3^ gleich (4) 2h' e"^' 1 ^*V Q^dQ = y + l ■ V) Die Anwendung der in Artikel 136 entwickelten Theorie auf den vorliegenden Fall lehrt aber, dass man, um den Widerspruch zu beseitigen, jedes der drei Messungsergebnisse um — zu vermehren habe; dann sind die den ausgeglichenen Messungen noch anhaftenden Fehler www ihre Quadratsumme vermöge der Gleichungen (1) und (2) 9 w^ und der Mittelwert dieser Quadratsumme, wenn man den soeben für q^ gefundenen Mittelwert (4) einsetzt, 1 Dies ist aber auch derjenige Wert, welcher sich a priori, d. h. vor Ausführung der Beobachtungen und unter Zugrunde- legung der bekannten Präzision ergibt. Die durch die Aus- gleichung gefundenen Winkelwerte sind nämlich h + ^ (180» -l,-k- k) k + -3- (180» -1,-1,- Q und die ihnen anhaftenden Fehler — 320 — y(-£l— £2 + 2^3); die Summe der Quadrate dieser Fehler ist 1 (h' + «2' + h') + ^, wo 2 ein Aggregat von Produkten je zweier Fehler ver- tritt. Der Mittelwert dieses Ausdrucks reduziert sich auf den Mittelwert des ersten Teils und ist in der That 2 3 , 1 wie vorhin. Wenn also die Genauigkeit im vorhinein so sicher be- kannt ist; dass das Ergebnis einiger weiteren Beobachtungen zur Änderung ihres Wertes keine Veranlassung zu geben vermag, so ist der mittlere Fehler einer Winkelmessung un- abhängig von der Grösse des Widerspruchs w. § 8. Darstellung der Werte der Unbekannten, ihrer Gewichte und mittleren Fehler mittels der Determinanten. 141. Die vollständige Lösung der Aufgabe, aus n linearen Gleichungen, welche die aus der Beobachtung hervorgegangenen Grössen mit den m unbekannten Elementen verbinden, erfordert die Bestimmung der letzteren, die Berechnung ihrer Gewichte und des mittleren Fehlers einer Beobachtung (eventuell der Gewichtseinheit), woraus sich dann die mittleren Fehler der Elemente ergeben. Mit der Durchführung dieser Rechnungen mittels des von Gauss eingeführten Algorithmus werden wir uns nicht beschäftigen; dagegen soll die explicite Darstellung der genannten Grössen mit Hilfe der Determinanten vor- geführt werden, weil sie zur Erörterung mai^cher wichtigen Frage Anlass gibt. Eine der ersten hierher gehörigen Arbeiten rührt von - 321 -- van Geer*) her; Glaisher**) hat die Anwendung der Determinanten in diesem Zweige der Mathematik in wesent- lichen Punkten weiter geführt***). 142. Aus dem System der n Fehlergleichungen (1) Si = — li + ttiX + hy + CiZ-\ \- fit (i= 1, 2, — n) ergeben sich zur Bestimmung der vorteilhaftesten Werte der m (< n) unbekannten Elemente die m Gleichungen [aä]x + [ai]y + f- [a/*]^ = [aT\ (2) • [ba]x + \bb]y -{ 1- [hßt = [bl] [fa]x + [ß]y + .• . + [//l^ = [ß] ; dabei ist vorausgesetzt, dass die Gleichungen (1), beziehungs- weise die zugehörigen Beobachtungen von gleicher Genauig- keit oder, falls dies nicht zutreffen sollte, durch Multiplika- tion mit den Quadratwurzeln ihrer respektiven Gewichte auf gleiche Genauigkeit reduziert worden sind (s. Art. 104). Aus den Gleichungen 2) ergibt sich unmittelbar i3)x [aq[a6]...[a/'] [ha]lbb]"'lbß y [ad\[aX\ • • '\_af] [6a] [&*]...[&/•] i/a][^6]. ..[/•/! 143. Zur Ermittlung des Gewichtes von x dient ein Gleichungssystem, welches dem System (2) analog ist mit dem Unterschiede, dass die rechten Seiten mit 1, 0, ... be- *) Nieuwe archief voor wiskunde, Deel XII u. XVIII. In letzterer AbhandluDg wird auf die Arbeiten Glaisher^s Bezug genommen. **) Monthly Notices of the R. Astron. Soc, XXXIV, pag. 311; XL, pag. 600; XLI, pag. 18 flg. ***) Andeutungen über die Anwendung der Determinanten in der Methode der kleinsten Quadrate finden sich schon 1841 bei Jacobi: De formatione et proprietatibus Determinantium , Grelle J. , 22, pag. 286 flg. Csuber, Theorie der Beobaohtunggfehler. 21 - 322 — setzt sind; die an die Stelle von x in diesem so veränderten Gleichungssystem tretende Unbekannte ist das reciproke Ge- wicht von x\ ähnliches gilt bezüglich der Gewichte der übrigen Elemente. Hiemach ist (4) i>« = [aa][a6]-"[a/^ [6a][66]...[6n i/a] (m--- iff\ \hV\lbc\-'-[hf] \cl>\\_ec\ • ■ • [cß Pv {aai][ab]---[af] lbä][bb} — lbß [aa][acJ«-*[a/'J [cd] [cc] • • • [cf] '[fa][fe]'"[fn Man bemerkt, dass die Nenner dieser Ausdrücke die den Elementen der Diagonale adjungirten Subdeterminanten der Determinante des Gleichungssystems (2) sind, welche als gemeinsamer Nenner in (3) und als gemeinsamer Zähler in (4) auftritt. 144. Zur Bestimmung des mittleren Fehlers einer Be- obachtung ist die Summe [AA] erforderlich. Nun ist [AA] = [(— i + aa: + 6y H f- ft)^ = [iq + x{[aa]x + [ah]y + . . . + [a/]^ - [al]) + y{U>a]x + [bb]y + ... + [bf]t - [hl]) + K[fa\x + [ß]y + '^^' + imt-m) - [al]x- \bT]y [fl]t, also vermöge (2) (5) [AA] [aT]x - [bT]y [fl]t + [IT\. Bezeichnet man der Kürze wegen die Determinante [aa][a6] ••. [af] [ha]\bb]^"[bf] [fa] [ß] ^-'[ff] mit R und trägt in (5) die Werte für o?, y, . . . aus (3) ein, so wird 323 - -RIXX] = (- 1) m [al] [ah] [ac\ [66] [6c] [6/1 [6q -[bl] [fi] [fe] [aä\(ac\ ■ [6 a] [6c] [fnm [aßlaT] [bßM H 1-(— i)'»[iq [fa] [fc\ ...[ff] [/-q [aa][a6] ••• [af] [6a] [66] •••[6/1 [fa] [ß].-. [ff] wenn man nämlich die Kolonne [aZ], [bl], ... [ß] in allen Determinanten durch Eolonnenvertauschung an letzte Stelle bringt. Der eingeklammerte Ausdruck ist aber die Determi- nante (w + 1)*^ Grades [aa\\ab]"' [af][aT\ [HP6J--[6/l[6q [fanß]'"[fn[n] macht man hier die erste Zeile zur letzten, so kommt [aa][a6] • • • [af] [aT] [6a] [66] ■■■[bf] [6q [XI] = ^ [fa] [ß]... [ff] [ft\ [la][lb] ••• [lf][lT] Die neue Determinante rechter Hand, welche aus B hervorgeht durch Hinzufügung des Bandes [al] [6q [k [la][lb]---[lf][lT] möge in der Folge mit L bezeichnet werden. 21* -- 324 - Man kann die Subdeterminante von JR, welche dem Element [ij] adjungiert ist^ zweckmässig mit Ätj bezeichnen^ wobei ebenso wie [ij] = [ji] auch Äij- =^ Äji ist. Dann lassen sich auf Grund der Bemerkung, welche zu den Glei- chungen (4) gemacht worden ist, die Quadrate der mittleren Fehler der Elemente wie folgt darstellen: (7) tCx — A L Der Zähler eines jeden dieser Ausdrücke ist das Produkt aus einer Determinante des (m — 1)*®^ mit einer solchen des (m + 1)**" Grades, der Nenner enthält das Quadrat einer Determinante m^^ Grades« 145. Man kann die Gewichte der Elemente noch auf einem andern Wege erhalten, indem man die Elemente selbst als lineare Formen der Beobachtungen, also in der Gestalt darstellt. Man gewinnt dadurch auch die Multiplikatoren, welche die Methode der kleinsten Quadrate vorschreibt. Die Determinante, welche den Zähler von x in (3) bildet, kann nach den Elementen der ersten Kolonne auf- gelöst werden wie folgt: h ai[aZ>] \af] im fl[ß]--[ff] + 1 i f,[ß]--im an[ab]-"[aß bn[bb]--\bn fn [ß] ' ' • [/■/■]" + • • • + i* entwickelt man die einzelnen Determinanten nach den Ele- menten der ersten Kolonne, so wird, mit bereits erläuterten Bezeichnungen, 4- l2(a2Äaa + b^Äta H h fi^/a) + ln{anAaa + &«^a H f" fnÄ/a) • — 325 - Hiernach ist (ö) ebeDSo JS/Jj = ttiÄab + i.-^ftft + [- /i J./6 u. s. w. Daraus aber ergibt sich R^[aa] = Äaa([aä]Aaa + [a6]^a6 H h [a/']^/) + ^6a([6a]^aa + [hh]Aaö H h [if]Aaf) + ^/a([A] ^aa + [fh]Aaö + '" + [fßAaf) und nach dem Satze, über die Komposition der Reihen einer Determinante mit den Subdeterminanten zu den Elementen paralleler Reihen sowie mit Beachtung von Art. 127 [aal = - = ^ wie oben. 146. Die Determinanten R und L sind in Summen von Quadraten auflösbar. Dasselbe gilt von den Unterdetermi- nanten Aaa) Abb) ••• ^on B, weil sie denselben Bau aufweisen wie B und L. Daraus folgt, was hier gleich bemerkt werden mag, dass die Ausdrücke für Px) Pyj .-• sowie für h", Tcy\ . . . notwendig positiv sind. Schreibt man, um die obige Behauptung zu erweisen, die Elemente in B aus, so wird • • • «l/l + «2/2 H h <^nfn • • • hfl + *2^2 H h f>nfn, -'fl' +n' +-' + fr? durch Kombination einzelner Gliederkolonnen kann B in n"* Determinanten m*®^ Grades mit einfachen Elementen aufgelost werden; von diesen aber verschwinden alle die- jenigen, zu deren Bildung zwei oder mehrere korrespondierende Gliederkolonnen verwendet worden sind. Es bleiben daher blos w (n — 1) • • • (w — w -j- 1) Determinanten übrig, welche B = - 326 — sich aus den möglichen Zusammenstellungen ungleich situierter Gliederkolonnen aufbauen lassen, entsprechend der Anzahl der Variationen ohne Wiederholung von w Elementen in der m^^ Elasse. Von diesen Determinanten sind m\ enthalten in der Determinante • • + (hr?, »i&i + «2^2 + • ' •••«i/i+«2/i + -' • + ^m^ > • • • A«1+/2Ö^2 +•' welche nach dem Multiplikationstheorem gleichkommt (^2 ^2 * * * / 2 ^m^m • • • im = («i6«-'A)*; da aber aus den n Zeigern 1, 2, ... « sich ^^ — Ja — *" Kombinationen zu je m bilden lassen, so sind alle n(n — 1) . . . (n — m + 1) oben erwähnten Determinanten in enthalten, wenn man die Summierung über die (^] mög- lichen Zeigerkombinationen ausdehnt, und es ist daher that- sächlich (9) eine Quadratsumme. Ebenso ergibt sich für L, welches mit B übereinstimmen- den Bau zeigt, die Darstellung (10) Lr^^{a,\...Ulm+iy und die Summe besteht hier aus l ^ A Gliedern. Jede der Determinanten, welche die Zähler von a;, y, ... in (3) bilden, kanu in eine Summe von Produkten aus ^=^ {^ih*"fmy ~ 327 - Determinanten mit einfachen Elementen aufgelost werden. So ist der Zähler von x, vollständig ausgeschrieben, '"^ifl + «2/2 H f" ^nfn '"hfl + ^2/2 H h *nA, /l^l + /2^2 + ••• + fnln, fih + ^2*2 + -• + fnK " •••/;' +f2' +'"+fn' mittels der nämlichen Betrachtung kann gezeigt werden, dass er in (^j Determinanten zerlegbar ist, deren eine «1^ + »2^2 rf • \ •••^/i + ^2/2 +• • • • + hmfm fA + Ük+" (11) \bl]\bV\...[lf'\ • • lautet und nach dem Multiplikationstheorem durch das Produkt zu ersetzen ist. Hiemach ist jener Zähler [al'\[ah'\...[af] == ^^ (üi O2 . . . / m) V.T. ^2 • • • / »»/ ; [/•?] [/-J] . . . [ff] die Summierung auf alle Kombinationen der Zeiger 1, 2,...n zur m*®^ Klasse ausgedehnt. 147. Auf Grund dieser Ergebnisse können nun die Werte der Elemente auf die Form ; y= (12)a: = 2;(ai&2---4,)' 2;(«i ^1 • • • 4»)' gebracht werden. - 328 — Denkt man sich aber aus den n Fehlergleichongen (1)^ Art. 142, nachdem man ihre linken Seiten durchweg gleich Null gesetzt, die \Z\ = anschreiben und dieser bemerkenswerte Zusammenhang kann wie folgt ausgesprochen werden*): Greift man aus dem System (1), Art. 142, der Fehlergleichungen, nachdem man ihre linken Seiten annulliert hat, eine Gruppe von m Glei- chungen heraus und löst sie auf, so ist dadurch ein Punkt in dem Gebiete der m Grössen x,y,...t bestimmt, welchem als Masse (oder Gewicht) das Quadrat des gemeinsamen Nenners dieser Lösung zugeschrieben werden möge. Wieder- holt man dieses Verfahren mit allen übrigen der 6 mög- lichen Gruppen von je m Gleichungen und bestimmt sodann *) Van Geer, welcher diesen Satz in ähnlicher Weise und zuerst formuliert hat, nachdem er von Glaisher analytisch begründet worden war, bemerkt, dass derselbe sich schon bei Jacobi vorfindet; er ist 1. c.) in der Propositio II des Art. 15, pag. 316 ausgesprochen. - 329 — die Koordinaten des Schwerpunktes der so gefundenen 6 Punkte mit Bücksicht auf die ihnen zugeschriebenen Massen, so fallen diese Koordinaten mit den Resultaten zu- sammen, welche die Methode der kleinsten Quadrate liefert. Nicht jede der partiellen Lösungen trägt also zur Bildung des Endresultates in gleichem Maasse bei, sondern jede im geraden Verhältnis des Quadrates ihres Nenners. Die Methode der kleinsten Quadrate führt in dieser Auf- fassung die Losung von 6 Systemen von je m Gleichungen auf die Lösung eines einzigen solchen Systems zurück. 148. Die eben ausgeführten Untersuchungen geben einen klaren Einblick in die Bedingungen, unter welchen das System der Gleichungen (2), Art. 142, oder das ursprüngliche System der Fehlergleichungen einer Lösung föhig ist*). Die notwendige und hinreichende Bedingung hiefür ist das Nicht- verschwinden der Determinante JB, welche als Nenner bei x,y, ...t auftritt. Nun kann aber JB = P,« + P,^+ .. + P, 2 a nur verschwinden, indem P^ = P2 = • • • = Pa = wird. Ist nur eines der P von Null verschieden, so gilt dies auch für B, Es sind aber P^, P2, ... Pa die Nenner der partiellen Lösungen, von welchen im vorigen Artikel die Rede war. Man kommt also zu dem Schlüsse: Wenn sich dem System der Fehlergleichungen wenigstens eine Gruppe von m Glei- chungen entnehmen lässt, welche zu einer Bestimmung der Elemente führen, dann und nur dann gibt auch das System der Normalgleichungen eine bestimmte Lösung. 149. Weitere Schlüsse nach dieser Richtung ergeben sich aus einer bemerkenswerten Darstellung, welche Glaisher den Quadraten der mittleren Fehler der Elemente gegeben hat. Den Gleichungen (7), Art. 144, zufolge ist 7. " «« darin ist *) Vgl. Gauss, Theoria mot. c. c, art. 180; Theoria combin. observ., art. 23 und Suppl. theor. combin., art. 14. — 330 - •^a ill][lc\ . . . [bf] [ch][cc]...[cf] [ß]m.:[fß B = \aa\[ai']... [af] \hä][bh]...[bf] [fa][ß]...[ff] i = [aa][a6] ... [aß[aJ] [hä]\bh]...[lf][bl] [fa\iß]...[fß[fT\ Pa]p&]...p/']pq bezeichnet man die dem Element [ij] adjungierte Subdetermi- nante yon L mit atj, so ist*) vmd da an = B and Uai = Uta , so wird (« - ».)ä;'. = ^ - (^«)\ dt Es ist aber -w^=^ (vgl. die Gleichungen (3), Art 142), ferner [bb]...[bn[bl] et aa [/»].-. [fn [m m--umm B laqiab]...[aß [bT][bb]...[bß im [fb]... [fn laa][ab]...[af] [bä\[bb]...[bf] [fa}\fb]---\fß [lT][lb}...ßß [6q[66]...[frn [aa][ab].,.[af\ L&a] [&&]...[&/•] [fa][fb],.,[fn [la] m . . . [in [ba]lbh']...[bf] m [fb] . .'. [ff] = a?l, wobei I derjenige Wert ist, welcher aus dem Gleichungs- System ^) Baltzer, Det, pag. 63. — 331 — [la\i + [ll]ri + -- + mr^[m (14) \ban + [&6], + . . . + [bf]t = M hervorgeht, das sich von dem System (2), Art 142, der Normalgleichongen nur dadurch unterscheidet, dass an die Stelle der ersten Gleichung die Gleichung [la]^ + [mr, + ' ■ ■ + [Ißr ^ m getreten ist. Mithin hat man (15) Ä:/ = ^^i^-^, V' = ^^^^^, ••• wenn i}, . . . aus einem Gleichungssystem bestimmt wird, das aus (2) hervorgeht, indem man die zweite, . . . Gleichung dieses Systems durch [Za] | + [lh\ri + • • • + [i/*] ir = [Z Z] ersetzt. Es mochte nun scheinen, als ob TcJ\ i/', . . . mit x,y,... beziehungsweise zugleich verschwände; da jedoch, wie aus dem obigen hervorgeht, mit dem Zähler von x gleichzeitig der Nenner von | Null wird etc., so wird, indem x ver- schwindet, § unendlich gross. Es bleibt aber noch der Fall zu untersuchen, dass § «= o; oder 1? = y; • • • ist. Da die Gleichung (5), Art. 144, eine Folge der Gleichungen (2), Art. 142, ist, so kann eine von den letzteren durch jene ersetzt werden, und man kann ins- besondere auch für (2) das Gleichungssystem [la]x + [lb]y + ..• + [lf]i=[in - im [ha]x + [hh]y -| 1- [hf]t = [bT\ [fa]x+[fb]y + .-. + [ff]t^[fl] nehmen. Dies gibt für x die Auflösung — 332 — X = m-[xx\iib]...\if] [feq [66]... [6/1 un im ■ ■ ■ [ffi \la] [lb}...[lf] [6a] [66]... [6n [fo] [fb]... [ff] Ul]lli]---Uf] [6«] [66]... [6/1 [fl] m ...[ff] [la][lb]...[lf] [ba][bb]...[bf] [fa] [fb]... [ff] -[XI] [66] [6c]... [6/1 [fb][fe]...[ff] [la][lb]...[lß [6a] [6 6]... [6/1 '[fa] [fb] ...[ffi der erste Teil der rechten Seite stellt aber | vor, demnach wird %== X, wenn \bl]\bc\...lf] \kX\ = 0. [ß\Uc\...[m Wenn also, während S = ic, der zweite Faktor der linken Seite der letztangeschriebenen Gleichung von Null ver- schieden ist, so ist notwendig [AA] = und demzufolge nicht allein Jcx" = 0, sondern auch Äy"=0, •••, daher auch V'^Vt'"' Dies Resultat stimmt mit der einfachen Über- legung überein; denn [AA] = sagt aus, dass alle Fehler- gleichungen, nachdem man ihre linken Seiten durch Null ersetzt hat, durch ein und dasselbe Wertsystem x^y,.,.t befriedigt werden können. Ist hingegen der zweite Faktor der linken Seite der letzten Gleichung gleich Null, so ist wegen \bh][hc\,.,\hf] = ^(Pl(^'"ffn-iy [fb][fc]„.[ff] auch (hiC2'"fm-i)=0 für jede Kombination der m — 1 Zeiger, folglich auch R =^(a^ 62 ^3 • • • fmf == 0. Wenn aber (&iC2*--/)n— 1) = ist für alle Zeigerkombinationen, — 333 — dann sind die Fehlergleichungen (1), Art. 142, nicht un- abhängig Ton einander, d. h. es lässt sich aus ihnen keine Gruppe von m Gleichungen herausheben, welche x,y,...t bestimmen würden. Diese Thatsache drückt sich auch in dem bemerkten Verschwinden von JB aus, das zur Folge hat, dass ru, y, . . . ; p^, JPy, • . . 5 ^J', V', • • • ^^ ^^^ unbestimmten Form -i erscheinen. Das Ergebnis dieser Untersuchung zusammenfassend kann man also sagen, dass in der Regel eine der Gleichungen | = a;, i7 = y, ••• alle übrigen zur Folge hat, und dass im Ausnahmefalle eine solche Gleichung die Unbestimmtheit der ganzen Aufgabe anzeigt. § 9. Beurteilung der Genauigkeit einer Funktion direkt beobachteter oder aus Beobachtungen abgeleiteter Grössen. 150. Wenn man an dem Prinzip festhält, welches dem zweiten Gauss'schen Beweise zu Grunde liegt, so bietet es keine Schwierigkeit, den mittleren Fehler oder das Gewicht in der Bestimmung einer Funktion direkt beobachteter oder aus Beobachtungen abgeleiteter Grössen zu berechnen. Wir beginnen mit der einfachsten Aufgabe dieser Art, auf welche die anderen sich zurückführen lassen. Für die von einander unabhängigen Grössen i^, ij, ig, ... seien durch direkte Beobachtung die Werte ?i, ^,^3,... er- halten worden; die Fehler dieser Bestimmungen seien hyhfh}'"} ^^® Quadrate der mittleren Fehler V',V> V?--*? die Gewichte, auf irgend eine Einheit (deren mittleres Fehler- quadrat Ä" sein möge) bezogen, i>i,i>2;JP3;*"- Es sei ferner (1) U=F(L„L„L,,...) eine gegebene Funktion der Grössen L^^, L^, L^, * " . Man soll den mittleren Fehler, dessen Quadrat K" heissen möge, oder das Gewicht P der Bestimmung (2) u = F{l„k,l„...) für JJ berechnen. - 334 — Da U auch in der Form jP(/i + «i, ^2 + ^2; ^s "I" ^s? •••) geschrieben werden kann, so ergibt sich, wenn man B^yB^^s^^,.. als so klein voraussetzen darf, dass Potenzen und Produkte dieser Grössen gegenüber ihren ersten Potenzen vernach- lässigt werden können, für U die näherungsweise Darstellung wenn mit f^y f^, /s? • • • die Ableitungen von u in Bezug auf ?i, Zg, ?3, ... bezeichnet werden. Hiemach ist der Fehler in der Bestimmung (2) von TT und das mittlere Quadrat desselben 00 00 — 00 — 00 d. i. (3) K"=^[ffk"]. Um an die Stelle der mittleren Fehler die Gewichte einzuführen, mache man von den Relationen Pi K =p^K Ä" = pz" Gebrauch und findet so 151. Aus einer Beihe von Beobachtungen Z«- sind auf Grund eines Systems von Fehlergleichungen des Typus die vorteilhaftesten Werte a?! , y^ , ^j, . . . der Elemente a;, y, j», ... berechnet worden. Es ist ferner (1) V=^F{x,y,z,..:) eine gegebene Funktion dieser Elemente. Man soll den mittleren Fehler oder das Gewicht der Bestimmung (2) w = F(a:i,yi,^i,...) von TJ feststellen. Die Auflösung der Fehlergleichimgen gibt - 335 - X = [al] -f [aa] ^= x^ -{- [as] y = m + [ßs] - y, + [ße] wobei die Summen [«f], [/Sf], [y«], ... die Fehler anzeigen, welche den Werten oc^, tfiy ^i, - -• der Elemente anhaften. Setzt man diese Fehler als so klein voraus, um bei ihren ersten Potenzen stehen bleiben zu dürfen, so kann U^Fix, + [as], y, + {ßs\, 0^ + \ye\,.. .) näherungsweise durch U=u + f,iaa] + mB\+f,[yB-\ + '^. ersetzt werden, wenn man unter fuf^jf^y^- die Ableitungen von u in Bezug auf ^1,^1,^2^1,... versteht. Hieraus folgt als Fehler in der Bestimmung u für Z7, und der Mittelwert seines Quadrates ist OO 00 -s:''=jJ...[(a/;+/j^2+y^3+--0«]Vi (09^2(^2) •••^«i^^2--.; oder nach Ausführung der Integrationen -S:" = fi* [««*"] + 2fJ,[aßh"] + 2fJ,[aYh"] + + f,* [ßßJc"] + 2f,f,[ßyr] + + ^s* [rrn + Die Summen [aai"], [a/Sifc"], [ayf], ... können aber durch die Grossen gli, qi2, gis, . . . ersetzt werden, zu deren Bestimmung die Gleichungssysteme (10), (10*), (10**), . . ., Art. 126, dienen; alsdann wird ^" = fi%i + ^fiM2 + 2fJ,q[s + . . . (3) + f2' a^ + 2f,f,q2s + '- führt man aber an Stelle der mittleren Fehler die Gewichte ein (bezogen auf eine Gewichtseinheit vom mittleren Fehler- quadrat k"), so treten an die Stelle von ^ii, £127 SiS; ••• ^^^ - 336 ^ Grössen g'u? Ö'i2> Ö'is? •••> deren Berechnung die Gleichungs- systeme (10'), (10'*), (10'**), ..., Art. 127, vermitteln, und man hat dann (4) + f2^q2i+ /iA^23 + "- 152. Zwischen den n Grössen L^,L^,L^,...^ für welche sich durch Beobachtung die Werte ü^, l^, ig, ... ergeben haben, bestehen die v (--0; Bij B2f B^, ... die Ableitungen von W?2 = • (^l> ^2> ^37 • ••)> (7i, Cg, Cg, ... die Ableitungen von «{;3 = X(t^, ^27 '37 • • V in Bezug auf ^i, ^2? ^3; ••• bedeuten, während — w^, — w^, — w^, ... die Widersprüche anzeigen, welche auftauchen, sobald man die unmittelbaren Beobachtungsergebnisse in die Bedingungs- gleichungen (1) einsetzt. Die Aufgabe der Auffindung der - 337 — vorteilhaftesten Werte ^,,^2,^3,... für ^i, ^2? ^3? • • • ^^^ ^^ Art. 136 gelöst worden. Es sei nun (3) U=F{L„L,,L„..) eine gegebene Funktion der Grössen Li,L^,L^,... und es handle sich um den mittleren Fehler oder um das Gewicht der Bestimmung (4) u^F{l, + k„k + X„k-\-X„..) von Uj welche sich ergibt, wenn man an die Stelle der wahren Werte Zj, ig? ^3? • • • ^^® ausgeglichenen Beobach- tungen ?i + ^1, ^2 + ^2? '3 + ^? ••• einführt. Bezeichnen wie früher fu^2?^3>-« ^^® wahren Fehler von ?!, ?2> ^3; •••> so ist ?7=-F(ii + fi, ^2 + ^2? '3 + ^3? •••)> und wenn man, bei der vorausgesetzten Kleinheit der s und A, TJ und u durch die ersten Potenzen dieser Grössen darstellt, so ergibt sich (5) U-u =/; (f -A,)+/-, {b,-K) +f, (^3-^3)+. • • = [fs]-\ß] als Fehler von w, wenn /i, ^^/s? ••• die Ableitungen von JP(ii, Z2, ?3, ...) in Bezug auf ?i,Z2>'3>--- vorstellen. Wie in Art. 136 gezeigt worden, sind A^, Ag, A3, ... lineare Formen der ^1, ^2» ^3? •••> folglich ist schliesslich auch U —u = [gs] und wie in Art. 150 das Quadrat des mittleren Fehlers von u gleich (6) K" = \ggk"] = [f] h" und das reciproke Gewicht (') i=[f]- Um die Koeffizienten g der Form {gs} zu erhalten, gehen wir auf die Gleichung (5), Art. 136, zurück uiid er- halten, wenn abkürzungs weise (8) m-'. m=^. [7]=<.- gesetzt wird, (9) [A] = aÄi + bfc, + 0*3 + •••; Cznbcr, Theorie der Beobachtungsfehler. 22 - 338 — stellt man die Korrelaten Ä^, Äg; ^3; ••• aus den Gleichungen (6), Art. 136, in derselben Weise dar, wie in Art. 126 die Ele- mente ic, y, j2?, . . . dargestellt worden sind, nämlich in der Form h == «^lÖ'gi + ^2^22 + ^9Q23 H — wobei die Grossen q aus den Gleichungssystemen = [f].a+[f]..3+[^^...,+ (10) 1 [^] «21 + [^] «22 + [^] fe + 1 [^] «31 + [^^] 332 + [^ «33 + [^] (Z31 + [^] 232 + [^] «33 + zu bestimmen sind, so wird zufolge (9) und (5) — (Ö?12 + 6^22 + ^9^32 -I )^2 — (Ö?13 + 6«23 + CgsS + ' • O^^'S hieraus ergibt sich unmittelbar, wenn man für die tv ihre aus (2) resultierenden Darstellungen durch die Fehler s ein- führt, -^-—— -^ — 339 — — (0^12 + ^Q22 + C^32 H )^i — (Ö?13 + 6^23 + Cg33 -\ )Ci Ordnet man das Quadrat von gi nach den eingeklammerten Aggregaten, so wird gi^ = fi^ — (a?n + 6^21 + C(73i + • • OSt.- — (ö9'i2 + ^Q22 + Cfe H )S3» — (ö^is + 6fe + Cfe -1 ) St worin zur Abkürzung St,- = 2Aifi — (aq^, + hq^i + c^g, -| )AiAi — (agi2 + 6(Z22 + ^Qs2 -I )^.^; geschrieben wurde; die Bedeutung von 83,, S/,... ergibt sich daraus durch Vertauschung von Ai mit Bi^Ci, •••. Im Hinblick auf (8) und (10) ist also und ebenso erkennt man^ dass Mithin ist schliesslich, wenn man für a,b, C, ... die Werte aus (8) restituiert, m-m-i-fhn-4f\m^"-iWv'i'''-- [yl'fe— ■ Infolge der Gleichung (7) drückt die rechte Seite das reciproke Gewicht der Bestimmung u aus und ihr mittlerer Fehler ist auf Grund von (6) zu rechnen. 22* — 340 - 153. Der vorliegende Gegenstand gestattet noch eine andere Auffassung. Es sei U = F{Xy Y, Zy ,. .) eine gegebene Funktion der unbekannten Elemente X,Y,Z,...] wie sollen die Werte der letzteren aus den Beobachtungen abgeleitet werden, da- mit der daraus resultierenden Bestimmung von U der kleinst- mögliche mittlere Fehler oder das grösstmögliche Gewicht zukomme? Hat man auf irgend welchem Wege Näherungswerte der Elemente gewonnen, etwa Xq, Yq, ^q, ..., derart, dass die an denselben anzubringenden Korrektionen x,y^Zy.,, klein genug sind, um von ihren Potenzen und Produkten absehen zu dürfen, so kann TJ näherungsweise durch eine lineare Funktion von Xfif^ 0, .., gegeben werden , nämlich (1) u = f, + f,x + f,y + f,0+-', darin ist f^ = F(Xqj Yq, Z^, . . .), während /i, f^, /[s, . . • die Ableitungen von f^ in Bezug auf Xq, Y^, Z^^y ,,, respektive bedeuten. Auf Grundlage der Beobachtungen und ihrer Fehler be- stehen zwischen den m Grössen x,y, is^ . ,. w (> m) Fehler- gleichungen der typischen Form (2) fi = — h + aix -f hy + Ci^-] , (i = 1, 2, • • • m); das Gewicht der i*®° Beobachtung, bezogen auf eine Gewichts- einheit, deren mittlerer Fehler im Quadrat gleich Ä" ist, heisse jp,-. Aus diesen Gleichungen ergeben sich durch lineare Kombination, unter Anwendung der Faktorensysteme «,-, j5,, y,-, ..., welche den Bedingungen [aa] = 1 , [ab] = 0, [ac] = 0, • • • (3) r/5a] = 0, .[^6] = 1, [ßc] = 0, ... \ya] = 0, [yh]=0, [yc] = l, ... genügen, für ic, y, -8?, ... die Bestimmungen X == [ai] + r«^] y = [ßi] + r/5^] — 341 - Behält man deren erste Teile bei und rechnet damit nach (1) « = ^ + /i[«iJ + fAßi\ + fz[yi\ + ■■■, SO ist damit ein Fehler im Betrage (4) U-u = f, [ae] + f,[ßa] + f,[ye] + • • = {gs] begangen, wenn (5) 9i = fx'^i + f,ßi'+nri + -- als Abkürzung gebraucht wird. Das mittlere Quadrat dieses Fehlers, nach Art. 150 gleich [f]"-. wird ein Minimum, wenn (6) 1— J ein Minimum. Die Grössen gi sind aber nicht unabhängig von einander, weil die Faktoren ai, ß^yi, . ., es nicht sind. Multipliziert man nämlich jede der Gleichungen (5) mit dem korrespon- dierenden üiy dann mit bi,Ci,.., und nimmt bei der darauf- folgenden Summierung Rücksicht auf die Relationen (3), so ergeben sich für die gt die m Bedingungen (7) [«7«] - /; = 0, [i/b] - /j = 0, [(,c] - /-j = 0, ■ • .. Das in Bezug auf diese Bedingungen gebildete Minimum von I — J fällt überein mit dem absoluten Minimum der Funktion [f] - 2Ki[ga]-fd - 2hi[ßb] -Q - 2Uyc\ - Q - •••, woraus sich für das System gt die Bestimmungen g. (8) — = ai\ + hih^ + dh^ H ergeben, nachdem man die Korrelaten Ä^, itg, /^jg, ... mittels der aus (7) resultierenden Gleichungen [paajjti + [pah]\ + Vpac]h^ -\ = f^ (9) [pha\\ + [phh\h^ + [ijhc\Tc, + •••=/; berechnet hat. — 342 — Diese GleichuDgeu stimmen aber in ihren Koeffizienten genau mit denjenigen Gleichungen überein, welche die Methode der kleinsten Quadrate zur Bestimmung von x,y, 0, ... auf Grund des Gleichungssystems (2) vorschreibt, und ergeben J^i = fiQn + /2^i2 + /i^i3 H ^'2 = flQ^l + /2^22 + /3(/23 -i ^^•3 = flQdl + /2(Z32 + f'6Q3$ H wobei die Grössen qtj genau dieselben Werte haben wie in Art. 127. Multipliziert man schliesslich jede der Gleichungen (8) mit dem entsprechenden gi, bildet die Summe mit Bücksicht auf (7) und setzt für Jc^y Tc^, Äg, ... die eben gefundenen Werte ein, so wird min [M] = -^ ^ = /;«2,^ + 2fJ,q,, + 2fJ,q,s + -■ (10) + f^q,, + 2fJ,q^ + • • • • • • • • Die rechte Seite dieser Gleichung fallt aber überein mit demjenigen Wert für das reciproke Gewicht, welcher sich in Art. 151 ergeben hat, als man zur Bestimmung von ti die nach der Methode der kleinsten Quadrate berechneten Werte Yonx,y,0,.., verwendet hat. Diese Werte erfreuen sich also der Eigenschaft, dass sie für jede Funktion der Elemente eine Bestimmung von grösstmöglichem Gewichte ergeben. Dritter Teil. Theorie der Fehler in der Ebene und im Räume. § 1. Das Gesetz der Fehler in der Ebene und im B>aume. 154. Die Bestimmung einer einzelnen Grösse durch Beobachtung ist vergleichbar der Bestimmung der Lage eines Punktes in einer Geraden; der wahre Wert der Grösse ist durch einen bestimmten, bekannten oder unbekannten Punkt jener Geraden dargestellt und ebenso liefert jede Beobachtung einen Punkt der Geraden, der infolge des Beobachtungsfehlers von dem ersteren verschieden ist; die Strecke zwischen beiden Punkten repräsentiert den begangenen Fehler. Insofern derlei Fehler durch Strecken einer Geraden versinnlicht werden können, bezeichnet man sie als lineare Fehler. Zur Ver- anschaulichung des Gesetzes ihrer Wirksamkeit kann dieselbe Gerade dienen, indem man sie als materiell sich vorstellt und ihr in jedem Punkte eine Dichte zuschreibt, welche der Wahrscheinlichkeit des durch diesen Punkt begrenzten Fehlers proportional ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Endpunkt des Fehlers, dessen Anfangspunkt immer mit dem Repräsen- tanten des wahren Wertes zusammenföllt, einem beliebigen Teile der Geraden angehöre, kommt der Masse dieses Teiles gleich, die Masse der ganzen Geraden als Einheit angenommen. Wenn es sich um die Bestimmung eines Punktes in der Ebene oder im Räume handelt, so wird jede Einzelbestimmung durch Beobachtungen zu einem andern Punkte der Ebene, respektive des Raumes führen, der von der wahren, be- kannten oder unbekannten Lage des Punktes verschieden ist; an dem Fehler, der wieder dargestellt ist durch die - 344. — Verbindungslinie des wahren Punktes, als Ursprung der Fehler, mit dem beobachteten, tritt jetzt zu dem Merkmal der Grösse, welches früher neben dem Vorzeichen das einzige war, das Merkmal der Richtung hinzu. Der Fehler kann im allgemeinen bei bestimmter Grösse alle Richtungen annehmen, welche von dem wahren Punkte in der Ebene oder im Räume ausgehen. Insofern derlei Fehler zu ihrer Dar- stellung der Ebene, beziehungsweise des Raumes bedürfen, nennt man sie Fehler in der Ebene oder Fehler im Räume. Um das Gesetz der Fehler in der Ebene zu verbild- lichen, kann man die Ebene selbst benützen, indem man sie sich als materiell und mit einer Dichte begabt denkt, welche in jedem Punkte proportional ist der Wahrscheinlichkeit des durch ihn begrenzten Fehlers. Es ist alsdann die Wahr- scheinlichkeit, dass der Endpunkt des Fehlers einem irgend- wie begrenzten Teil der Ebene angehöre, dirrch die Masse dieses Teils gegeben, wenn die Masse der ganzen Fehler- ebene als Einheit aufgefasst wird. Neben dieser Veranschau- lichung gibt es noch eine rein geometrische, welche darin besteht, dass man in jedem Punkte der Ebene zu derselben ein Loth errichtet und darauf eine der zugehörigen Wahr- scheinlichkeit proportionale Länge abträgt; man wird auf diese Weise zu einer Wahrscheinlichkeitsfläche geführt, dem Analogon der Wahrscheinlichkeitskurve bei linearen Fehlern. Zur Versinnlichung der Wirkungsweise räumlicher Fehler kann der Raum selbst herangezogen werden; man denkt sich ihn zu diesem Zwecke mit Materie erfüllt, deren Dichte in jedem Punkte proportional ist der Wahrscheinlichkeit des durch diesen Punkt begrenzten Fehlers. Die Wahrscheinlich- keit, dass der Endpunkt des Fehlers in einen irgendwie be- grenzten Teil des Raumes fällt, ist durch die darin enthaltene Masse bestimmt, wenn die Masse des ganzen Fehlerraums als Einheit dient. Eine rein geometrische Darstellung des Fehlergesetzes wie bei linearen und ebenen Fehlern ist hier nicht möglich. Auf solche Art entsteht der Begriff des Wahrschein- - 345 - lichkeitskörperSy der sich bei Fehlern in der Ebene auf den einer materiellen ebenen Figur, bei linearen Fehlern auf den einer materiellen Geraden reduziert. So wie die Fehler einer jeden Gattung von Beobachtungen an gewisse Grenzen gebunden sind, so hat man sich auch diese ideellen Gebilde als begrenzt vorzustellen. Die Begrenzung erfolgt durch eine Fläche, eine Kurve, ein Punktepaar; bei ihrer Über- schreitung sollte die Funktion, welche die Dichte und somit auch das Fehlergesetz ausdrückt, eine Unterbrechung ihres stetigen Verlaufs erleiden, indem sie Null wird und Null bleibt; bleibt sie auch über die Begrenzung hinaus stetig, so ist zu beachten, dass sie nur innerhalb derselben Geltung hat und dass ihre Fortsetzung gewissermaassen parasitisch ist. Bevor wir uns dieser von Schols begründeten Auf- fassung der Fehler in der Ebene und im Räume zuwenden, wollen wir uns mit solchen Darstellungen dieses Gegen- standes befassen, welche sich nur auf die Theorie der linearen Fehler gründen. 155. Die erste Spur einer Betrachtung von Fehlern in der Ebene findet sich in der schon an einer andern Stelle*) erwähnten Untersuchung Adrain's. Es handelt sich ihm darum, einen zweiten Beweis für das Gesetz linearer Fehler zu führen; dabei kommt er auf den Fehler in der Bestimmung^ der Lage eines Punktes in der Ebene zu sprechen, ohne diesen Gedanken jedoch allgemeiner zu fassen und weiter auszuführen. Die Darstellung, in etwas veränderter Bezeich- nung, ist die folgende**). Es sei die Länge und Neigung einer Geraden AB, Fig. 6, zu messen, und es seien die sehr kleinen Strecken Bhj Bc gleich wahrscheinliche Fehler, der eine, Bb = Bb\ in der Länge von AB, der andere, Bc = Bc (senkrecht zum ersten) in der Neigung, letztere gemessen durch einen Kreisbogen vom Halbmesser AB. Die Frage geht nun da- hin, eine solche durch die vier von B gleich weit entfernten *) S. Art. 42. **) Nach Merriman's „Li«t of Writings relatiog to the Method of Least Squares*', Connecticut Transact., IV, pag. 164. - 346 — Punkte h, c, V, c gehende Kurve zu finden, dass, indem man die Messung von Ä ausgehend voraussetzt, die Wahrschein- lichkeit, der Endpunkt falle in irgend einen Punkt jener ^^ Fig. 6. Kurve, dieselbe ist wie dafür, dass er sich in einem der vier Punkte 6, c, b\ c befinde; mit andern Worten, den Ort gleich wahrscheinlicher Lagen des Punktes JB zu bestimmen. Durch einige wenig befriedigende Schlüsse, worunter auch der, die Kurve müsse möglichst einfach sein, kommt Adrain zu dem Resultate, die gesuchte Kurve sei der durch die vier Punkte bestimmte Kreis, dessen Mittelpunkt JB ist. Darauf gründet er nun die Ableitung des Pehlergesetzes. Ist Um = tz; der Fehler in der Länge, mn = y der Fehler in der Neigung, X die Wahrscheinlichkeit des ersteren, Y jene des letzteren, so ist für alle Punkte jenes Kreises XY= const., also auch Z-X + i- Y=const., folglich weiter — , - - dx = j — dy , dx c^2/ und da x^ -{- y^ = Bb% so ist auch xdx = — ydy ; durch Division der beiden Differentialgleichungen ergibt sich X dx y dy Da nun Adrain als selbstverständlich annimmt, X und Y seien „ähnliche Funktionen", so schliesst er aus dieser Beziehung, dass 1 dl'X — = ^i X dx sein müsse, wenn n eine Konstante bedeutet; daraus aber erhält man durch Integration nx^ X = e ^ und ebenso sei - 347 — c-f- 2 . 9 hierzu bemerkt Adrain noch, dass n notwendig negativ sei, weil die Wahrscheinlichkeit abnimmt, wenn a?, respektive y wächst. Es hätte nur noch eines Schrittes bedurft, um zu dem Schlüsse zu kommen, die Wahrscheinlichkeit der Lage n des Punktes B hänge von einem Ausdruck der Form eA'Ca^'+y*) ^^^ Übrigens mag bemerkt werden, dass der hier befolgte Gedankengang derselbe ist wie der von Herschel bei seinem Beweise gebrauchte (s. Art. 43), daher auch denselben Ein- würfen ausgesetzt. Wie bei Adrain's erstem Beweise erscheint auch hier die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Wertes von x durch eine endliche Grösse ausgedrückt. 156. Die erste Untersuchung über die Fehler in der Be- stimmung eines Punktes in der Ebene und im Räume rührt von Bravais her und ist in einer ausführlichen, durch schöne Analyse ausgezeichneten Abhandlung*) niedergelegt. Sie enthält fast alle wesentlichen Resultate, welche auf diesem Gebiete später zu Tage gefördert worden sind. Nur die Voraussetzungen, von welchen sie ausgeht, sind sehr spezieller Natur. Die Koordinaten X, Y eines Punktes in der Ebene seien als Funktionen der durch Beobachtung zu bestimmenden Grössen L^, L^y " Ln gegeben, und zwar Die Beobachtungen mögen für die Elemente L^yL.^,.,.Ln die Werte Z^, Zjj, . . . In ergeben haben, welchen die Fehler a^y e^y , , , Bn anhaften. Setzt man *) Analyse mathämatique sur las probabilitäs des erreurs de Situation d^un point. Mem. präs. par divers savans ä TAcad. r. des Bciences de Tlnst. de Frauce, IX (1846), pag. 265—332. — 348 — so sind X — Xq = Xj Y — I^ = y die Fehler dieser Be- stimmung und können ; wenn man f^^f^ ,...£» ^Is so klein voraussetzt, dass ihre Potenzen und Produkte vernachlässigt werden dürfen, ausgedrückt werden in der Form wobei 2/ = h h + hh + • •■ + Ks„, «1 — dX„ ^^ dl, ' •■■ «» • dl„ w- dY, h ^^0 ri Es wird nun die Annahme gemacht, dass jeder der Werte ZjjZg, ...Z« hervorgegangen sei aus einer sehr grossen Anzahl von Beobachtungen und darauf mit Hinweis auf Laplace's Analyse geschlossen, dass jeder der Fehler Bi dem ^ h. Exponentialgesetze -^= e-~V«t* folge. y 7t Wären X, Y unabhängig von einander, so wären es auch ihre Fehler x^ y und würden einzeln demselben Gesetze unterworfen sein — der Form nach — wie die e, so zwar, dass die Wahrscheinlichkeit, es falle x zwischen die Grenzen X und x + dXj beziehungsweise y zwischen die Grenzen y und y + dyy den Ausdruck hätte*) -p- er^x'^^dXy respektive h - — C^'y''J''dy, worin Y it j_ = < _i_ «*' _i_ . . . _i_ "ji! = r»«i (3) , . "7t " ~ 7t * "T" 7( » "T ■" 7t ' IhhJ ' 1/ i * /t *) Bravais beruft sich hierbei auf Laplace; in dieser Form sind aber die Resultate bei Laplace nirgends ausgesprochen. Der Beweis kann wie folgt gegeben werden. Wenn s^ dem Gesetze — :i:i e » *» folgt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe y 7t ^1^1 + «8 ^2 + • — h "n *» "="[**] zwischen den Grenzen x und x-\-dx liege, ausgedrückt durch (s. Art. 60) - 349 - In Wirklichkeit aber hängen X und Y vermöge der Elemente, welche zu ihrer Bestimmung verwendet werden, mit einander zusammen, und um die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass ihre Fehler x^y zwischen bezeichneten Grenzen sich bewegen, hat man den Ausdruck h. h h. für die Wahrscheinlichkeit des Zusaramentreflfens bestimmter Werte der n Beobachtungsfehler s auf jenem Wertgebiete zu integrieren, welcher den bezeichneten Grenzen entspricht. OO 00 OO QC n I I '" I I cos(fa>] — .T)(^t' ^^'^'^ (h^df^-'-ch^^d n — oc — ao — 00 OD 00 -9i -^''.'+«,^öK-i^;^ rrv' v-J' —OD ^hh-'Kdx / -x&V-ll TTV^ ~^\ ir^\ -y-J' l^'^' n df) -J OD (dar f -^\TM-'^y-^ \ \Xf OO dx I ^7 dx [ aa~\ La Ä J . K sie ist also thatsäcblich von der Form — n c— V** Ja:(iy bestimmt. 157. Zur Auffindung der Konstanten -BT, a,j, «ig, «22 kann der folgende Weg eingeschlagen werden. 1) Integriert man p in Bezug auf y zwischen den Grenzen — cx) und cx), so bedeutet das Resultat die Wahrscheinlich- keity dass x als unabhängig von y aufgefasst zwischen x und X -\- dx liege; der so gefundene Ausdruck muss also übereinstimmen mit dem früher aufgestellten K -4re-^x^''^ dx\ daraus schliesst man, dass (11) K"^ = a,^a^^ - aj und || = [^] • 2) Das Resultat der Integration von p in Bezug auf x zwischen den Grenzen — 00 und 00, d. i. - e «•» rfy, h muss aus analogen Gründen mit - ^- 6'~"V^* (:?y zusammen- y w fallen, woraus sich ergibt Man hat also, wenn die Summen I v?J, | t, J abkürzungs- weise mit «11, «22 bezeichnet werden, vorläufig die drei Glei- chungen (13) «a = ^'«22 A = «ii<722 ^12 • 3) Zur Gewinnung einer vierten Gleichung werde das Koordinatensystem bei festbleibendem Ursprung X^, Y^ um den Winkel •9' gedreht. Bezeichnet man die Koordinaten des Punktes x^y im neuen System mit {x)y (y), so ist Czuber, Theorie der Beobaohtungsfehler. 23 — 354 - .^^. X = {x) cos -9- — (y) sin %> y = {x) sin %• + («/) cos -9- ; der Ausdruck (10) ändert durch diese Transformation seine Gestalt nicht; und bezeichnet man die den früheren Grössen analogen mit demselben aber eingeklammerten Buchstaben^ so ist, wie man leicht überblickt^ (^ii) = ^11 cös^ ^ + 2ai2 cos 'S- sin '9' + «22 sin^ %' (15) («22) = <^n sin^ %' — 2ai2 cos -9- sin 'S- + a^^ cos^^ (^12) = (^22 — %i) cos '9' sin '9' + öt,2 (cos^ •9' — sin^'9'); ferner bestehen zwischen (-BT), {pi^y (^12)? (^22)? (^ii)? (^2) analoge Gleichungen, wie sie zwischen den ursprünglichen Grössen bestanden haben, und es folgt insbesondere aus («22) = WX«ii) ^^^ («11) = W^(a22)^ und oo, so entsteht Vx = _ / «ugM — O ia* ^i I 2 ^»'^»3 — «12«!» , gii aas— «1»' J\ P. \ «U «11 «u / ^y«ii dyd0, und der Fall erscheint zurückgeführt auf die Bestimmung eines Punktes in der Y^Z-Ebene. Mithin ist nach den im vorigen Artikel gefundenen Resultaten (13) und (13*) und mit dort gebrauchten Bezeichnungen ^ =Z; ^^2 = —'*'' ""^ y«ii a 11 , -^ «33 ;; ) a 11 1^2^ ^ 12^13 ^11^83 -£1. «23 G 11 Ähnliche Gleichungen erhält man, wenn man die Integration in Bezug auf y und in Bezug auf ausführt. Im Ganzen ergibt sich das Gleichungssystem a *22 *33 ^23 11 Q'i 7 ^12 ^31 ^32 ^33^12 G' ) ^13 ^21 ^23 ^22^13 G' (25) «21 =«12; a 22 > ^23 ^12^13 ^11^23 G"' «31 ^13 7 «32 «23 9 a 33 ^11 ^22 *12 a 11 Es ist aber der Zähler von a^^ die dem Element a^^ adjungierte Subdeterminante von JB, ebenso der Zähler von a^2 die dem Element a^2 adjungierte Subdeterminante u. s. f. Demnach ist G« «11 «12 ^13 ' «21 ^22 ^^23 «81 ^32 ^33 = R^ und mit Bezug auf (23) (26) G' «j, «,2 «13 ^21 ^22 ^23 or. ül ^32 ^33 — 358 femer hat man*) Cr \^S8 ^33 ~~~ ^^23 / /^2/ 2\ -P «11 = j* = ^ i,«22«33 «23 )} ^« S. I., M SO dass sich schliesslich neben (26) folgende Bestimmung der Konstanten ergibt «n — G'itCsi «33- - «23'). «12 — G^*(a8ia32 — «33 «12)» «13 — (^\ «32 «23 > (27) a,, = «33= G^^ («11 «22— «12*)- Man kann indessen diesen Resultaten noch eine andere bemerkenswerte Gestalt geben, indem man sich ähnlicher Umformungen bedient wie in Art. 146. Zunächst ist ['aal [ctl>l r^cl j[hJ LmJ UhhJ «12 «13 «22 «23 «32 «33 Uli [bal rbhl rb_cl UihJ IhhJ U/J real [cbl fccl IhhJi IhhJ IhhJ S^ («» h ^k^ die Summierung über alle Kombinationen der Zeiger 1, 2, ...w zu dreien ausgedehnt; ferner ist «22 «33 «23 «31 «32 «33 «12' IhhJ L/i/J Ihül LmJ Vhcl rha] Lhh\ bihl IhhJ IhhJ V ^"t ^ V ^'^ ' .^ (6 ■ cp (c^. o^.) die Summierung über alle Kombinationen der Zeiger 1,2,...« zu zweien erstreckt; man hat also *) Baltzer, Det., 6. Aufl., pag. 63. — 359 - 6^* jdi n:' h/ V ^ (6,c^.)(a .6^.) (28) «21 = a,2 , a,2 = „(a.^^.^y^ ' a«. 23 fn h r>\i 7 ^31 ^13 > ^32 ^23 » ^33 Das wesentliche Resultat der Untersuchung besteht nun in Folgendem: Alle Wertverbindungen Xj y, z, welche der Gleichung (29) a^^x^ -\- a^^y^ -\- a^z^ -\-2a^^y z '{-2a.^^zx -{- 2a^^xy = con^i, genügen, haben dieselbe Wahrscheinlichkeit. Nun aber stellt diese Gleichung vermöge der Beschaffenheit ihrer Koeffizienten ein EUipsoid, beziehungsweise ein System von EUipsoiden dar, wenn man der const. nach und nach verschiedene Werte beilegt. Es ordnen sich also Punkte gleicher Wahrschein- lichkeit nach konzentrischen, ähnlichen und ähnlich liegenden EUipsoiden um den Punkt X^, Fq, Zq als gemeinsamen Mittelpunkt. — 360 ~ 159. Von einem anderen Gesichtspunkte und wesentlich allgemeineren Voraussetzungen geht die folgende Unter- suchung aus^ welche hier nur für den Fall eines Punktes im Räume geführt wird, weil die auf einen Punkt in der Ebene bezüglichen Resultate sich aus den gefundenen leicht ableiten lassen. Der Grundgedanke ist in der Auffassung enthalten, welche Bienayme*) den Resultaten der Methode der kleinsten Quadrate unterlegen wollte und die darin be- steht, dass nicht nach der Wahrscheinlichkeit vorgegebener Grenzen für den Fehler eines einzelnen Elementes, sondern nach der Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Eintreffens gegebener Grenzen für die Fehler aller Elemente gefragt wird, und nach dieser zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit soll der Wert des Ausgleichungsresultates beurteilt werden. Wenn die Elemente die Koordinaten eines Punktes in der Ebene oder im Räume bedeuten, dann ist diese Auffassung wohlbegründet in der Zusammengehörigkeit dieser Grössen: erst aus den Fehlern beider, beziehungsweise aller drei Koordi- naten und der Wahrscheinlichkeit ihres Zusammentreffens gewinnt man eine Vorstellung von der Genauigkeit der Punkt- bestimmung. Die Analyse jedoch, welcher wir folgen werden, ist verschieden von jener Bienayme's; sie schliesst sich an die in Art. 119 entwickelte Analyse Todhunter's an. Ein Punkt im Räume sei als Durchschnitt einer sehr grossen Anzahl n von geometrischen Ortern — Flächen — bestimmt, deren jeder von beobachteten Grössen abhängig und daher Fehlern unterworfen ist. Kennt man Näherungs- werte der auf ein orthogonales System bezogenen Koordinaten des Punktes und darf man die an denselben anzubringenden Korrektionen X, T, Z — d. i. die relativen Koordinaten des wahren Punktes in Bezug auf den durch die Näherungswerte bestimmten — als so klein voraussetzen, dass Potenzen und Produkte dieser Grössen den ersten Potenzen gegenüber ver- nachlässigt werden dürfen, so lässt sich jeder der geometri- *) Sur la probabilitä des erreurs d^apr^s la mäthode des moindres carres. Journ. Liouville, sdr. I, XVIII, pag. 33—78. — Vgl. d. Verf. „Zur Theorie der Fehlerellipse**, Sitzber. der Wiener Ak., Bd. 82, 2. Abt. — 361 — sehen Orter in der Umgebung des genäherten Punktes durch eine Ebene ersetzen, so dass man zur Bestimmung von X, Y,Z n Gleichungen der Form (1) 8i^^li + aiX+hY+CiZ (i=l,2,...n) hat, worin a,-, 6,-, Ci gegebene von Fehlern freie Grössen, li aber eine von der Beobachtung abhängige Grösse und Si ihren Fehler bedeuten soll; damit ist geometrisch der Sach- verhalt ausgesprochen, dass die Stellung jeder der n Ebenen als feststehend und fehlerfrei, dagegen ihre Lage im Räume als fehlerhaft betrachtet wird. Eine Voraussetzung über das Gesetz, welchem die einzelnen Si unterworfen sind, soll nicht gemacht werden; zur Vereinfachung der Analyse wird an- genommen, dass es unabhängig sei von dem Zeiger i. Um Werte für X, Y, Z abzuleiten, multipliziere man jede der Gleichungen (1) mit einer Zahl «,- und bilde die Summe, verfahre dann ebenso mit einem zweiten und einem dritten System von Zahlen /3, und y,. Wenn man diese Zahlen den zu ihrer Bestimmung nicht ausreichenden Bedingungen [aa] = 1 , [ab] = , [ac] = (2) [ßa] = 0, [ßh]=l, [ßc] = [ya] = 0, [yh]=0, [yc] = l unterwirft, so kommt man zu den Bestimmungen X = [al] + [ae] (3) Y=[ßl] + [ße] welche die unbekannten Fehler s enthalten. Wählt man statt der verschiedenen e ihren gemeinsamen Mittelwert oo 7c' = I £q){€)di ■00 und setzt demgemäss Xo = [«?] + L«]^' (4) r„ = m + \ß]Tc' 362 - so hat diese Annahme die Fehler a; = X — Xo = [«£] - [cc]k' (5) 2, = r - Zo = [ßa] - mk' 0^Z-Z, = [ye] - [rW zur Folge, und nach der in Art. 119 gegebenen Entwicklung ist J (6) p = e ^ dx dy dz die Wahrscheinlichkeit, dass gleichzeitig x^ y, z zwischen den Grenzen x und x + dXy y und y + dy, z und z -^ dz ent- halten sind. In diesem Ausdrucke bedeutet: z/ die Determinante [aa] [«&] \ac\ {m im im lyd\ [y6] \yc\ welche wegen (2) im vorliegenden Falle den Wert 1 hat; iJ die Determinante des Grössensystems (7) A,, = Ä,,, A,,^[ßß]f, A,,=^[ßy]x^ .432 = J,3, -433 = [yy];t^ wobei ;t''^ = - (&" — Z;'^) und Ä" der Mittelwert von «^ ist; endlich v jene quadratische Form von x, y, z, welche aus hervorgeht durch die Substitution (s. die Gleichungen (14) und (17), Art. 119 und die Gleichungen (2) dieses Artikels) ^ = -^11^1 4" -4i2?2 "f" -^13 Sa y = -421^1 + ^22^2 + ^23^3 ^ = -^aiSl "T" -^32 52 "T -^33 §3* Bezeichnet man das System der Adjunkten zu den Ele- menten der Determinante R mit ^31 — -^13; ^11 ^12 ^13 0^21 ^22 ^23 («i2 = «2n---) ^31 ^32 ^33 ; — 363 - so folgt aus den letztangeschriebenen Gleichuojgen Rti = a^ix + 0122/ + «13^; R^2 = 0^21 0? + «22» + «23^; J^Ss = Die Buchstaben 9, g), @ haben die üblichen Bedeutungen*). Das Gesetz des Fehlers werde allgemein mit Q be- zeichnet in dem Sinne, dass das Produkt Qdu, respektive ^dv die Wahrscheinlichkeit ausdrückt, der Endpunkt des Fehlers liege in dem Element du der Ebene, beziehungsweise in dem Element dv des Raumes. Im ersten Falle ist Q eine discher Sprache erschienen in den Verhandlungen der königl. Akad. d. Wissensch. zu Amsterdam, XV. *) Daraus, dass 9 bisher zur Bezeichnung des Wirkungsgesetzes eines linearen Fehlers auschliesslich gebraucht wurde, kann hier keine Unzukömmlichkeit entstehen. — 365 - Funktion von p, q) oder x, y, im zweiten Falle eine Funktion von Q, % ® oder x, y, 0, Es ist also Odxdy^ Odxdydz die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in dem Flächen-(Raum-) Element dxdy (dxdydz) am Punkte x, y (x, y, ^); O^dQdq) , Oq^ sin ® dQdg)dS die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in dem Plächen-(Raum-) Element gd^dg) (q^ sin ® dQdq)d&) am Punkte (), q) ((), q), &). Hieraus geht unmittelbar hervor, dass (1) / j Odxdy =11 ^Qf^ä^ = 1 — 00 —00 für Fehler in der Ebene und 00 QO 00 OD 2jt 1t (2) / \ j Odxdyd0= j j j Oq^ sin & dQd(pd® = 1 — 00 — 00 — 00 für Fehler im Räume. Bei der in Art. 154 berührten Anschauungsweise, wo O die Dichte einer ideellen Materie bedeutet, stellen diese Inte- grale die Masse des ganzen Wahrscheinlichkeitskörpers vor. Den angeschriebenen Gleichungen liegt die Annahme zu Grunde, dass entweder Fehler aller Grössen und Richtungen möglich sind, oder dass die Funktion O, falls das Fehler- gebiet ein begrenztes sein sollte, diese Grenzen explicit ent- hält, so dass sie ausserhalb derselben verschwindet. 162. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler unabhängig von der Richtung den Betrag q nicht unter- und 9 + ^9 nicht überschreite, kommt der Masse eines Kreisringes, re- spektive einer Kugelschale gleich, welche mit den Halb- messern Q und Q -^ dQ um den Ursprung beschrieben wird, und ist für Fehler in der Ebene durch das Produkt aus 2ft (3) ®„ = gj^dg, , für Fehler im Räume durch das Produkt aus - 366 - 27t 31 (4) 0^ = 92/ / ^ gin @ cl^^s mit ÜQ ausgedrückt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler unabhängig von seiner Grösse eine bestimmte Richtung aufweise, kommt der Masse eines vom Ursprung als Spitze bis an die Grenze des Wahrscheinlichkeitskörpers reichenden Winkels , respektive Kegels von unendlich kleiner Öffnung gleich und ist für einen Fehler in der Ebene proportional 00 (5) ^y == / ^QdQ , für einen Fehler im Baume proportional 00 (6) 0y,0 = sin / Oq^üq . Ü 163. Um die Fehler in der Ebene und im Räume auf lineare Fehler zurückzuführen, projiciere man jeden der beob- achteten Punkte auf eine der Coordinatenaxen, z. B. auf die X-Axe. Der Fehler dieser Projektion, zugleich die Projektion des ursprünglichen Fehlers auf der betreffenden Axe, befolgt ein Gesetz, das sich aus O leicht gewinnen lässt. Die Ge- samtheit der Punkte, deren Projektion in das Element x bis X -{- dx der X-Axe fällt, erfüllt in der Ebene einen durch zwei zur X-Axe senkrechte Gerade begrenzten Streifen, im Räume eine durch zwei zu derselben Axe senkrechte Ebenen begrenzte Schicht; es ist somit die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler in Projektion auf die- X- Axe zwischen x und X -{- dx falle, in der Ebene durch 00 (7) O, =j Ody, — 00 im Räume durch OD 00 (8) ^r'=J Jodydg, ■00 00 jedesmal mit dx multipliziert, gegeben. Ahnliche Ausdrücke - 367 - können fiir die Projektionen des Fehlers auf die andere, be- ziehungsweise die beiden andern Axen aufgestellt werden. 164. Das mittlere Quadrat eines Fehlers in der Ebene ist CO oo K"=j I (x^ + y^) 9dxdy , , 00 OD (9) OD 27r oo U und das eines Fehlers im Räume oo oo oo K" = / / I {x^ + ^f + z^^dxdyde oo 2rt n 00 00 ^— OD— — 00 (10) ^=111 Q^0 sin @dQd(pd@= 1 Q^O^dQ] U U sein Ausdruck stimmt überein mit demjenigen für das polare Trägheitsmoment des Wahrscheinlichkeitskörpers in Bezug auf den Ursprung. Das mittlere Quadrat des Fehlers in Projektion auf die X-Axe hingegen ist oo 00 00 Kx = I x^0jcdx= I I x^Odxdy 00 QO 00 QO CO 00 00 beziehungsweise K;;= j x^O^dx = / / / x^Odxdydß •00 00 00 00 und bedeutet zugleich das Trägheitsmoment des Wahrscheiu- lichkeitskörpers im ersten Falle bezüglich der F-Axe, im zweiten Falle bezüglich der FZ- Ebene. Stellt man auch die entsprechenden Ausdrücke für die andern Fehlerprojektionen auf und vergleicht mit (9) und (10), so ergibt sich für Fehler in der Ebene (11) k'' = k;;+k;\ für Fehler im Eaume (12) k" = k + k;;+k:\ — 368 - Diese beiden Gleichungen drücken bekannte Eigenschaften der Trägheitsmomente aus und man kann^ vermöge der zwi- schen den mittleren Fehler quadraten einerseits und den Träg- heitsmomenten andererseits bestehenden Analogie, auch andere Eigenschaften der letzteren auf die ersteren übertragen. . Sowie es in der Ebene zwei und im Räume drei zu ein- ander normale Hauptaxen der Trägheit gibt, so treten auch bei Fehlern in der Ebene und im Räume zwei, beziehungs- weise drei zu einander senkrechte Richtungen auf, welche eine ähnlich wichtige Rolle spielen und als Hauptaxen der Wahrscheinlichkeit bezeichnet werden mögen. Ihre Existenz ist ebenso unabhängig von dem Fehlergesetz, wie die Existenz der Trägheitshauptaxen unabhängig ist von der Form und den Massenverhältnissen des Körpers. Wählt man die Hauptaxen der Wahrscheinlichkeit zu Koordinatenaxen, so verschwindet bei Fehlern in der Ebene das Integral 00 QO Xy = / / ocyOdxdy, CO — oo bei Fehlern im Räume das Integral 00 CO 00 ^'yz= III y^^dxdydZy — 00 — QO —-00 nebst den beiden analogen K^x, J^xy Es sind demnach die Gleichungen Kxy = beziehungsweise Kyz = ^ Kzx=Oj Kxy = das Merkmal für die Hauptaxen der Wahrscheinlichkeit. 165. Es soll nun erörtert werden, wie man aus den mittleren Quadraten der Fehlerprojektionen auf die Haupt- axen das mittlere Quadrat der Projektion auf eine beliebige Axe, und wie man aus den auf irgend ein rechtwinkliges Axensystem bezogenen Werten K'x^ Ky, K^y, respektive Kx\ Ky\ IC , K'yzy ^'zxy ^xy dic Hauptaxcn und die auf sie be- zogenen mittleren Quadrate ableiten kann. — 369 — Um das mittlere Quadrat für eine Axe durch den Fehler- ursprung zu finden^ welche mit der Hauptaxe OX den Winkel d' bildet, projiziere man den beliebigen Fehler a?, y auf diese Axe; die Projektion kommt gleich X cos # -f- y sin '9' , ihr mittleres Quadrat also 00 00 (IS) ^^ °^J / (* cos d + y sin »y Odxdy OD 00 weil Kxy = ist Wenn hingegen die auf ein beliebiges rechtwinkliges System bezogenen Werte Kx\ Ky, Kxy gegeben sind, so tritt bei dem Übergange zu einem neuen Coordinatensystem X^OYi, wenn ^ XOX^ = ^ ist, an die Stelle von a?, y im neuen System beziehungsweise 0^1= X cos ^ + y sin ^ ^1 = — 2/ sin ^ + y cos ^ , und damit die neuen Axen Hauptaxen seien, muss 00 00 Kx^y^= f f (xcoa^-\rys\ml;)(—xsinip'j-ycosjlf)Odxdy=0 •00 — oo werden; d. h. (— ■ Kx + Ky) cos ^ sin ^ + K^yicos/^ ^ — sin^ ^) = , woraus (14) tg2t = j^^^^,; ferner ergibt sich leicht r^p. Kx[ = Kx cos^ ^ + Ky sin^ ^ + 2Kxy cos ^ sin ^ JSTy^ = E^ sin* ^ -f- Ky cos* ^ — 2Kxy cos ^ sin ^ . Die Projektion des räumlichen Fehlers x, y, z auf eine Gerade mit den Richtungswinkeln a, ß, y ist gegeben durch X cos a + y cos ß '\- z cos y , mithin ist, wenn die zu Grunde liegenden Axen Hauptaxen sind, (16) X>y = K'x cos* a + Ky cos* /3 + K cos* y . Gzubor Theorie der Beobachtungsfehler. 24 — 370 — Geht man yon einem beliebigen rechtwinkligen Axen- System zu einem andern über, dessen Axen die Richtungs- Cosinus dj^fhj^yCj^'^ ^2; ^2; ^9 ^s^^s?^ haben, so sind a?i = a^x + \y + Cijer, y^ = a^x + b^y + c^0, die Projektionen des Fehlers x, y, js? auf die neuen Axen; sollen diese Hauptaxen sein, so muss K^[zi^ Kz.x^ und Kx^y^ verschwinden; d. h. es muss + (^2^3 + h<^2)^yz + {c^(iz'\-c^a^)Kx + («2^3 + (hh)^xy = (17) Os^iJ^x + hhK' + ^3^1-^*' + (^8^1 + h<^z)Kz + ip^<^i + c^o^^K'x + (0,61 + a^h^)Kxy = + (^1^2 + &2^l)'2y*+ feöf2 + C^CL^K'Jx + (Ö1&2 + a^h)J^xy = werden; diese Gleichungen in Verbindung mit den sechs Gleichungen, welche zwischen den neun Richtungscosinus aus geometrischen Gründen bestehen,' reichen zur Bestim- mung derselben aus. Ist diese Bestimmung erfolgt, so findet man leicht x; = v^; + V J^' + ci^i^; + 2\c^Kyz + 2c^a^K','x + 2a^b^K:^y (18) ^: = a,^K + h^K'y + c^^K' + 262^2^^'*+ 2c^a^K'x+ 2a^b^K^y K:[ = a,'Kx+h'K;'+c,'K + 2b^c^Ky, + 2c^a^K'x+ 2a^b^K!^y. 166. Trägt man auf jeder durch den Fehlerursprung laufenden Geraden von diesem aus eine Strecke q ab derart, dass die Coordinaten x^ y, beziehungsweise x^ y, des End- punktes, auf die Hauptaxen bezogen, der Gleichung (19) KV + ^y = 1 für die Ebene, beziehungsweise (20) Kxix^ + Kf + K0' = 1 für den Baum genügen, so folgt aus (13), respektive (16), dass — 371 — (21) Z; = ^ (22) S«fir = Y- Die Gleichung (19) stellt eine Ellipse, die Gleichung (20) ein Ellipsoid mit den Hauptaxen der Wahrscheinlich- keit als Axen dar. Es sind demnach die mittleren Quadrate der Projektionen des Fehlers auf beliebige durch den Fehler- ursprung gezogene Gerade durch die reciproken Quadrate der zugehörigen Radien einer gewissen Ellipse oder eines EUip- soids dargestellt, für welche Gebilde sich die Bezeichnung Ellipse oder Ellipsoid der mittleren, Fehler eignen würde. Man erkennt leicht den Zusammenhang, welcher zwischen der Ellipse der mittleren Fehler und der Central- ellipse des Wahrscheinlichkeitskörpers (-Fläche) besteht. Da nämlich Ks^ das Trägheitsmoment in Bezug auf die zur Ge- raden d' senkrechte Axe vorstellt, so ist die Ellipse der mitt- leren Fehler die um 90^ gedrehte Centralellipse. — Zwischen dem Ellipsoid der mittleren Fehler und dem Centralellipsoid findet eine ähnliche Beziehung nicht statt, wie man schon daraus erkennt, dass Käßy ^^^^^ ^^s Trägheitsmoment in Bezug auf eine Axe, sondern in Bezug auf die zur Geraden aßy senkrechte Ebene durch den Fehlerursprung bedeutet. 167. Man denke sich ein beliebiges rechtwinkliges Axen- system, den Fehler auf die Axen desselben projiciert und bilde die Mittelwerte dieser Projektionen. Für die X-Axe und für Fehler in der Ebene ist dieser Mittelwert gleich Cß 00 (23) KJ =^fj xOdxdy, für Fehler im Räume •OO 00 00 oo oo (24) K ^S J J a;0da;dy(?j ■00 00 —00 und bedeutet, wenn man auf die Gleichungen (1) und (2), Art. 161, Rücksicht nimmt, die Abscisse des Schwerpunktes des Wahrscheinlichkeitskörpers. 24* — 372 — Ist Kx von Null verschieden, so drückt es den kon- stanten Anteil der Fehlerprojektion auf der X-Axe aus, ebenso Ky für die F-Axe und eventuell Ks für die Z-Axe. Mit demselben Rechte hat man die Verbindungslinie des Fehlerursprungs mit dem Schwerpunkt K^^ K^ (eventuell Ks) des Wahrscheinlichkeitskörpers als konstanten Anteil des Fehlers überhaupt aufzufassen, und bezeichnet man ihn mit K', so ist (25) K'^ = KJ^ + Ky'' beziehungsweise (26) K'^ = k:^ + Ky"^ + k:^ . Nach der Lage des Schwerpunktes des Wahrscheinlich- keitskörpers hat man zu unterscheiden: 1) Konstante Fehler, welche immer dieselbe Grösse und Richtung haben und deren Wahrscheinlichkeitskörper sich auf einen festen ausserhalb des Fehlerursprungs liegen- den Punkt reduciert. 2) Zufällige Fehler, deren Wahrscheinlichkeitskörper seinen Schwerpunkt im Ursprung hat. 3) Gemischte Fehler, bei welchen der Schwerpunkt des Wahrscheinlichkeitskörpers ausserhalb des Ursprungs liegt. 168. Die Wirkung eines Fehlers besteht in einer Ver- schiebung des wahren Punktes von bestimmter Grösse und Richtung. Daraus folgt unmittelbar, dass Fehler, welche gleichzeitig einen Punkt beeinflussen, ebenso zusammengesetzt werden wie Kräfte, Geschwindigkeiten etc. Sind die Fehler unabhängig von einander, so ist die Wahrscheinlichkeit des ., zusammengesetzten Fehlers das 1" ^y7 Produkt aus den Wahrscheinlich- / ^^ / keiten der zusammensetzenden / ^y^ / Fehler oder Componenten. / ^^ / Ist demnach OA^ Fig. 7, ein ly^ / gemischter Fehler, Q> das Gesetz, O jS welches er befolgt, 8 der Schwer- punkt seinesWahrscheinlichkeits- körpers, so kann OA als das Resultat des Zusammenwirkens des konstanten Fehlers OS und eines zufälligen Fehlers — 373 — OA' = SA betrachtet werden, und da die Wahrscheinlich- keit des ersteren gleich ist der Einheit, so muss die Wahr- scheinlichkeit von OA' notwendig dieselbe sein wie die von OA. Es hat demnach der zufällige Fehler OÄ einen Wahr- scheinlichkeitskorper, welcher jenem des gemischten Fehlers OA kongruent und derart parallel verschoben ist, dass der Schwerpunkt mit dem Fehlerursprung zusammenfallt. Durch diesen einfachen Vorgang ist der gemischte Fehler von seinem konstanten Anteil befreit und auf einen zufalligen zurück- geführt. Wird ein Punkt von mehreren gemischten Fehlern be- einflusst, so denke man sich jeden derselben in seinen kon- stanten und zufälligen Anteil zerlegt: die Resultante aus den konstanten Anteilen gibt den konstanten Teil des Gesamt- fehlers, ebenso wie die Resultante der zufälligen Anteile seinen zufalligen Teil ergibt. Es genügt, wenn dies für zwei Fehler nachgewiesen wird. Sind diese x^y y^, 0^] x^, y^, z^^ ©1 und ^2 ^^® Gesetze ihrer Wirksamkeit, so ist nach dem Prinzip der Zusammensetzung x^ + ^2 ^^^ Projektion des zusammengesetzten Fehlers Xy y, z auf der X-Axe und ihr Mittelwert ß (X^ -{- X2) ^1 ^2 ^^1 ^ J/l ^^1 ^^2 ^^2 ^^2 ? die Integration in Bezug auf jede der Variabelu zwischen den Grenzen — cx) und 00 ausgedehnt. Das Integral zer- fällt aber in die Summe / x^^^dx^dy^dz^ f ^^dx^dy^dz^ (3) (3) + / OidXj^dy^dZj^J x^^^dx^dy^dz^, iß) (8) welche mit Rücksicht auf die Gleichung (2), Art. 161 gleich- kommt / Xi^^dx^dy^dz^ + / x^^dx^dy^dz^] 3 * (3) dies ist aber die Summe der konstanten Teile der beiden komponierenden Fehler in ihren Projektionen auf der X-Axe. — 374 — Da ein Gleiches von den beiden andern Projektionen gilt, so ist damit in der That bewiesen^ dass der konstante Teil des resultierenden Fehlers die Resultante aus den konstanten Anteilen der einzelnen Komponenten ist. Man sieht zugleich^ dass, sofern die beiden betrachteten Fehler zuföllig sind, auch ihre Resultante den Charakter eines zufälligen Fehlers hat. 169. Für das mittlere Quadrat Kx der Projektion des resultierenden Fehlers auf der X-Axe hat man den Ausdruck /' {x^ + x^^9^%dx^dy^de^dx^dy^dß^j (6) und dieser zerfällt, wenn man die Gleichung (2), Art. 161 beachtet; in die Summe \^9^dx^dy^dz^ + / x^^^dx^dy^dz^ / 8) + 2J x^^^dx^dy^dz^J x^^^dx^dy^dz^, (8) (8) d. h. es ist Dies kann auf eine beliebige Anzahl zusammenwirkender Fehler ausgedehnt werden und gibt, wenn man von dem Er- gebnis des vorigen Artikels Gebrauch macht, In gleicher Weise ist k:' - k:^ = ^K'. - ^k;;. Durch. Summierung erhält man vermöge (12), Ari 164, und (26), Art. 167 (28) Z" — K'' = ^Xr - ^K/K Hiernach ist das mittlere Quadrat des resultierenden Fehlers vermindert um das Quadrat seines konstanten An- - 375 — teils gleich der Summe der mittleren Quadrate der kom- ponierenden Fehler vermindert um die Summe der Quadrate ihrer konstanten Anteile. Ist x^yy^^i zufallig, iTa, ^2? ^2 konstant, so wird E^^ = 0, K^ = Kx^ und die Gleichung (27) reduziert sich auf woraus Schreibt man die analogen Gleichungen für die andern Piojektionen an und bildet ihre Summe, so entsteht (26) k;'^k" — k'k Dies besagt, dass das mittlere Quadrat des von seinem konstanten Anteil befreiten Fehlers gleichkommt dem mitt- leren Quadrat des gemischten Fehlers vermindert um das Quadrat seines konstanten Anteils. Mit Rücksicht auf dieses Ergebnis kann der Gleichung (28) auch die Fassung gegeben werden, dass das mittlere Quadrat der vom konstanten Anteil befreiten Resultante gleich ist der Summe der mittleren Quadrate der ebenso modifizierten Gomponenten. 170. Alle Ergebnisse, welche bisher abgeleitet worden sind, gelten ohne Rücksicht auf das Gesetz, welchem die Fehler folgen. Wir gehen nun dazu über, das Gesetz des Fehlers in der Ebene und im Räume aus seiner Entstehung und zwar unter der alleinigen Annahme abzuleiten, dass er das Resultat des Zusammenwirkens einer sehr grossen An- zahl derartiger Fehler sei. Dieses Gesetz bezeichnet Schols, wie schon einmal bemerkt worden, als das Grenzgesetz. Wenn man die sämtlichen Fehler, als deren Resultante der betrachtete Fehler angesehen wird, auf eine durch den Fehlerursprung gehende Axe projiziert, so ist die Resultante dieser Projektionen die Projektion des Gesammtfehlers. Die Resultante einer sehr grossen Anzahl linearer Fehler, welche frei sind von konstanten Anteilen und in ihrem Grössen- verhältnis gewissen Bedingungen genügen (s. Art. 38), folgt aber dem Gesetze — 376 - (30) -7^=-e '^'"7 wobei K" das mittlere Quadrat von x bedeutet. Die Aufgabe besteht nun darin, ein solches Gesetz für den Fehler in der Ebene oder im Baume aufzufinden, dass sich aus demselben für die Projektion auf irgend eine Axe das- selbe Gesetz ergibt, wie es durch Zusammensetzung der be- treffenden Projektionen der Einzelfehler erhalten wird. Jenes Gesetz ist dann das gesuchte Grenzgesetz. Wir wählen zu Koordinaten axen die Wahrscheinlichkeiis- hauptaxen des Gesamtfehlers. Jeder Einzelfehler werde su- nächst auf diese Axen projiziert und nachdem man in jeder Axe die Resultante der Projektionen und ihr mittleres Quadrat gebildet, erhält man in den drei Grössen K^\ Ky",Kt' zugleich die mittleren Quadrate der Projektionen des Ge- samtfehlers. Projiziert man sodann alle Einzelfehler auf eine durch den Pehlerursprung gehende Gerade mit den Richtangs- winkeln a, ß,y, so ist das mittlere Quadrat der Resultante dieser Projektionen zugleich das der gleichnamigen Projektion des Gesamtfehlers, nach Gleichung (16), Art. 165, KJ' cos2 a + Ky' cos« ß + K:' cos« y und ihr Gesetz demnach vermöge (30) tt» g 2\k^' co8»«+ JTy" co»V + V co»*y) ]/2 n (K^' coB« a + K^' cos« ^ + K^' cos« y) Nach Gleichung (3), Art. 39, kann aber u als Resultante von drei unabhängigen in der Geraden aßy wirkenden Fehlern aufgefasst werden, deren mittlere Fehlerquadrate K^' cos« a , Ky' cos« j3, K' cos« y sind. Nun ist aber Kx' cos« « das mittlere Quadrat der Projektion eines Fehlers, welcher mit der in Rede stehenden Geraden den Winkel a bildet und das mittlere Quadrat KJ' hat. Unter den Geraden, welche mit aßy den Winkel a bilden, befindet sich die X-Axe. Daher kann ein Fehler in der Geraden, welcher das mittlere Quadrat K^' cos« a hat, - 377 ~ als die Projektion eines Fehlers in der X-Axe angesehen werden, dessen mittleres Quadrat K^' ist. Ahnliche Schlüsse gelten für die beiden andern Bestand- teile. Daraus folgt, dass die Projektion des resultierenden Fehlers auf irgend einer Geraden demselben Gesetze folgt wie die Resultante der auf dieselbe Gerade bezogenen Pro- . jektionen dreier unabhängigen Fehler, welche längs der Hauptaxen wirken und die mittleren Quadrate KJ\ Ky\ K^' aufweisen. Daraus ergibt sich der Satz: Die Resultante einer sehr grossen Anzahl von Fehlern in der Ebene oder im Räume folgt dem- selben Gesetze wie die Resultante ihrer Projektionen auf den Hauptaxen der Wahrscheinlichkeit, diese Projektionen als unabhängig von einander be- trachtet*). Aus diesem Satze folgt aber das verlangte Grenzgesetz in einfacher Weise. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass die Resultante der Projektionen der Einzelfehler auf der X-Axe zwischen x und x -\' dx liege, ist «» e ^^x dx\ die Wahrscheinlichkeit, dass die Resultante der Projektionen auf der Y-Axe zwischen y und y -{' dy falle, ist "*) Bei Bravais ist dieser Satz für Fehler in der Ebene ebenfalls schon ausgesprochei], 1. c, pag. 279. — In der Schiesstechnik, welche, was die Treffwahrscheinlichkeit betrifft, auf der Theorie der Fehler in der Ebene beruht, wird bis in die jüngste Zeit angenommen, dass der einzelne Fehler als das Resultat des Zusammentreffens von zwei un> abhängigen, in irgend zwei zu einander senkrechten Richtungen wirkenden Fehlern angesehen werden dürfe; bei vertikaler Zielfläche wählt man als solche Richtungen die Vertikale und die Horizontale durch den Zielpunkt. Der obige Satz zeigt, dass diese Anschauung im Allgemeinen nur in einem Falle richtig ist, wenn nämlich die genannten Richtungen mit den Hauptaxen der Wahrscheinlichkeit zu- sammenfallen. Ausser von Schols ist diese Thatsache in jüngster Zeit auch von anderer Seite erkannt und zu beweisen versucht worden, 80 von General Putz und Major Siacci. Vgl. Bertrand, Compt. rend., CVI, pag. 387 flg. — 378 — 1 — A, demnach die Wahrscheinlichkeit, dass diese Grenzen, als un- abhängige Ereignisse aufgefasst, zugleich eingehalten werden, dxdif] somit ist dem obigen Satze zufolge das Gesetz des Gesamt- fehlers (31) 0= ' ! — ^> In gleicher Weise findet man für einen räumlichen Fehler g \2K^"^2K"^2K^V (32) 0= ' ' y2nKjy2nK^'y2nKJ' 171. Die erste Ableitung des Gesetzes der linearen Fehler geschah auf Grund einer Hypothese über den wahr- scheinlichsten Wert einer wiederholt mit gleicher Genauig- keit beobachteten Grösse. Es liegt nun nahe, darnach zu fragen, ob die Hypothese des arithmetischen Mittels nicht einer Verallgemeinerung fähig sei für Beobachtungen in der Ebene und im Räume. Diese Verallgemeinerung ergibt sich ohne jeden Zwang, wenn man jene Hypothese geometrisch deutet. Denkt man sich die einzelnen direkten Beobach- tungen einer Grösse unter Zuziehung einer willkürlichen Maasseinheit durch Punkte einer Geraden dargestellt, so fallt die Annahme ihres arithmetischen Mittels überein mit der Wahl des Schwerpunktes jener Punkte. In der That ist die Hypothese, die wahrscheinlichste Lage eines Punktes, für welchen mehrere gleich genaue Beobachtungen vorliegen, sei der Schwerpunkt der beobachteten Punkte, bereits 1709 von Cotes*) ausgesprochen worden. Zur Ableitung des Gesetzes '^) Aestimatio errorum in mixta mathesi, per yanationes partiam trianguli plani et sphaerici, Cantabrigiae 1722 (et Lemgoviae 1768). Die auf diese Hypothese von Cotes selbst gegründete Regel, um ans — 379 — der Fehler in der Ebene und im Räume ist sie von Schols angewandt worden. Es sei Xy Y,Z der wahre Punkt; die aufeinanderfolgenden Beobachtungen mögen für ihn die Lagen X^, Yj, Z^; X^yY^^Z^] X^y Tq, Zq] ... ergeben haben. Diesen Bestimmungen haften die Fehler x^jy^^ßj^, ^iiy%y^i] ^sj^a^^s; ... aU; wobei a?i = X — Xj 572 == X — Xg ^^3 = X — Xg • • • y,= Y-Y, y,=^Y-Y, y,^Y-Y,... Zi = Z — Z^ ^2 '^^ ^ — ^2 ^z ^'^ ^ — ^z * * *• Bezeichnet O (Xj y, z) das Gesetz der Wahrscheinlichkeit des Fehlers x, y, z, so ist die Wahrscheinlichkeit a priori, dass die genannten Fehler oder die Beobachtungen, welche sie herbeigeführt haben, zusammentreffen, proportional dem Produkt und dieses Produkt soll ein Maximum werden, wenn man für X, r, Z die Werte Zj -f- ^ 4- ^8 H — ^1 + ^2 4- ^8 H — -^1 + ^^2 4- - ^8 H — n ' n ' n annimmt oder wenn einer beliebigen Anzahl von BeobachtuDgeo ein unbekanntes Element zu bestimmen derart, dass jede Beobachtung dabei proportional ihrem Einflüsse auf das Element mitwirke, welche Regel mit der Methode der kleinsten Quadrate zusammenfällt, enthält das erste durch wissen- schaftliche Erörterung gewonnene allgemeine Verfahren zur Lösung der angedeuteten Aufgabe, allerdings nur anwendbar auf den Fall eines Elementes. Vgl. Laplace, Theorie analyt. des Probab., pag. GLXV und 379, nation. ^dit. — Nicht als Hypothese, aber als Ergebnis der Methode der kleinsten Quadrate ist der Satz^ dass die aus mehreren Bestimmungen eines Punktes im Räume resultierende Lage desselben mit dem Schwerpunkt der beobachteten Fuokte zusammenfalle, von Legendre (NouTelles m^th., pag. 75) ausgesprochen worden; geradezu als die „wahrscheinlichste Lage^* aus mehreren durch Beobachtung ge- fundenen ist der Schwerpunkt von Adrain (s. Art. 42) auf Grund des von ihm abgeleiteten Fehlergesetzes nachgewiesen worden. — Vgl. auch Art. 43. — 380 — ^1 + ^2 + ^8 H = (33) yi + 2/2 + 2/3 + -- = gesetzt wird. Setzt man abkürzungsweise (84) Ji^-'i-,, '4^-^., ^-.J-., SO können die Bedingungen des Maximums kurz so an- geschrieben werden: (35) ^'2(^,,y,,z,) + '1^2(^2.^2,^2) + ^2(^3;y3,^3) + - = ^^3(^1, 2/l;^l) + '-^3(^2^2/2,^2) + 'P'3(^3»2/3. ^3) + ••• = 0. Diese Gleichungen sollen nun mit den Gleichungen (33) den- selben Inhalt haben. Für zwei Beobachtungen ist x^-}- X2 = 0, 2/1 + 2/2 = 0; ^1 + -^2 = 0, folglich (36) W,ix,, y,, z,) 'l\{-x,, -y„ -z,). Für drei Beobachtungen hat man x^ + ^2 "I" ^3 = 0, ^1 4" 2/2 + 2/3 = 0? -2^1 + ^2 + ^3 = 0> daher mit Rücksicht auf (36) (37) 'Fi(^i,i/i,-2^i) + '^2(^2,2/2)^2)=^l(^l+^2>2/l + 2/2;^l+^^^^^ hieraus ergibt sich^ wenn man einmal in Bezug auf o^^; dann in Bezug auf x^ differentiiert und rechter Hand von einem be- kannten Satze der Differentialrechnung Gebrauch machte dass oder L^sf .J^i) = const. ox Eine ähnliche Beziehung lässt sich in Bezug auf die beiden andern Variabein y,z und die beiden andern Funktionen ^2; ^s nachweisen, und man schliesst daraus , dass ^\{Xy Vy ^) = «11^ + «122/ + «13^ ^2(^; y> ^) = «21^ + «22J/ + «^23^ ^3(^7 2/, ^) = %l^ + ^^iV + «33^- - 381 — Mit Rücksicht auf die Bedeutung dieser Funktionen -— sie sind die Ableitungen ein und derselben Funktion von x^ y, z in Bezug auf diese drei Variabein — ist notwendig %1 ''^ ^12 ^31 ^^ ^13 ^32 '^^ ^23 und l ' O von der quadratischen Form Y{(«11^ + «122/ + «13^)^ + (»21^ + «222/ + «23^)2/ + («3l^ + «32y + «33^>} nur um eine Konstante verschieden. Es ist demnach Als Ursprung des Koordinatensystems gilt hierbei der Schwerpunkt der beobachteten Punkte. Man kann aber den bisher beliebig angenommenen Axen immer solche Richtungen erteilen^ dass die nichtquadratischen Glieder des Exponenten verschwinden. Die Koeffizienten der quadratischen Glieder müssen dann, soll thatsächlich eines Minimums fähig sein, negativ ausfallen. Mithin hat man als allgemeine Form des Fehlergesetzes Zur Bestimmung der Konstanten benütze man vorab die Gleichung (2), Art. 161; dieselbe ergibt (s. Gleichung (11), Art. 118) (38) K = ^' Bezeichnet man wie früher den Mittelwert von a^ mit KJ\ so ist — 00 —00 —00 00 . OO QO OD 00 OD — 382 — also mit Rücksicht auf (38) 1 k:'=^ ebenso findet man Mithin ist |/2^x;' 1/2^1^;' ]/2^^;' die endgiltige Form des Pehlergesetzes, übereinstimmend mit (32), Art. 170. Für Fehler in der Ebene vereinfacht sich die Ableitung und führt zu dem Resultat (31), Art. 170*). § 2. Genauigkeit der Bestimmung eines Punktes in der Ebene. 172. Für die nun folgenden Untersuchungen empfiehlt es sich, die Hauptaxen der Wahrscheinlichkeit zu Koordinaten- axen zu wählen, weil dadurch die Analyse wesentlich verein- facht wird. Wir betrachten zunächst Fehler in der Ebene. Das wesentliche und nächstliegende, früher schon formulierte Resultat besteht darin, dass (1) ^ = -; ,_L ^ konstant bleibt für alle Wertverbindungen von x und y, für welche die mit einer Eonstanten x gebildete Gleichung X y besteht. Man bezeichnet die in dieser Gleichung enthaltenen Ellipsen als Fehlerellipsen. Ihre Halbaxen sind allgemein xyfe^, %y2K^. *) Eine direkte AbleituDg des Grenzgesetzes der Fehler in der Ebene und im Baume nach dem Vorbilde der BesseT sehen für lineare Fehler hat Schols 1887 gegeben in den Annales de Tl^cole Foly- techn. de Delfb, III, pag. 195 flg. — 383 - 173. Das mittlere Quadrat des Fehlers in der Punk<>- bestimmung ist nach Gleichling (9), Art. 164^ (3) K" = KJ' + Z," ; der mittlere Fehler Y^ ^^^ Punktbestimmung ist demnach geometrisch dargestellt durch die halbe Diagonale des Äxen- rechtecks jener Fehlerellipse, welche zu x* = y gehört. Aus diesem Grunde wurde diese Ellipse von Helmert*) als mittlere Fehlerellipse eingeführt; ihre Halbaxen sind VK^ und yK^. Vom Standpunkte der Mechanik ist oo oo KJ' = r l'a^^dxdy -oo 00 das Trägheitsmoment der Wahrscheinlichkeitsfläche in Bezug auf die T-kxe^ und da 00 00 // 00 00 Odxdy = 1, so ist yKx zugleich der Trägheitshalbmesser für diese Axe. Hiernach ist die mittlere Fehlerellipse — -I--^ = 1 K" ^ K" X y gleichbedeutend mit der Zentralellipse und alle Fehlerellipsen sind der Zentralellipse ähnlich. Ihre Konstruktion aus einem System beobachteter Punkte kann also nach den Methoden der graphischen Statik vor sich gehen. Diese Ergebnisse gelten unter der Voraussetzung, dass der Schwerpunkt mit dem Fehlerursprung zusammenßLllt; findet dies nicht statt, hat vielmehr der Fehler einen konstanten Anteil, so tritt an die Stelle der Zentral ellipse die auf den Ursprung bezogene Trägheitsellipse**). 174. Die Bestimmung des durchschnittlichen Fehlers fiihrt auf ein elliptisches Integral. Eine interessante geo- *) Ausgleichungsrechnung, Leipzig, 1872, pag. 236. *♦) Vgl. Jung, Compt. rend., CVI, pag. 1001. — 384 - metrische Deutung desselben hat Bravais gegeben. Führt man in der ihn bestimmenden Gleichung an Stelle von x die neue Variable § durch die Gleichung X =^%y ein, so wird dx = ydi, und OD OO ,2 / ii ^ = V^!'K^ f [^ ' '^^"^''^" 2/* V5* + 1 ''S dy ; durch Ausfuhrung der auf y bezüglichen Integration er- gibt sich (4) i^'_i/ ' 1 (i' + i) X y U" + k) Andererseits ist das Bogendifferential der Ellipse -- + ^* = 1 transformiert man dasselbe durch die Substitution x = ty, vermöge welcher die Ellipse durch das Gleichungspaar _ 1 y- G + 6») dargestellt und ist, so kommt 8 — 385 ds = j- dt und der umfang der Ellipse wird 2 2 Setzt man aber hierin ^ = ^5, hierauf a^ = ^^, i^ = -^ ^ wobei f einen vorläufig unbestimmten Faktor be- y zeichnet^ so erlangt der Ausdruck für den Umfang die Form ^ IT- " IT" f 3 "' • 2 y Dies stimmt der Form nach mit (4) überein und auch dem Werte nach dann, wenn m 1/ 2 ''k:/~ V nKj'Kr X y oder wenn Die zugehörige Ellipse bat die Gleichung " xr " ist also den Fehlerellipsen ähnlich, jedoch um einen rechten Winkel gegen dieselben gedreht, oder ähnlich und ähnlich liegend mit der Ellipse der mittleren Fehler (s. Gleichung (19), Art. 166), und hat die Fläche \ YK^KJ. Dei durchschnittliche Fehler der Punktbestimmung wird also dargestellt durch den Umfang einer Ellipse, welche den Cznber, Theorie der Beobachtungsfehler. 25 — 386 — Fehlerellipsen ähnlich ist und zur Fläche ^ des Axenrecht- ecks der mittleren Fehlerellipse hat. 175. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler zwischen den Grenzen q und q-\- dg liege, ist zufolge der Gleichung (3), Art. 162, proportional 0o = 27t Q y^ (»* /cos* (p sin* y\ e 2 ^ ^x V ' dg) . Gibt man dem Exponenten die Form X y und setzt so wird t/ T7''f X J X "\2 (ä;," + g; -)' _ j und 4iir;'ür;' - i-*' 2ä (5) $„^, = _^_ / e '— ^ -^'dg, /' -V COS 2 9) Das Integral kann nur mittels einer Reihenentwicklung berechnet werden. Aus dem eben gefundenen Resultate lässt sich unmittel- bar die Wahrscheinlichkeit*) ©(ay^BC") bestimmen, dass ^ in dem endlichen Intervall bis 6^ K" eingeschlossen sei; es ist nämlich a 2jt ^fß ^~"** ududq). Nachdem man die Integration in Bezug auf u ausgeführt hat, wird *) Das Zeichen hat hier zwar eine ähnliche wahrscheinlichkeits- theoreÜBche, aber eine andere analytische Bedeutung wie bei linearen Fehlern. — 387 — 27t 27t somit schliesslich 27t / ; / r(l — ycoaStp) (6) ®{fiyw) = 1 - i^ 1^- — . — d9- ^ ' \ f / 2« / 1 — VC08 29 ^ Das hier auftretende Integral kann wieder nur näherungs- weise mittels Reihenentwicklung berechnet werden. 176. Bezeichnet 6^ denjenigen Wert von -^^ I l-rco82.p ^f' = 2 entspricht, so ist (8) R = 6^YW der wahrscheinliche Fehler der Punktbestimmung in dem Sinne, dass es ebenso wahrscheinlich ist, der Punkt liege ausserhalb wie innerhalb eines mit dem Radius i2 aus dem Pehlerursprung beschriebenen Kreises. Wie die Gleichung (7) zeigt, hängt 6^ von v ab. Die äussersten Werte von v sind + 1 und 0; der Fall + 1 tritt für lineare Fehler ein, wenn nämlich entweder Ky' «= oder K^' = ist, und dann hat man fT^ = 0,67449; der Wert von v setzt Kx' = Ky" voraus und entspricht dem Falle, wo die Fehlerellipsen in konzentrische Kreise übergehen; Gleichung (7) lautet dann ^ "" 2 und gibt (Ji == 0,83256. Zwischen diesen Grenzen bewegen sich die Werte von (J^; einige derselben sind nach den Rech- nungen von Schols nachstehend mitgeteilt. 25* 388 — V »1 V »1 0,0 0,8326 0,6 0,7785 0,1 0,8312 0,7 0,7562 0,2 0,8271 0,8 0,7289 0,3 0,8200 0,9 0,6989 0,4 0,8098 1,0 0,6745 0,5 0,7962 177. Abgesehen von den analytischen Schwierigkeiten, welche sich bei Betrachtung von Fehlern gleicher Grösse ergeben haben, entspricht es der Natur der Sache besser, Lagen gleicher Wahrscheinlichkeit zu verfolgen und daher die Ebene statt durch konzentrische Kreise durch Fehler- ellipsen in Elemente zu zerlegen. Bezeichnet man die Fläche der Ellipse (2), Art. 172, mit w, die Änderung, welche sie erfahrt, wenn x in x -^^ dx übergeht, mit du^ mit Ox den den Punkten, dieser Ellipse entsprechenden Wert von O, so ist O^du die Wahrscheinlich- keit, dass der Punkt in den Ring zwischen den beiden be- nachbarten Ellipsen x^ und (x + dxy fallen werde. Nun ist (9) u = 27tx^yK7^K;' , folglich du = ATtxdxYxTW und im Hinblick auf (1), Art. 172, (10) 0ydu = 2xe-''^dx. Daraus folgt dafür, dass der Punkt ausserhalb der bezeichneten Ellipse zu liegen komme, die Wahrscheinlichkeit (11) / Ox du = c-^' X x=x und somit die Wahrscheinlichkeit, dass er innerhalb der Ellipse liege, (12) ®(x) = \—e'^\ Eine bemerkenswerte Fassung hat Bravais dem Re- sultat (11) gegeben. Er führt eine Fehlerellipse, deren Fläche 1 ist, unter dem Namen Fundamentalellipse ein. — 389 - Bezeichnet man den ihr zugehörigen Wert von x mit x^, so folgt aus Gleichung (9) (13) «i' = , ^ und es kann dann Gleichung (9) in der Form (14) u geschrieben werden; setzt man den hieraus fliessenden Wert von x^ in (11) ein, so wird die äussere Wahrscheinlichkeit für die Ellipse von der Fläche u gleich d. h. sie wird gleich der äussern Wahrscheinlichkeit für die Fundamentalellipse erhoben zur Potenz u. Daraus kann schon geschlossen werden, wie rasch die äussere Wahr- scheinlichkeit mit dem Wachsen der Fehlerellipse sich Null, die innere Wahrscheinlichkeit der Einheit nähert. Einige Werte von S{x) sind nachstehend nach den Tabellen von Schols zusammengestellt. X 0(«) X 0(«) 0,0 0,0000 1,2 0,7631 0,1 0,0099 1,4 0,8591 0,2 0,0392 1,6 0,9227 0,3 0,0861 1,8 0,9608 0,4 0,1479 2,0 0,9817 0,5 0,2212 2,2 0,9921 0,6 0,3023 2,4 0,9968 0,7 0,3874 2,6 0,9988 0,8 0,4727 2,8 0,9996 0,9 0,5551 3,0 0,9999 1,0 0,6321 Diejenige Ellipse, bei welcher die äussere Wahrscheinlich- keit der innem gleichkommt, nennt man die wahrschein- liche Fehlerellipse; der ihr zugehörige Wert von x ist die Wurzel der Gleichung ^ 2 d. i. X = 0,83256, ihre Halbaxen sind also — 390 — 0,83256 V^2^" = 1,17741 I/ä; X (15) ^ 0,83256^/2^ = 1,17741|/JE';', so dass sie aus der mittleren Fehlerellipse durch lineare Vergrösserung in dem Verhältnis 1 : 1,17741 hervorgeht. 178. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (13) und (14) ist für jeden Punkt der Ellipse (2), Art. 172, multipliziert man diese Funktion mit dem an einen solchen Punkt, dessen Polarkoordinaten q^

i, so ist vermöge der Ähnlichkeit, welche zwischen dieser und den andern Fehlerellipsen besteht, somit QdQ = - Qj^du und OitQdQdq) = Y ^i^^Ci^^^""'*" du dg). Integriert man diesen Ausdruck in Bezug auf (>, respektive u zwischen den Grenzen und oo, so drückt 00 (16) dg) I 0^QdQ = Y Qi^ dq> die Wahrscheinlichkeit aus, dass der Punkt in den durch die Strahlen q> und

+ 2)'* = 2^Ai>* aus, in welcher, wenn 2=1— ^p, das allgemeine Glied AvPv die Wahrscheinlichkeit vorstellt, dass das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit p ist, in n Versuchen v mal eintrifft; folglich ist M{v^) = y^v^Ä,p' — 398 - Wenn man aber die vorangehende Gleichung in Be- zug auf p dififerentiiert und hierauf mit p multipliziert^ so findet man np{p + g)"~^ = ^ vAvp*' und nach nochmaliger Wiederholung des nämlichen Vorgangs Wjp(i) + qy-^ + n{n — \)p^ (p + g)«- « =^ v^Ay p^ , so dass wegen i? + ff = 1 Es ist demnach schliesslich das mittlere Quadrat der Abweichung v — np zwischen dem beobachteten und dem wahrscheinlichen Wert gleich npq. In unserem Falle ist n = 1000 und für jede der zehn Regionen jp = 0,l, 2 = 0,9, daher dieses mittlere Quadrat gleich 90. Die Quadrate der beobachteten Abweichungen sind 1, 36, 0, 64, 0, 324, 196, 36, 100, 1, ihr Mittelwert 73,8 liegt unter dem theoretischen Betrage 90. Man kann diese Betrachtung noch in einer andern Rich- tung ausnützen. Zählt man nämlich die Treffpunkte, welche innerhalb der aufeinander folgenden Ellipsen enthalten sind, so ergeben sich folgende Zahlen: lipse ' Ireffpanktc ) Matm. Anz. Abweich. 1 99 100 + 1 2 205 200 5 3 305 300 5 4 413 400 - 13 5 513 500 - 13 6 631 600 -31 7 717 700 17 8 811 800 11 9 901 900 — 1. Rechnet man nun den Ausdruck npq für ^ = 0,1 , 0,2, • • • 0,9 und vergleicht die so gefundenen mittleren Quadrate mit den beobachteten, so kommt man zu den Zahlenreihen: — 399 - Ellipse Beobacht. Quadr. Mittlere Quadr. der Abweicb. der Abweich. 1 1 90 2 25 160 3 25 210 4 169 240 5 169 250 6 961 240 7 289 210 8 121 160 9 1 90 welche die Theorie aufs Neue in befriedigender Weise be- stätigen. Es zeigen nämlich die beobachteten Quadrate an- nähernd denselben Gang wie die mittleren und liegen, mit zwei Ausnahmen, unter diesen. Nachdem für jeden Treffpunkt mittelst seiner Coordinaten der zugehörige Wert von ^ berechnet worden war, ergab sich als Mittelwert der verschiedenen x^ der Betrag 0,981 an Stelle des theoretischen Wertes 1. Die Abweichung beträgt also 0,019, ihr Quadrat 0,0004. Der Mittelwert dieses Quadrates ist der mittlere Wert des Ausdrucks dessen Entwicklung lautet; da nun der Mittelwert eines jeden y? gleich 1 und der Mittelwert eines jeden ä* gleich 00 00 ist; so hat man für den genannten Mittelwert 2 , n — 1 Oll ^ 2 + 1 == — : im vorliegenden Falle, won= 1000, ist er 0,001, also grösser als das beobachtete Quadrat 0,0004. - 400 - § 3. Genauigkeit der Bestimmung eines Punktes im Baume. 183. Die vornehmste und wichtigste früher schon er- wähnte Eigenschaft des Gesetzes der räumlichen Fehler be- steht darin^ dass (1) O = / , , konstant bleibt für alle Wertverbindungen von Xj y, z, welche der Gleichung (2) _^J-_2^J._ V^K^' ' ^K^' » 2ä;' X^ genügen, in welcher x^ eine beliebige positive Konstante be- zeichnet. Die EUipsoide, welche durch diese Gleichung dar- gestellt sind, wird man Fehlerellipsoide nennnen. Ihre Halbaxen sind allgemein ä V^2JS^", Ky2K^'j ä|/2ä"/'. 184. Das mittlere Quadrat des Fehlers in der Punkt- bestimmung * .^ (s. Gleichung (12), Art. 164) (3) ^ K" = k:' + k; + z-;-; der mittlere .* «hier j/jK"" selbst ist also dargestellt durch die halbe D tonale des Axenparallelepipeds jenes Ellip- soids, welches x^ = — entspricht; man wird dieses Ellipsoid das mittlere Fehlerellipsoid nennen; seine Halbaxen sind 185. Der durchschnittliche Fehler hängt wie in der Ebene von elliptischen Integralen ab und lässt ebenfalls, wie Bra- vais gezeigt hat, eine bemerkenswerte geometrische Deutung zu. Sein Wert ist bestimmt durch 00 00 00 f f f e *(v'+V^*«') J J J y^^Wv^^' V^K führt man an Stelle von x, y neue unabhängige Variable |, rj ein durch die Gleichungen x = ^0, y = riZy so wird — 401 - 00 CO 00 K' = S J J J V^^V^^'V^-^' '' ^'^^ + '»'' + 1 di,dridz und nach Ausführung der Integration^ die auf sich bezieht, 1 00 00 s^^. Andererseits ist das Oberflächendifferential des Ellipsoids ^« -r 52 -r c« ^ gleich Setzt man x = tz^ y == U0y so wird ^ "" ^ \a* "^ fc"^ "^ cV 2 y == ^ l? + 6^ + ^^J und £ T (ü + ^' + i) dÄ = vTs -i 7T9 dtdu, folglich die Oberfläche des EUipsoides (das Integrationsgebiet in den neuen Variablen ist durch die unendlich ferne Gerade begrenzt) aS = 8 (^ + -l + i) (t + ^ + A)' \a« ^ h^ ^ cV dtdu. a' b* Wird nun ^ = y |, w = -y ^ ^^^ hierauf a^ X f f h^ = -j^^ c^z=-^- gesetzt, wo f eine noch unbestimmte K y Konstante bezeichnet, so geht der letzte Ausdruck über in Czubor, Theorie der Beobaohtongsfehler. 26 - 402 CO CD S - ^f f f ( i' + '^' + i)' ^t^„ und dies stimmt der Form nach mit (4) überein, aber auch dem Werte nach, wenn —J- = , ^ also /•=«,l/^^^^. Darin bezeichnet a die Längeneinheit. Das zugehörige Ellip- soid hat die Gleichung ist also dem Ellipsoid der mittleren Fehler ähnlich (s. Gleichung (20), Art. 166). Der durchschnittliche Fehler ist also durch die Oberflächen -Maasszahl eines gewissen, dem Ellipsoid der mittleren Fehler ähnlichen Ellipsoides dar- gestellt. 186. Das Gesetz der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers Q unabhängig von der Richtung ist (s. Gleichung (4), Art. 162) W 2« TT // ' __ ^* /Bin'^ cos* (p sin* sin* (p cos* &\ ß 2\ Kx V' ^z" ) sin® dq>dS und hängt von einem Integral ab, das nur mittelst Reihen- entwicklung berechnet werden kann. Ahnliches gilt von der Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler q der Punktbestimmung, von seiner Richtung ab- gesehen, zwischen den Grenzen und eyX'' eingeschlossen sei; der bezügliche j^usdruck ist (6) _ (2^)2y^;'V^^" /^ /^ /^ (I* /sin* cos* 9 sin* sin* (p cos* 0\ • / / I e ^^ V V' ^-" ) Q^sin&dQdtpd®. — 403 - 187. Daran schliesst sich der Begriff des wahrschein- lichen Fehlers R = (f^YK^ *'s Wurzel der Gleichung (7) ©(öYK^ == Y an, und zwar bedeutet R den Halbmesser derjenigen um den Fehlerursprung beschriebenen Kugel, für welche die äussere Wahrscheinlichkeit gleichkommt der inneren. Der Wert von R ist von dem Grossenverhältnis KJ' : Ky" : K" abhängig und bewegt sich zwischen jenen Grenzen, welche linearen Fehlern einerseits (zwei der Werte Kx\ Ky\ Kz' sind Null) und dem Falle K^ = jK"/' = K^ andererseits entsprechen, wo die Fehlerellipsoide in konzentrische Kugeln sich umwandeln. An der ersteren Grenze ist 6^ = 0,67449, an der letzteren ergibt sich 6^ aus der Gleichung Jff ^ ^000 K f welche aus (7) hervorgeht für K'x = Ky = K'z = -^- Die Ausführung der Integrationen in Bezug auf ® und 9 führt auf die einfachere Gleichung (2: / o 7»'''' und diese verwandelt sich durch die Substitution q 1/ — r— = ^ in y-J ^ -io, 1 e-^dt^yy-ö.e"^ ' = woraus mit Zuhilfenahme der Tafel I (am Ende des Buches) ^1 = 0,88807 gefunden wird. Es variiert also R zwischen den Grenzen 0,67449 l/Z^ und 0,88807 l/Z^. 26* — 404 - 188. Natürlicher als die Verfolgung von Ponktlagen gleicher Entfernung vom Fehlerursprung ist das Verfahren, Punkte zusammenzufassen ; welchen gleiche Wahrscheinlich- keit zukommt und dementsprechend den Raum statt durch Kugeln durch Fehlerellipsoide in Elemente zu zerlegen. Heisst das Volumen des Ellipsoids (2); Art. 183, v, ist dv die Änderung, welche es bei dem Übergange von x zu X + dfx erfahrt, 0^ der den Punkten dieses EUipsoides zu- kommende Wert von <&, so ist ^^dv die Wahrscheinlichkeit dass der Punkt in die Schale, welche durch die Ellipsoide X* und (x + dxy begrenzt wird, zu liegen komme. Nun ist (8) i; = I jtx' i/8Jsr/jr;x", folglich dv = 4;rxVx]/8J5r/Zy"JE';' und (9) 0^dv = -X.Kh-^'dx. Daraus ergibt sich die innere Wahrscheinlichkeit für das in Rede stehende EUipsoid (10) @{x) = f^^dv = -= Ce-'^dx - 4- Ke-'\ x=0 Einige Werte von ®(x), das hier nicht wie in der Ebene eine einfache Rechnung gestattet, sind nachstehend zusammen- gestellt. X e(«) Tt ©(h) 0,0 0,0000 0,1 0,0014 1,2 0,7011 0,2 0,0107 1,4 0,8824 0,3 0,0344 1,6 0,9469 0,4 0,0767 1,8 0,9790 0,5 0,1384 2,0 0,9926 0,6 0,2181 2,2 0,9977 0,7 0,3108 2,4 0,9994 0,8 0,4108 2,6 0,9999 0,9 0,5119 2,8 0,9999 1,0 0,6084 3,0 0,9999. — 405 — Das wahrscheinliche Ellipsoid; d. i. dasjenige, für welches die äussere Wahrscheinlichkeit gleichkommt der innern, ist charakterisiert durch jenen Wert von jc, welcher sich aus der Gleichung @(x) = y ergibt, nämlich x = 0,88807; seine Halbaxen sind demnach 0,88807 1/2 Z;," = 1,2559 }/JE; ff X (1 1) 0,88807 y2Z7 = 1,2559 YK^ 0,88807 y2W = 1,2559 yW', es wird aus dem mittleren Fehlerellipsoid durch lineare Ver- grösserung in dem Verhältnisse 1 : 1,2559 erhalten. 189. Bravaia führt in seine Untersuchungen dasjenige Ellipsoid, dessen Volumen gleich ist der Einheit, unter dem Namen Fundamentalellipsoid ein. Das zugehörige x werde mit x^ bezeichnet; aus Gleichung (8) des vorigen Artikels ergibt sich für dasselbe die Bestimmung wornach für (8) auch geschrieben werden kann V = 8 Mittelst dieser Relationen erkennt man, dass für jeden Punkt des Ellipsoides (2), Art. 183, Ox = -4r=Xi^e-^x*''*. SYtc Einer dieser Punkte habe den Leitstrahl q, der zu- geordnete Leitstrahl des Fundamentalellipsoides sei q^. Man denke sich einen Eegel mit unendlich kleiner Öffnung, dessen Spitze im Ursprung liegt und dessen Mantel durch jenen Punkt geht; dann ist das von dem Ellipsoid (2), Art. 183, begrenzte Volumen dieses Kegels y gp^, oder wegen q^=Qi^v 1 .1 auch gleich — qQi^v und sein Differential — qQ^^dv. Lite- griert man das Produkt 0^ • -g qQidv zwischen den Grenzen t; = und t; = oo, so erhält man die Wahrscheinlichkeit, — 406 — dass der Punkt in den ins Unendliche sich erstreckenden Raum des gedachten Kegels fallen werde; diese Wahrschein- lichkeit ist demnach 00 291^ j^i^er"'^^^^ dv = ^ qQi\ 9)/ TT also gleich dem durch . das Fundamentalellipsoid begrenzten Teil des Kegels. Dieses Verhalten erstreckt sich naturgemäss auch auf Kegelräume von endlicher Öffnung. Man kann es auch in die Worte fassen, dass die Wahrscheinlichkeit des Abweichens in bestimmter Richtung proportional ist der dritten Potenz des zugehörigen Halbmessers des Fundamental- oder irgend eines festen Pehlerellipsoids. 190. Durch jeden Punkt des Raumes geht ein und nur ein Fehlerellipsoid, der ihm als charakteristische Zahl zu- geordnete Wert von x^ ergibt sich durch Einführung seiner Koordinaten in die Gleichung (2), Art. 183. Der Ausdruck —^x^er'^^dK, welcher in Gleichung (9), Art. 188, als Wahr- scheinlichkeit dafür gefunden worden ist, dass der Punkt zwischen die EUipsoide x^ und (x -}- dxY zu liegen kommen werde, ist zugleich Wahrscheinlichkeit dafür, der einem Punkte zugeordnete Wert von x^ sei zwischen den Grenzen x^ und (x 4- dxy eingeschlossen. Hiemach ist der Mittelwert von x^ gleich CO 3 e->^^dx= 2 191. Nach diesen allgemeinen Erörterungen nehmen wir das Problem des Artikels 159 wieder auf, indem wir uns die Frage nach der zweckmässigsten Wahl der Multipli- katoren «,-, ßiy yi stellen. Zu diesem Ende setzen wir die Wahrscheinlichkeit, dass der Punkt innerhalb des durch diese Gleichung dargestellten Ellipsoids enthalten sei, für — 407 — welche in Art. 188 der Ausdruck (10) gefunden worden ist, ist zugleich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Fehler Xy y, z in den Koordinaten der Punktbestimmung gleichzeitig zwischen jenen Grenzen eingeschlossen sein werden, welche sieh aus der Gleichung (1) ergeben. Um die äussersten Werte von x zu finden, verbinde man die Gleichung (1) mit den beiden Gleichungen a^^x + «822/ + a^z^ = 0, welche aus (1) durch partielle DijBFerentiation in Bezug auf y und z erhalten werden, und zwar in der Weise, dass man die erste mit y, die zweite mit z multipliziert und hierauf beide von (1) subtrahiert; daraus fliesst als dritte Gleichung (3) «11^ + «122/ + «18^ = "V" ' Durch Auflösung von (2) und (3) nach x ergibt sich zunächst X und da «22 «23 «32 «33 «32 «83 i SO sind die verlangten äussersten Werte von x\ (4) x = ± 2x YÄi = ± 2x;k >^[««] und ebenso findet man als äusserste Werte von y und z: (4*) y^±2xy'i^=±2^xyim (4**) s=±2xyj;,==±2xxV[yyi- Es ist ganz naturgemäss, jene Systeme von Multipli- katoren als die vorteilhaftesten zu bezeichnen, für welche die Grenzen von x, y, z gleichzeitig möglichst eng ausfallen. Im Sinne dieser Festsetzung hat man also «,-, /S»-, y» so zu bestimmen, dass [aa\ ein Minimum [ßß] ein Minimum [yy] ein Minimum - 408 - werde unter gleichzeitiger Erfüllung der Bedingungen (s. die Gleichungen (2), Art. 159) [ao] = l, [a&] = 0, [ac]»«0 (5) [/Ja] = 0, [186] = 1, [ßc] = [H-0, [y6]-=0, [yc] = l. Nach einem wiederholt befolgten Vorgange führt dies zu den Bestimmungen (6) ßi = «.&1 + &*?22 + ^»323 yf = öfäsi + &.-232 + ^.&8 7 in welchen für die verschiedenen qtß die aus folgenden Glei- chungssjstemen resultierenden Werte einzutragen sind: [ööj^ll + [«^^12 + [«c]ffi8 = 1 [6a]jii + Ü>i]qi2 + U>c]q,s = [ca]j,i + [c&]2i2 + [cc]3i3 = [adjq^i + [ah]q^2 + [acjjgg = (7) [&a]221 + [6 6] «22 + [^c]«23 == 1 [C«]«21 + [C&]222 + [CC] «23 = [aajgsi + [«^«82 + M&3 = [&«]&! + [^^]232 + r6c]«38 = [c«]&i + [ö&]&2 + {cc]q^ = 1. Hiermit ergibt sich auf Grund der Gleichungen (4), Art. 159, die vorteilhafteste Bestimmung der Koordinaten des Punktes Zo = [a(l + Ä;')]2i, + [b(l + h')]q,, + [c{l + h')]q^ (8) Zo = [a(l + Ä')]2„ + m + *')]ft2 + [c(« + *')]&s Zo = [«0 + Ä')]3s. + m + *')]?« + [eil + Ä')]«38, welche aber zusammenfällt mit der Lösung des Gleichungs- systems [aa]X, + [ah] T, + [aciZ, = [a^ + Ä')] (9) [6a]Xo + [bb] Yo + [6c]Zo = [b(l + &')] [ca] Xo + [cb] Y, + [cc] Z, = [c^ + *')] • - 409 — Die vorteilhafteste Bestimmung der Unbekannten ist also auch unter diesem Gesichtspunkte diejenige, welche sich nach der Methode der kleinsten Quadrate ergibt. Setzt man [aa] [ab] [ac] [ha] [hh] [bc] = z/ [ca] [ch] [cc] und bezeichnet das adjungierte System mit •^aa -^^ab -^ac Aba Abb Abc -^ca -^b -^cc) SO folgt aus (6) und (7) mit Berücksichtigung von (5) [acc] == [ßa] = [ycc] = A [«/3] = ^-, ba Ka A ' Ä bb [ay] — Aac A [ßrl- bc T^tAtl - — ^oc A ' mithin ist (s. die Gleichungen (7), Art. 159) 2i = Al ^1% =5 -^21 -4 22 -^31 ^32 «11 Ä -^22 ^32 «12 -^28 ^33 A\z ^23 '■SS ^23 "■SS A. 21 A^ A^ A'' Aaa Aab Aac Aba Abb Abc •^ca Acb Acc Abb Acb Abc Acc A Abc Aba X'iah] Acc Aca 4 d A ' '■^31 I u. s. w,, SO dass sich für die Wahrscheinlichkeit j) (s. Glei- chung (8), Art. 159) _ \aa\x M-[ö 6] yH-[cc] «M-2 M y«+2 lca\ z a>f 2 [a*] x y Ya ^ (10) p= ^x' 2^ 8ä^ X^ dxdydz als endgiltiger Ausdruck ergibt, in welchem nur noch die Koeffizienten der Fehlergleichungen (1), Art. 159, neben der von der Genauigkeit der Beobachtungen abhängigen Grösse % erscheinen. - 410 — Der Expouent von e ist aber die EntwickluDg von und bezeichnet man die Determinante der quadratischen Form mit jR', so lässfc sich (10) auch in der Gestalt p = y^~Tr^e ^\ 2/ 1 dxdydz schreiben. Dies stimmt mit einem an früherer Stelle (Art. 122) erwähnten und nachgewiesenen Laplac ersehen Resultat überein. Tafel I. Werte der Funktion 0(0= ^ fe-'^'dt, 0(0 Diff. 6/(0 0,000,00000 0,010.01128 0,02 0,02256 0,03 0,03384 0,04,0,0451109 1126 09 00 33 44 10 1128 33 1128 U 1127 66 1126 99 0,05 0,05637 0,060,06762 0,070,07885 0,080,09007 0,09 0,10128 0,10 0,11216 0,ll|0,12362 0,120,13475 0,13 0,14586 0,14 0,15694 18 1124 97 15!ll23 62 77'll22 04 81 1120 25 06 1118 24 30|lll6 00 30 1113 54 84llll0 87 71^1107 99 70 11104 89 0,15 0,16799 591110158 0,16|0,1790117 1098 06 0,170,18999 2311094 34 0,18|0,20093 57 1090 41 0,19 0,21183 98 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 1086 27 0,22270 25 108193 0,23352 18 1077 40 0,24429 58 1072 67 0,25502 25' 1067 75 0,26670 001062 63 0,25J0,27632 63 1057 34 0,26,0,28689 97 105185 0,27 0,2974182 1046 18 0,28 0,30788 001040 34 0,29 0,31828 34! 1034 33 0,3010,32862 67' 0,31|0,33890 8ll 0,32 0,33 0,34 0,35 0,34912 59 0,35927 85 0,36936 44 1028 14 1021 78 1015 26 1008 59 1001 75 0,3793819 994 77 0,36 0,38932 96 987 63 0,37 0,39920 591 980 34 0,38|0,40900 93 972 92 0,39|0,41873 85| 965 37 Diflf. ö(0 Diff. 0,40 0,42839 22'957 68 0,41 0,43796 90 949 86 0,42 0,44746 76 941 91 0,43 0,45688 67,933 84 0,44 0,46622 51 925 67 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,47548 18,917 37 0,48465 55'908 97 0,49374 52 900 46 0,50274 98|891 85 0,51166 83 883 16 0,52049 99 0,52924 37 0,53789 87 0,54646 41 0,55493 92 0,66332 33 0,57161 57 0,57981 58' 0,58792 29 0,59593 65 0,60385 61 0,61168 12 0,61941 14 0,62704 63 0,63458 67 874 38 865 50 856 54 847 51 838 41 829 24 820 01 81071 80136 791 96 782 51 773 02 763 49 753 94 744 35 0,64202 92 734 73 0,64937 65 725 10 0,65662 75|716 45 0,66378 20 705 79 0,700,67780 10 0,69'0,67083 99 696 11 686 44 676 76 667 08 657 42 647 76 0,71 0,72 0,73 0,74 0,68466 54 0,69143 30 0,69810 38 0,70467 80 0,75 0,71116 66 638 11 0,76 0,77 0,78 0,79 0,71758 67 628 49 0.72382 16'618 88 0,73001 04 0,73610 35J599 75 609 31 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0.86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,90 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 0,74210 10 590 23 0,74800 33,580 75 0,7538108 571 30 0,75952 38 561 89 0,76514 271552 53 0,77066 0,77610 0,78143 0,78668 0,79184 0,79690 0,80188 0,80676 0,81156 0,81627 0,82089 0,82542 0,82987 0,83423 0,83850 0,84270 0,84681 0,85083 0,85478 0,85864 80 543 22 22 533 96 981524 75 731515 59 32 506 50 82497 46 28'488 49 77 35 10 479 58 470 75 46198 08'453 28 36 '444 67 03436 12 15'427 66 8l!419 27 08 410 97 05 402 76 80^394 62 42|386 57 991378 61 60 35 32 61 370 75 0,86243 0,86614 0,86977 0,873:^2 0,87680 30 340 20 362 97 355 29 347 69 0,88020 0,88363 0,88678 0,88997 0.89308 50,332 80 30!325 49 79'318 28 071311 16 23'304 15 l,15j0,89612 38 297 24 1,1610,89909 62 290 42 1,17;0,90200 04 1,18 1,19 0,90483 74 0,90760 83 283 70 277 09 270 67 — 412 - t 0(0 1.20 0,9103140 1.21 0,91295 55 1.22 0,91553 39 1.23 0,91805 01 1.24 0,92050 52 1.25 0,92290 01 1.26 0,92523 59 1.27 0,9275136 1.28 0,92973 42 1.29 0,93189 87 1.30 0,93400 80 1.31 0,93606 32 1.32 0,93806 52 1.33 0,9400150 1.34 0,9419137 1,36 0,94376 22 1.36 0,94556 14 1.37 0,9473124 1.38 0,9490160 1.39 0,95067 33 1.40 0,95228 51 1.41 0,95386 24 1.42 0,95537 62 1.43 0,95685 73 1.44 0,95829 66 1.45 0,95969 50 1.46 0,96105 35 1.47 0,96237 29 1.48 0,96365 41 1.49 0,96489 79 1.50 0,96610 52 1,61 0,96727 68 1.52 0,9684135 1.53 0,96951 62 1.54 0,97058 57 1.55 0,97162 27 1.56 0,97262 81 1.57 0,97360 26 1.58 0,97454 70 1.59 0,97546 20 1.60 0,97634 84 1.61 0,97720 69 1.62 0,97803 81 1.63 0,97884 29 1.64 0,97962 18 1.65 0,98037 56 1.66 98110 49 1 67 0,98181 04 1.68 I 0,98249 28 1.69 I 0,98315 26 Diff. 264 15 1,70 257 84 1,71 25162 1,72 245 51 1,73 239 49 1,74 233 58 1,76 227 77 1,76 222 06 1,77 216 45 1,78 210 93 1,79 206 52 1,80 200 20 1,81 194 98 1,82 189 87 1,83 184 85 1,84 179 92 1,85 175 10 1,86 170 36 1,87 165 73 1,88 16118 1,89 156 73 1,90 152 38 1,91 14811 1,92 143 93 1,93 139 84 1,94 135 85 1,95 13194 1,96 128 12 1,97 124 38 1,98 120 73 1,99 117 16 2,00 113 67 2,01 110 27 2,02 106 96 2,03 103 70 2,04 100 54 2,05 97 45 2,06 94 44 2,07 9150 2,08 88 64 2,09 85 85 2,10 83 12 2,11 80 48 2,12 77 89 2,13 75 38 2,14 72 93 2,15 70 55 2,16 68 24 2,17 65 98 •2,18 63 78 2,19 0(0 0,98379 04 0,98440 70 0,98600 28 0,98557 85 0,98613 46 0,98667 17 0,98719 03 0,98769 10 0,98817 42 0,98864 06 0,98909 05 0,98952 45 0,98994 31 0,99034 67 0,99073 59 0,9911110 0,99147 25 0,99182 07 0,99215 62 0,99247 93 0,99279 04 0,99308 99 0,99337 82 0,99365 57 0,99392 26 0,99417 94 0,99442 63 0,99466 37 0,99489 20 0,99511 14 0,99532 23 0,99552 48 0,99571 95 0,99590 63 0,99608 58 0,99625 81 0,99642 35 0,99658 22 0,99673 44 0,99688 05 0,99702 05 0,99716 48 0,99728 36 0,99740 70 0,99762 53 0,99763 86 0,99774 72 0,99785 11 0,99795 05 0,99804 59 Diflf. 6166 2,20 59 58 2,21 57 57 2,22 55 61 2,23 53 71 2,24 5186 2,26 50 07 2,26 48 32 2,27 46 64 2,28 44 99 2,29 43 40 2,30 4186 2,31 40 36 2,32 38 92 2,33 37 51 2,34 36 15 2,35 34 82 2,36 33 55 2,37 32 31 2,38 31 11 2,39 29 95 2,40 28 83 2,41 27 75 2,42 26 69 2,43 25 68 2,44 24 69 2,45 23 74 2,46 22 83 2,47 2194 2,48 2109 2,49 20 25 2,60 19 47 2,51 18 68 2,52 17 95 2,53 17 33 2,54 16 54 2,55 15 87 2,56 15 22 2,67 14 61 2,68 14 00 2,59 13 43 2,60 12 88 2,61 12 34 2,62 1183 2,63 1133 2,64 10 86 2,65 10 39 2,66 9 94 2,67 9 54 2,68 9 13 2,69 0(0 Diff. 0,99813 72 8 72 0,99822 44 8 36 0,99830 79 7 99 0,99838 78 7 64 0,99846 42 7 31 0,99853 73 6 98 0,99860 71 6 68 0,99867 39 6 38 0,99873 77 6 09 0,99879 86 5 82 0,99886 68 5 56 0,9989124 5 31 0,99896 56 5 07 0,9990162 4 84 0,99906 46 4 61 0,9991107 4 41 0,99915 48 4 20 0,99919 68 4 01 0,99923 69 3 82 0,99927 51 3 64 0,9993116 3 47 0,99934 62 3 31 0,99937 93 3 15 0,9994108 3 00 0,99944 08 2 86 0,99946 94 2 72 0,99949 66 2 60 0,99952 26 2 46 0,99964 72 2 36 0,99957 07 2 23 0,99959 30 2 13 0,9996143 2 02 0,99963 45 192 0,99966 37 183 0,99967 20 173 0,99968 93 166 0,99970 68 167 0,99972 15 149 0,99973 64 141 0,99976 06 135 0,99976 40 127 0,99977 67 121 0,99978 88 1 16 0,99980 03 109 0,99981 12 1 03 0,99982 15 98 0,99983 13 93 0,99984 06 88 0,99984 94 84 0,99985 78 79 \ — 413 t 0(0 Diif. 75 t 3,15 0(0 Diff. i 1 t 0(0 2,70 0,99986 67 0,99999 16 6 3,60 0,999999 64414 2,71 0,99087 32 71 3,16 0,99999 21 5 3,61 0,999999 66975 2,72 0,99988 03 67 3,17 0,99999 26 5 3,62 0,999999 69368 2.73 0,99988 70 63 3,18 0,99999 31 5 3,63 0,999999 71574 2,74 0,99989 33 61 3,19 0,99999 36 4 3,64 0,999999 73636 2,75 0,99989 94 57 3,20 0,99999 40 4 3,65 0,999999 76661 2,76 0,99990 61 54 3,21 0,99999 44 3 3,66 0,999999 77333 2,77 0,99991 05 51 3,22 0,99999 47 4 3,67 0,999999 78990 2,78 0,99991 56 48 3,23 0,99999 51 3 3,68 0,999999 80528 2,79 0,99992 04 46 3,24 0,99999 54 3 3,69 0,999999 81957 2,80 0,99992 50 43 3,26 0,99999 67 3 3,70 0,999999 83286 2,81 0,99992 93 41 3,26 0,99999 60 2 3,71 0,999999 84617 2,82 0,99993 34 38 3,27 0,99999 62 3 3,72 0,999999 85663 2,83 0,99993 72 37 3,28 0,99999 66 2 3,73 0,999999 86726 2,84 0,99994 09 34 3,29 0,99999 67 2 3,74 0,999999 87712 2,85 0,99994 43 33 3,30 0,99999 69 2 3,75 0,999999 88629 2,86 0,99994 76 31 3,31 0,99999 71 2 3,76 0,999999 89477 2,87 0,99996 07 29 3,32 0,99999 73 2 3,77 0,999999 90265 2,88 0,99996 36 27 3,33 0,99999 76 2 3,78 0,999999 90995 2,89 0,99996 63 26 3,34 0,99999 77 1 3,79 0,999999 91672 2,90 0,99995 89 24 3,35 0,99999 78 2 3,80 0,999999 92300 2,91 0,99996 13 23 3,36 0,99999 80 1 3,81 0,999999 92881 2,92 0,99996 36 22 3,37 0,99999 81 1 3,82 0,999999 93421 2,93 0,99996 68 21 3,38 0,99999 82 2 3,83 0,999999 93921 2,94 0,99996 79 19 3,39 0,99999 84 1 3,84 0,999999 94383 2,96 0,99996 98 18 3,40 0,99999 86 1 3,86 0,999999 94812 2,96 0,99997 16 17 3,41 0,99999 86 1 3,86 0,999999 96208 2,97 0,99997 33 17 3,42 0,99999 87 1 3,87 0,999999 96675 2,98 0,99997 60 15 3,43 0,99999 88 1 3,88 0,999999 96916 2,99 0,99997 66 14 3,44 0,99999 89 3,89 0,999999 96230 3,00 0,99997 79 14 3,46 0,99999 89 3,90 0,999999 96621 3,01 0,99997 93 12 3,46 0,999999 00780 3,91 0,999999 96790 3,02 0,99998 06 12 3,47 0,999999 07672 3,92 0,999999 97039 3,03 0,99998 17 12 3,48 0,999999 14101 3,93 0,999999 97260 3,04 0,99998 29 10 3,49 0,999999 20097 3,94 0,999999 97482 3,05 0,99998 39 10 3,60 0,999999 26691 3,96 0,999999 97678 3,06 0,99998 49 10 3,61 0,999999 30905 3,96 0,999999 97860 3,07 0,99998 69 8 3,62 0,999999 35766 3,97 0,999999 98028 3,08 0,99998 67 9 3,63 0,999999 40296 3,98 0,999999 98183 3,09 0,99998 76 8 3,54 0,999999 44619 3,99 0,999999 98327 3,10 0,99998 84 7 3,56 0,999999 48462 4,00 0,999999 98468 3,11 0,99998 91 7 3,66 0,999999 52116 4,10 0,999999 99330 3,12 0,99998 98 6 3,57 0,999999 65627 4,20 0,999999 99714 3,13 0,99999 04 6 3,58 0,999999 58703 4,30 0,999999 99881 3,14 0,99999 10 1 6 3,69 0,999999 61661 4,40 4,50 4,60 4,70 4,80 0,999999 99961 0,999999 99980 0,999999 99992 999999 99997 0,999999 99999 - 414 — Tafel II. ?7 Werte der Funktion @(q-)= 4 T«^'* ^^> geordnet nacli dem Argument -■ t r .(, :) Diff. 538 t r 0,40 j «(.:) Diflf. 519 i i r 1 -(-:) Diff. 0,00 0,00000 0,21268 0,80 0,41052 465 0,01 0,00538 538 0,41 • 0,21787 517 0,81 0,41517 462 0,02 0,01076 538 0,42 0,22304 517 0,82 0,41979 461 0,03 0,01614 538 0,43 0.22821 515 0,83 0,42440 459 0,04 0,02152 538 0,44 0,23336 515 0,84 0,42899 458 0,05 0,02690 538 0,45 0,23851 513 0,85 0,43357 456 0,06 0,03228 538 0,46 0,24364 512 0,86 0,43813 454 0,07 0,03766 537 0,47 0,24876 512 0,87 0,44267 ! 452 0,08 0,04303 537 0,48 0,25388 510 0,88 0,44719 450 0,09 0,04840 538 0,49 0,25898 509 0,89 0,45169 449 0,10 0,05378 536 0,50 0,26407 508 0,90 0,45618 446 0,11 0,05914 537 0,51 0,26915 506 0,91 0,46064 445 0,12 0,06451 536 0,52 0,27421 506 0,92 0,46509 443 0,13 0,06987 536 0,53 0,27927 504 0,93 0,46952 441 0,14 0,07523 536 0,64 0,28431 503 0,94 0,47393 439 0,15 0,08059 535 0,55 0,28934 502 0,95 0,47832 438 0,16 0,08594 535 0,56 0,29436 500 96 0,48270 435 0,17 0,09129 534 0,57 0,29936 499 0,97 0,48605 434 0,18 0,09663 534 0,58 0,30435 498 0,98 0,49139 431 0,19 0,10197 534 0,69 0,30933 497 0,99 0,49570 430 0,20 0,10731 533 0,60 0,31430 495 1,00 0,60000 428 0,21 0,11264 532 0,61 0,31925 494 1,01 0,50428 425 0,22 0,11796 532 0,62 0,32419 492 1,02 0,50853 424 0,23 0,12328 532 0,63 0,32911 491 1,03 0,51277 422 0,24 0,12860 531 0,64 33402 490 1,04 0,51699 420 0,25 0,13391 530 0,65 0,33892 488 1,05 0,62119 418 0,26 0,13921 530 0,66 0,34380 486 1,06 0,52537 415 0,27 0,14451 529 0,67 0,34866 486 1,07 0,52962 414 0,28 0,14980 528 0,68 0,35352 483 1,08 0,53366 412 0,29 0,16508 627 0,69 0,35835 482 1,09 0,53778 410 0,30 0,16035 527 1 0,70 0,36317 481 1,10 0,54188 407 0,31 0,16562 526 0,71 0,36798 479 1 11 0,54595 406 0,32 0,17088 526 0,72 0,37277 478 1,12 0,55001 403 0,33 0,17614 524 0,73 0,37755 476 1,13 0,55404 402 0,34 0,18138 524 0,74 0,38231 474 1,14 0,55806 399 0,35 0,18662 523 0,75 0,38705 473 1,15 0,56205 397 0,36 0,19185 622 0,76 0,39178 471 1,16 0,56602 396 0,37 0,19707 522 0,77 0,39649 469 1,17 0,56998 393 0,38 0,20229 520 0,78 0,40118 468 1,18 0,57391 391 0,39 0,20749 619 0,79 0,40586 466 1,19 0,57782 389 - 415 - t • r 0,58171 Diff. t r 1,70 -(^£) 1 Diff. t r K^7) Diff. 1,20 387 0^4847 277 2,20 0,86216 178 1,21 0,58558 384 1,71 0,75124 276 2,21 0,86394 170 1,22 0,58942 383 1,72 0,76400 274 2,22 0,86670 175 1,23 0,59325 380 1,73 0,75674 271 2,23 0,86745 172 1,24 0,59705 378 1,74 0,75945 269 2,24 0,86917 171 1,26 0,60083 377 1,76 0,76214 267 2,25 0,87088 170 1,26 0,60460 373 1,76 0,76481 265 2.26 0,87258 167 1,27 0,60833 372 1,77 0,76746 263 2,27 0,87426 . 166 1,28 0,61205 370 1,78 0,77009 261 2,28 0,87591 164 1,29 0,61575 367 1,79 0,77270 258 2,29 0,87755 163 1,30 0,61942 366 1,80 0,77528 257 2,30 0,87918 160 1,31 0,62308 363 1,81 0,77785 254 2,31 0,88078 169 1,32 0,62671 361 1,82 0,78039 252 2,32 0,88237 158 1,33 0,63032 369 1,83 0,78291 251 2,33 0,88395 9 155 1,34 0,63391 356 1,84 0,78642 248 2,34 0,88550 155 1,35 0,63747 355 1,85 0,78790 246 2,35 0,88706 152 1,36 0,64102 352 1,86 0,79036 244 2,36 0,88857 161 1,37 0,64454 360 1,87 0,79280 242 2,37 0,89008 149 1,38 0,64804 348 1,88 0,79522 239 2,38 0,89157 147 1,39 0,65152 346 1,89 0,79761 238 2,39 0,89304 146 1,40 0,65498 343 1,90 0,79999 236 2,40 0,89450 145 1,41 0,65841 341 1,91 0,80235 234 2,41 0,89596 143 1,42 0,66182 339 1,92 0,80469 231 2,42 0,89738 141 1,43 0,66521 337 1,93 0,80700 230 2,43 0,89879 140 1,44 0,66858 335 1,94 0,80930 228 2,44 0,90019 138 1,45 0,67193 333 1,96 0,81168 225 2,45 0,90157 136 1,46 0,67626 330 1,96 0,81383 224 2,46 0,90293 136 1,47 0,67856 328 1,97 0,81607 221 2,47 0,90428 134 1,48 0,68184 326 1,98 0,81828 220 2,48 0,90562 132 1,49 0,68610 323 1,99 0,82048 218 2,49 0,90694 131 1,50 0,68833 322 2,00 0,82261 215 2,50 0,90825 129 1,51 0,69165 319 2,01 0,82481 214 2,51 0,90954 128 1,52 0,69474 317 2,02 0,82695 212 2,52 0,91082 126 1,53 0,69791 315 2.03 0,82907 210 2,53 0,91208 124 1,54 0,70106 313 2,04 0,83117 207 2,64 0,91332 124 1,55 0,70419 310 2,05 0,83324 206 2,55 0,91456 122 1,56 0,70729 309 2,06 0,83530 204 2,56 0,91678 120 1,57 0,71038 306 2,07 0,83734 202 1 2,57 0,91698 119 1,58 0,71344 304 2,08 0,83936 201 2,58 0,91817 118 1,59 0,71648 301 2,09 0,84137 198 2,59 0,91935 116 1,60 0,71949 300 2,10 0,84330 196 2,60 0,92051 115 1,61 0,72249 297 2,11 0,84531 195 2,61 0,92166 114 1,62 0,72646 295 2,12 0,84726 193 2,62 0,92280 112 1,63 0,72841 293 2,13 0,84919 190 2,63 0,92392 111 1,64 0,73134 291 2,14 0,85109 189 2,64 0,92503 110 1,65 0,73426 289 2,16 0,85298 188 2,65 0,92613 108 1,66 0,73714 286 2,16 0,85486 186 2,66 0,92721 107 1,67 0,74000 285 2,17 0,85671 183 2,67 0,92828 106 1,68 0,74286 282 2,18 0,85854 182 2,68 0,92934 104 1,69 0,74567 280 2,19 0,86036 180 2,69 0,93038 103 — X-- =■ 5. ' 3rit — r ■ — - Ict i^l » Ji5:4i IIA >« ■•— 'JS&iJ jll i*^ r.ü&M » Zm tT «.iä«fr4j 1« «. "* «.it&Si^ *- L"^ r.ü^«B& H ».'■'» '.iirrjHfc f« * ■■* iisiei^ S4 i."^ lüsasi i..'^ '.i^L^ 4- m ^ iitf '.J-^T«5 i» i-iJi f.i^Sö ^ LA i.i«ä£^« iT LA i.j^art T^ Li* LJ^^mfiSi ^ L-'!6 *,^»,ä*a >^ LMl ».l^^KT ^^^« L."^ CÄsTt: Ä La i.jmrw *»: LÄ^ '.J^ArT^ ^ LJ*« •..<«4l!«*« "7* LA «icSUSS »^^ LA ljssl:.! -Jf LJfc UE^üTS" T» ^^ «^^^t t.ip.aw ^ L.« •..fK33& ■■« L.*» L.%&-;2i • • i.-'fr L.^^xSS L.« C.^särT — - L.* C.«W*f "ll }. I-. .-. I± 5.JJ? .= I 1^ r. -I. a ■• ■ S -.^ L """ ■ «-- LJSL ;-.Ä I JiiJ«»'! üi I JCÜ^T 4C^ ii* ä. .« > l-^T4r4Ei U i"* 1-3"-.^^ «4 •.>'T3*5«1 ^ i.T ■ ■ LJ^ITS fi w - 'S «••••2 r J^-i" I «£ «:j 1 ••" I.J^ia.- -t « ■•■■ ».>~i»»^ 4i fL ' J^~^5:* «i «i« i..:'.f LJ'- ♦ » Ttl :-.^i L3n* — Hat Tir Lj»I L. *»?--{ «»r n* ••- Z-* n^ It ■»3 ;.-• I-jS«--.^ '^tSB* • >ftiS«':i ist '..M5*=;ir üi» •-JW«-?^ ift L.i*4«i2r 71 •.jKfTTtfr «- '-JÄPTäC ^ LJ»ä»!^l^ 41' "^» Tifamen-Eegister. (Die Zahlen beziehen sich auf die Seiten.) Abbe 100, 236. Adrain 100, 236, 345, 346, 347, 379. Airy 218, 224. Andrae 174, 177, 178, 363. 188, 199, 206, 235, 237, 265, 288, 289, 298, 305, 307, 313, 314, 316, 320, 329, 633. Geer van 321, 328. Glaisher 28, 29, 31, 40, 75, 100, 101, 104, 108, 112, 115, 121, 225, 226, 236, 253, 266, 267, 270, 272, 298—300, 302, 321, 328, 329. Bernoalli (Daniel) 13, 113. Bernoulli (Johann 111.) 17. Bertrand 52, 59, 106, 121, 123, 124, 138, 153, 184, 190, 200, 201, 203, Q^oss 111 205, 212, 213, 300, 301, 312, 317, Qould 218. 377, 395, 396. Guarducci 193. Beseel 65, 70, 73, 87, 114, 121, Guyou 312. 190, 223, 289, 382. „ on . . . ü- „ * _x Qß/v ' Hagen 80, 111. BookTol 107. - . Helmert 136-138, U7, 164, 160, _ _ _ ' « * 165, 169, 174, 177, 178, 208—211, 363, 383. Bowditch 101. Bravais 347, 348, 377, 388, 400, 405. rj''''\TVr.o .n^ ^^rr ^\n Rr«.Hl«v löo ' ' flerschel 103, 106, 107, 347. Hossard 302. Bradley 190. Br^get 174. Cauchy 8. Chanvenet 31, 215, 220. Ootes 378. Crofton 72, 78, 92, 97. Delannay 201. De Morgan 37, 225. Dienger 254. Donkin 104, 108^ 123. Hülsse 234. Ivory 301—304. Jacobi 321, 328. Jordan 136, 174, 209, 210, 235. Jupg 383. Kramp 120. Kries von 3,' 12. Kummell 73. Lagrange 17, 21—23. Ellis 27, 104, 106, 108, 253, 267, Laplace 14, 23, 55, 79, 84, 90, 112, 270, 272, 302, 304. Encke 17, 28, 80, 121, 125, 141, 189. Estienne 45, 112, 240. Euler 13, 17. Faye 197, 224, 230. Fechner 174. Ferrero 37, 40, 193. Fourier 168, 210. Gauss 8, 13, 15, 16, 50, 58, 99, 111, 113, 122, 125, 130, 135, 141, Natani 103. Czuber, Theorie der Beobachtungafehler. 118, 130, 239, 240, 245, 246, 252—254, 260, 261, 265, 266, 268, 270, 272, 285—289, 298, 299, 348, 379, 410. Laurent 197, 199. Legendre 16, 234, 237, 379. Lejeune-Dirichlet 73, 141. Matzka 31. Merriman 345. 27 — 418 - PattersOD 101. Peirce (Benjamin) 216, 220, 224. Peirce (Charles S.) 37. Peters 163, 164. Poisson 253, 254, 257, 267. Putz 377. Qnetelet 103. Rebstein 143. Beaschle 28, 61. Schiaparelli 31, 42, 61. Schlömilch 103. Scbnnse 253. Schols 67, 73, 345, 363, 375, 377, 379, 382, 387, 389, 395. Siacci 377. Simpson 17, 111. Stone 31, 33, 221—223. Svanberg 227. Tait 27, 83. Tilly de 29, 45. Tisserand 60. Todhunter 253, 272, 284, 360. Trembley 17. Winlock 218. Wuich 190. Toung 80. Berichtigungen, pag. 240, 3. Z. V. n. anstatt innerhalb lies ausserhalb. " Pi '^^i " Pi ^* * 311, 7. Z. V. o. >;;*; v' ■'.''.'ii;''i3si> 5" m 5 1982 r